数学建模实习结课报告

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业本科结课报告（设计）题目： 自来水输送问题 A problems of water transport 姓 名： 学号： 院（系）：数学与物理学院 专业：数学与应用数学指导教师： 职称： 教授 2013 年 06月摘 要本文通过五天上机学习，对自来水输送问题进行了详细分析和解答。关键词：自来水输送；运输问题；影子价格分析。AbstractIn this paper, through five days practice on the machine, we have a

2、 detailed analysis answers of water transport.Key words: Water transport; Transportation problem; Shadow price analysis目 录一、引言1二、自来水输送问题1三、运输问题建模总结11四、课程认识和理解12五、结语12附录附录一：LINGO介绍13附录二：自来水运输问题LINGO程序13参考文献15自来水输送问题姓名（中国地质大学数学与物理学院*班）一、引言“在经济建设中，经常会遇到大宗物资调运问题，如煤、钢铁、木材、粮食、自来水等物资，在全国有若干生产或是处理基地，而我们所需要解

3、决的问题是根据已有的交通或管道运输等网络，应如何制定运输和调用方案，将所需物资运输传送到各个消费需求地点，而使总运费最小。”（转自清华大学出版社运筹学（第三版）从上面叙述我们可以知道，运输问题是应用很广泛的运筹学问题之一， 由于其问题的重要性、特殊性以及在现实生活中的普遍性等使其作为一个单独的问题分类在运筹学中发挥着无可替代的作用。本文在简单阐述运输问题相关方法的同时将通过一个具体的实例自来水输送问题进行建模求解，并对计算结果进行详细分析和说明。二、自来水输送问题【问题描述】 某市有甲，乙，丙，丁四个居民区，自来水由，三个水库供应。四个区每天必须的基本生活用水分别为30，70，10，10千吨，

4、但三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各个水库向各区送水所付出的引水管理费不同（如下表，其中水库与丁区间无输水管道），其他管理费均为450元/千吨。各区用户每千吨收费900元。此外，各区用户都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨。引水管理费（元/千吨）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190230200/问：（1）问公司应如何分配供水量，才能获利最多？（2）若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？【问题分析】 分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多，而从题目给出

5、的数据看，三个水库的供水量为50+60+50=160千吨，不超过四个区的基本生活用水30+70+10+10=120千吨与额外申请的用水量50+70+20+40=180千吨的总和120+180=300千吨，处于供应小于需求的状态，因而总能全部卖出从而获利，于是自来水公司每天的总收入为900(50+60+50)=元，不涉及送水方案，而自来水公司每天的管理费为450(50+60+50)=72000也不涉及送水方案，依上可知如要使利润最大只需要引水管理最小即可，另外还要考虑供水量与各区的需求问题。【模型假设】 在建立模型之前，我们需要先做如下假设：1.自来水在输送过程中无损耗，即自来水公司输出总和等于

6、消费用户获得总和；2.所输送的水质均达到国家相关要求，即不存在水质不合格而重新输送的问题；3.所需管理费包含各种管理、维护等支出，不会出现额外支出情况；4.忽略其他一切可能出现的意外情况，仅仅将上述问题做一个理想模型去处理。对于本题来说，上述假设都是合情合理的，都是为了解题方便而作出的合理假设。【模型建立】 已知有个生产地点，可供应某种物资，其供应量（或者说产量）分别为，。有个销地，其需求量分别为，。从到运输单位物资的单价为，用表示从到的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总运费最小的调运方案的线性规划方程如下：这就是运输问题的数学模型。它包含个变量，个约束方程，且从上述模型中我们可以看到，作

7、为一类特殊的线性规划问题，其数学模型具有如下特征：1.方程组中所有变量的系数皆为1和0；2.任何一个变量在前个方程中以系数1出现一次，在后个方程也以系数1出现一次。对于本题产小于销的情况，为了能够利用上述模型，我们需要在产销平衡表中增加一个假想的产地，该地产量为，在单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价，同样可以转化为一个产销平衡问题。具体建模实现过程如下：1.引入决策变量。用表示水库向区的日供水量，其中，。由于C水库与丁区之间没有输水管道，故。2.写出约束条件。约束条件有两类，一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。由于供水量能全部卖出，故有如下供水量限制：水库供给四个区的总供水

8、量应等于水库的日供应量50千吨即有；同理，我们有水库供给四个区的总供水量应等于水库的日供应量60千吨即有，水库供给四个区的总供水量应等于水库的日供应量50千吨即有。需求量限制可表示为甲区，乙区，丙区，丁区，而所有决策变量的非负限制为。3.确定目标函数：经前面分析可知，要想使公司获利最大，则只需要使得引水管理费用最小即可，所以，我们有 综上所述，可得该问题的数学模型如下所示： 由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，属于线性规划，所以，可以用单纯形法对其进行求解，也可利用软件LINGO对其进行求解。又由于本题中约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构，是一个典型的运输问题的数学模型，所以，也

9、可以用解运输问题的方法表上作业法进行求解。 本文将利用表上作业法和软件LINGO两种方法对其进行求解！【模型求解】 方法一：表上作业法（手算方法）由题意有各个居民区日需求量及从各水库到居民区供应单位水量的引水管理费如表1：表1居民区水库甲乙丙丁供应量（千吨）ABC160140190130130230220190200170150/506050最低需求（千吨）最高需求（千吨）30807014010301050这是一个“产销不平衡的运输问题”，总供应量为160千吨，四个地区的最低需求为120千吨，最高需求为300千吨。为了达到平衡，在产销平衡表中增加一个假想的水库D，其日供应量为180千吨。由于各

10、个地区的需求量包含两部分，如居民区甲，其中30千吨是最低需求，故不能由假想的水库D供给，令相应的引水管理费为M（任意大正数），而另一部分50千吨满足或不满足均可以，因此可以由假想的水库D供给，令相应的引水管理费为0.对凡是需求分两种情况的居民区，实际上可按照两个地区看待。这样，可以写出这个问题的产销平衡表和单位运价表，如下表2。表2 居民区水库甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”供应量（千吨）ABCD160140190M1601401900130130230M1301302300220190200M2201902000170150MM170150M0506050140需求量（千吨）305070701020

11、1040根据表上作业法伏格尔法，得初始可行表表3。表3居民区水库甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”供应量（千吨）ABCD30505020403010201040506050140需求量（千吨）3050707010201040利用闭回路法计算每一个空格的检验数如下：A：=20，=30，=0，=120，=90，=20，=40；B：=10，=0，=90，=60，=20；C：=-50，=-40，=-30，=M，=M；D：=M，=M，=M，=M。经分析可知，中存在负值，也就意味着此时的解不是原问题的最优解，利用闭回路法进行调整得下表表4。表4居民区水库甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”供应量（千吨）ABCD30104020

12、50304010201040506050140需求量（千吨）3050707010201040利用闭回路法再次计算每一个空格的检验数如下：A：=30，=30，=80，=90，=20，=40；B：=10，=10，=0，=50，=60，=20；C：=40，=40，=10，=M，=M；D：=M，=M，=M，=M。其中所有的，则有表4中的解即为本题的最优解。即此时送水方案为：A水库向乙区供水50千吨，B水库向乙、丁区分别供水50，10千吨，C水库向甲、丙分别供水40，10千吨，引水管理费为元，此时最大利润为-72000-24100=47900元。如果A、B、C三个水库每天的最大供水量提高一倍，则三个水库

13、的总共供水能力为320千吨，此时供应大于需求，水库的水不能全部卖完，我们需要计算水库供入各区每千吨水900元的利润然后再减去其他管理费450元再减去图表中各区的引水管理费。所以，A、B、C三个水库每天的最大供水量提高一倍后所获利润的目标函数为 由于水库的水不能全部卖出，所以约束的条件为即A、B、C三个水库每天的最大供水量提高一倍后所建立的数学模型如下： 同第一问类似，写出这个问题的产销平衡表和单位运价表，如下表5。表5居民区水库甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”戊供应量（千吨）ABC160140190160140190130130230130130230220190200220190200170150M

14、170150M000100120100需求量（千吨）305070701020104020根据表上作业法伏格尔法，得初始可行表表6。表6居民区水库甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”戊供应量（千吨）ABC3050703040101010104020100120100需求量（千吨）305070701020104020利用闭回路法计算每一个空格的检验数如下：A：=-20，=-20，=30，=30，=20，=20，=0；B：=-40，=-40，=0，=0；C：=90，=90，=M，=M，=-10。 经分析可知，中存在负值，也就意味着此时的解不是原问题的最优解，利用闭回路法进行调整得下表表7。表7居民区水库甲甲”乙

15、乙”丙丙”丁丁”戊供应量（千吨）ABC30507030401020104020100120100需求量（千吨）305070701020104020利用闭回路法计算每一个空格的检验数如下：A：=30，=30，=20，=80，=90，=20，=40；B：=10，=10，=0，=50，=60，=20；C：=40，=40，=10，=M，=M。其中所有的，则有表7中的解即为本题的最优解。即送水方案：A水库向乙区供水100千吨，B水库向甲、乙、丁分别供水30，40，50千吨，C水库向甲、丙区分别供水50,30千吨，此时对应的目标函数值为，即总利润为89600元。方法二：LINDO求解方法（计算机软件求解方

16、法）方法二将用软件LINGO进行求解，关于LINGO的介绍和解题程序将在本文最后附录中给出，此处只给出求解分析结果。对于问题（1），用LINGO求解结果如下：从程序运行结果可以看出，A水库向乙区供水50千吨，B水库向乙、丁区分别供水50，10千吨，C水库向甲、丙分别供水40，10千吨，引水管理费为元，此时最大利润-72000-24100=47900元，与手算结果一致！特别的，从上述程序运行结果中可以看出，A、B、C水库的供水量每增加一个单位，饮水管理费将分别减少130、130、190元，从而获得的利润将分别增加130、130、190元，因此，决策者可以根据求解结果进行作出适当调整从而使获利更大

17、。对于问题（2），用LINGO求解结果如下：从程序运行结果可以看出，A水库向乙区供水100千吨，B水库向甲、乙、丁分别供水30，40，50千吨，C水库向甲、丙区分别供水50,30千吨，此时对应的目标函数值为，即总利润为89600元。与手算结果一致！同上分析，特别的，我们可以有， A、B、C水库的供水量每增加一个单位，获得的利润将分别增加50、50、0元，尤其是对于C水库，我们有其增加供水量将不会带来更多的利益，因此，决策者在做决策时应尤为注意！【方法评价】 对于表上作业法具体方法，我们可归结为如下几点：1.找出初始基可行解。即在产销平衡表上给出个数字格。2.求各非基变量的检验数，即在表上计算空

18、格的检验数，判别是否达到最优解。如果已是最优解，则停止计算，转入下一步。3.确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解，在表上用闭回路法进行调整。4.重复2,3直到最优解为止。从上述归纳的几点可以看出，表上作业法虽能有效的解决运输问题，但是其求解过程复杂繁琐且容易出错，在计算机飞速发展的今天不适合高效快速解决问题，这也正是沈远彤教授上课时所说：“我注重的是建模求解的思维方法，对于如何求解就交给计算机！”因此，相比于用计算机软件LINGO求解，其计算速度、效率以及结果分析等可见一斑。比如，上面求解中，表上作业法不能体现影子价格，而LINGO求解结果中却将影子价格同时计算出来，这对于决策者来说能够利

19、用结果进行决策分析是十分重要的。所以，用LINGO求解线性规划问题更有利，更方便，但是，表上作业法分析和解决问题的思路和方式以及理论研究上的价值仍值得我们好好去学习和研究。三、运输问题建模总结运输问题作为一类特殊的运筹学线性规划问题，其在实际生活中的应用十分广泛。而在运输问题的建模求解方法中，最常用的就是表上作业法，但是由于计算机科学的飞速发展，用手工的方法去求解实际问题已经远远不能满足人们的需求，而Matlab和LINGO等计算机软件的开发和应用为求解这一类特殊问题注入了新鲜的活力，强有力的提高了解决实际问题的效率。至于表上作业法，其在线性规划理论学习中尤为重要，比如表上作业法在求解过程中添

20、加虚拟消费点、虚拟供应点的思维方式，为求解这一类问题提供了一个强有力的普遍性方法，因此，在运筹学中，表上作业法仍占有一席之地。对于上述建模方法，就是一个理清思维依次引入决策变量、写出约束条件、确定目标函数、求解的典型线性规划问题，易迁移，易转化，并且理论上说，本题所建模型应该是比较准确的，但事实上，由于输送过程中损耗等实际问题的影响，导致模型求解结果与实际结果存在一定的误差，然而，好在这些因素的影响都比较小，在实际操作中都可以忽略不计，即我们完全可以接受上述模型求解的结果。再加上上述模型推广性较好，整体而言，上述模型比较好。四、课程认识和理解数学建模就是当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题

21、时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验全过程。数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数

22、学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。五、结语通过五天的上机学习，作者对数学建模的理论分析和计算方法等基础知识有了一定的掌握和应用，并能独立完成一些问题的分析和求解。对于本次自选题目，作者选的运输问题作为线性规划问题的一个重要的分支虽然很简单，但是，在求解过程中却收获很多，比如思维严谨的锻炼等。在此，作者特别感谢授课老师沈远彤老师对作者学习以及报告编写虽然本文曾进行多次修改，在此次编写过程中又参考了大量相关著作，其中对本文影响较大的参考资料均列在文章最后的参考文献中，但限于作者水平，不足之处和疏漏之处在所难免，恳切希望阅读此文的读者和老师们批评指正。 附录附录一：LINGO介绍LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司（Lindo System Inc.）推出的，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。其特色在于内置建模语言，提供十几个内部函数，可以允许决策变量是整数（即整数规划，包括 0-1 整数规划），方