直线投影基本知识

1、2.2 直线的投影本节提要：（1）直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置（2）直线上的点的投影特性（3）求直线的真长及其对投影面的倾角（4）两直线的相对位置（5）两直线垂直2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置1 直线的投影HABab 直线可视为点的集合，所以直线的投影就是点的投影的集合。确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需知道直线上两个点的投影，再连线即可。 直线的投影特性：ABCDEFabcd垂直于投影面的直线在该投影面上的投影，积聚成一点（积聚性）。平行于投影面的直线在该投影面上的投影，与直线本身平行且等长。倾斜于投影面的直线在该投影面上的投影，短于直线的真长。

2、2 直线对投影面的各种相对位置直线一般位置直线：对三个投影面H、V、W都倾斜投影面平行线（只平行于一个投影面）水平线（H面，对V、W面都倾斜）正平线（V面，对H、W面都倾斜）侧平线（W面，对H、V面都倾斜）投影面垂直线（垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面）铅垂线（H面， V面， W面）正垂线（V 面， H面， W面）侧垂线（W 面， H面， V面）平行线平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。垂直线垂直于一个投影面，平行于另两个投影面。特殊位置直线HVABWabababO直线与投影面的夹角是指空间直线与它在该投影面上的正投影的夹角。直线对H、V、W面的倾角，分别用、表示。HBAA0B0ab直

3、线平行于投影面时，倾角为0，垂直于投影面时，倾角为90 ，倾斜于投影面时，倾角为090。（1）一般位置直线OXZYABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、不直接反映直线对投影面的倾角XZYOXabab baOZYHYWAB 投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b=AB 3、反映、角的真实大小aababb正平线 平行于正面投影面的直线（2）投影面平行线XZYOXZOYHYWa b babaAB投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH 2、ab =AB 3 、反映 、 角的真实大

4、小aa b a bb侧平线 平行于侧面投影面的直线（2）投影面平行线（2）投影面平行线正 平 线水 平 线侧 平 线空间直观图投影图投影特性1. ab反映真长和倾角、2. abOX，abOZ，且长度缩短1. ab反映真长和倾角、2. abOX， ab OYW，且长度缩短1. ab反映真长和倾角、2. abOYH， ab OZ，且长度缩短投影面平行线的投影特性： 在平行的投影面上的投影，反映直线的真长以及对另外两个投影面的倾角。在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。OXZYZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1、a b 积聚 成一点 2、 a bOX ; a b OYW

5、 3、 a b = a b = AB铅垂线 垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a ab（3）投影面垂直线正垂线 垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性： 1、 ab积聚 成一点 2 、 ab OX ; ab OZ 3 、 ab = ab =ABABzXab baOYHYWabbababa（3）投影面垂直线侧垂线 垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性： 1、ab 积聚 成一点 2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =ABbaababZXabbaOYHYWab（3）投影面垂直线（3）投影面垂直线正 垂 线铅 垂 线侧 垂 线空间直观图投影图投影特性1. ab积聚成

6、一点2. abOYH ， ab OYW，且反映真长1. ab积聚成一点2. abOZ，abOZ，且反映真长1. ab积聚成一点2. abOX，abOX，且反映真长投影面垂直线的投影特性： 在垂直的投影面上的投影积聚成一点。在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴，且反映真长。 直线上的点的投影特性可以证明：直线上的点的水平投影，必在该直线的水平投影上；直线上的点的正面投影，必在该直线的正面投影上；直线上的点的侧面投影，必在该直线的侧面投影上。几何形体在同一个投影面上的投影称为同面投影。VH直线上的点的第一个投影特性：直线上的点的投影，必在直线的同面投影上。即具有从属性。ABCbabacD 若点的

7、投影有一个不在直线的同面投影上， 则该点必不在此直线上。ddc直线上的点的第二个投影特性：若直线不垂直于投影面，则直线段上的点分割线段的长度比，与该点的投影分割直线段同面投影的长度比相等。即具有定比性。利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。如何检验点是否在直线上。检验方法：（1）在三面体系中：用直线上的点的第一个投影特性检验。acdbacdbacdbOXZYHYW C点在直线AB上，D点不在直线AB上。（2）在两面体系中：将两面体系扩展成三面体系，用直线上的点的第一个投影特性就可检验。abk因k不在ab上，故点K不在AB上。abkabkOXYHZY

8、WZXYOVWHACBDacdbacbdacdb先用直线上的点的第一个投影特性检验点是否在直线上，如果无法检验，再用直线上的点的第二个投影特性进行检验。abkabkOX因 ak/kb不等于ak/kb，故点K不在AB上。OXabab例1 如图所示，已知直线AB，在AB上取点C和D，点C距H面10mm，点D分割AB成AD:DB=3:1，作点C和D的两面投影。OXababcc1234dd10例2 如图所示，已知直线AB以及点C、D，检验点C、D是否在直线AB上。解分析:直线AB是侧平线，对V、H两面体系，侧平线是特殊直线。acdbacdbOXZXYOVWHACBDacdbacbdacdbXabacd

9、bacdbOX（1）检验方法一（补第三投影）（2）检验方法二（直线上点的第二个投影特性）c0d0b0cdbXaabcO例：已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。caccbXOABbbaacCcHVZOabbac例 如图所示，已知直线AB，并知直线AB上的点C距离侧面W10mm，作点C的两面投影。ZOabba10cb0c0解分析:直线AB是水平线，对V、W两面体系，水平线是特殊直线。 求直线的真长及其对投影面的倾角1 求线段的真长及其对投影面的倾角特殊位置直线在投影图中能直接反映直线的真长及其对投影面的倾角。可用直角三角形法作出倾斜线的实长及其与投影面的夹角。一般位置直线在投影图中不能直接反映

10、其真实长度及其对投影面的倾角。XOababAVHXOabBabZcC直角三角形ABC中：斜边AB=AB实长直角边BC=bc=Z直角边AC=ab角：ab与实长AB的夹角AB实长Zab实长ZZXOababAVHXOabBabY实长YY求一般位置直线的实长及其与V面的夹角YWXOababYHZabVHXOWYZabababAB求一般位置直线的实长及其与W面的夹角X实长XXYWXOababYHZab实长XZ实长Y实长例 如图所示，求直线AB的真长及其对投影面H、V的倾角、。OXabbaOXabbay=abzAB真长例：已知点C在直线AB上，且AC=20, 求C点的投影。20cbXOaabcccddOZ

11、yxy2 已知直线的真长和倾角求解有关定位和度量问题例 如图所示，已知直线CD的两面投影，求CD对投影面V、W的倾角、，并在CD上取一点T，T与C的真实距离为10mm，作点T的两面投影。ccddOZCD真长xCD真长tt10HVXOABababTtt1b1OXeef例 如图所示，已知直线EF的水平投影ef和端点E的正面投影e，并知EF的真长为20mm，补全EF的正面投影ef，同时，请回答这个题目有几解。OXeefR20f0ff答：有 两 解思考题：若将已知条件实长换成=30，则如何解题？ 两直线的相对位置两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。平行两直线和相交两直线分别位于同一平面上，是

12、共面直线；交叉两直线彼此既不平行，又不相交，它们不在同一平面上，又称为异面直线。（1）两直线平行平行两直线的同面投影均分别互相平行。XOVHPQABCDabcdaabcd直观图XOZYHYWabcdabcdbacd投影图例1：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。结论：AB/CDabcdabcdXO例2：判断图中两条直线是否平行。 对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。结论:AB与CD不平行求出侧面投影如何判断？bdcaYWYHZcbaddacXOb如何检验两直线是否平行检

13、验方法：（1）对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。（2）对于投影面平行线，可采用以下两种方法：1）若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。2）作出投影面平行线的三面投影。相交两直线的同面投影都分别互相相交；并且，同面投影的交点是同一点的投影，这个点就是两直线的交点。（2）两直线相交HCDABKabcdk直观图投影图OXZYWYHabcdabcdabcdkkk判断两直线相交或交叉的关键原则dkkd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影cabbacXOdbaabcdc同面投影虽相交，但 “交点”不符合空间同一个点的投影规律。AB与CD两直线相交吗投影特性：结

14、论：AB与CD两直线不相交，属于交叉直线（3）两直线交叉直观图XOVHABCDab1cd2abcd1(2)交叉两直线的同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影；或同面投影有的相交，有的平行。投影图ca1(2)dabbcd12OXabcdXObcda交叉两直线判断重影点投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。用其可帮助判断两直线的空间位置。CD在上AB在下CD在后AB在前432(1)123(4)abcdXObcdaXOZYwYHcabdcdabcbda3(4)211(2)345(6)56两直线相对位置的检验和作图

15、题示例例 如图所示，检验直线AB、CD的相对位置。XOabbadccdZXOYWYHabcdabcdabcd结论：AB与CD两直线属于交叉直线例： 判断两线段DE、FG 是否平行。DE、FG共面，故平行。DE、FG不共面，故不平行。defgOXgfdedefgXgfdeYWOYHZdefgdefgXgfdeYWOYHZdefgedfgXgfdeOXOababcc作CDAB例题 如图所示，已知直线AB及点C，过点C作CDAB。XOababcc已知dd过点作直线平行已知直线OXefefababcdcd例题 如图所示，已知直线AB、CD、EF，求直线PR，使PR与AB交于点P，与CD交于点Q，平行于

16、EF，点R在PQ沿着P到Q方向的延长线上，PR的真长为30mm。作直线PR的两面投影；同时也作出点Q的两面投影。OXefefababcdcdd0pqq0qpggzz30r0g0rr2.2.5 两直线垂直1 两直线垂直相交的投影特性当两直线相交成直角时，两直角边有下列四种情况，它们的投影特性如下：当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上的投影不是直角。当两直线相交或交叉时，都有一种特殊情况，即两直线垂直，也就是两直线之间的夹角为直角。这里着重讲述一边平行于投影面的直角的投影特性。当直角的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。当直角的一边平行于投影面，另一边倾斜于该投影面时，在该投影面上的投影仍是直角。当直角的一边平行于投影面，另一边垂直于该投影面时，在该投影面上的投影为一条直线。XOabcabc例: 如图所示，已知直线AB及点C，过C作CDAB。过点C作直线垂直于已知直线XOabcabcdd例：已知水平线AB 及正平线CD，试过定点S 作它们的公垂线。llXOabcdsabcdsZOaabcbc例2.10 如图所示，已知点A和正平线BC，过点A作BC的垂线