新教材高中数学选择性必修第一册重难点突破专题01《通过空间向量解决立体几何中的角度问题》（原卷版）

1、 21/21专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一 直线与平面所成的角1（2020海南）如图，四棱锥 SKIPIF 1 0 的底面为正方形， SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 设平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 的交线为 SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上的点， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值2（2020山东）如图，四棱锥

2、 SKIPIF 1 0 的底面为正方形， SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 设平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 的交线为 SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上的点，求 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值的最大值3（2020天津）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPI

3、F 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别在棱 SKIPIF 1 0 和棱 SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为棱 SKIPIF 1 0 的中点（）求证： SKIPIF 1 0 ；（）求二面角 SKIPIF 1 0 的正弦值；（）求直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值4（2021浙江）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 0 中，底面 SKIPIF 1 0 是平行四边形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

4、 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中点， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）证明： SKIPIF 1 0 ；（）求直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值5（2018浙江）如图，已知多面体 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均垂直于平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）证明： SKIPIF 1 0 平面

5、 SKIPIF 1 0 ；（）求直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成的角的正弦值题型二 二面角的平面角及求法6（2021新高考）在四棱锥 SKIPIF 1 0 中，底面 SKIPIF 1 0 是正方形，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）求证：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（）求二面角 SKIPIF 1 0 的平面角的余弦值7（2020新课标）如图， SKIPIF 1 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 0 是圆锥底面的圆心， SKIPIF 1 0 为底面直径， SKIPIF 1 0 SKIP

6、IF 1 0 是底面的内接正三角形， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上一点， SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值8（2019新课标）如图，长方体 SKIPIF 1 0 的底面 SKIPIF 1 0 是正方形，点 SKIPIF 1 0 在棱 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求二面角 SKIPIF 1 0 的正弦值9（2021天津）如图，在棱长为2的正方体 SKIP

7、IF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别为棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中点（1）求证： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值；（3）求二面角 SKIPIF 1 0 的正弦值10（2021北京）已知正方体 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 中点，直线 SKIPIF 1 0 交平面 SKIPIF 1 0 于点 SKIPIF 1 0 （1）求证：点 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 中点；（2

8、）若点 SKIPIF 1 0 为棱 SKIPIF 1 0 上一点，且二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值为 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 11（2021乙卷）如图，四棱锥 SKIPIF 1 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 中点，且 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 ；（2）求二面角 SKIPIF 1 0 的正弦值12（2021甲卷）已知直三棱柱 SKIPIF 1 0 中，侧面 SKIPIF 1 0 为正方形， SKIPIF 1 0 ， S

9、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的中点， SKIPIF 1 0 为棱 SKIPIF 1 0 上的点， SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 ；（2）当 SKIPIF 1 0 为何值时，面 SKIPIF 1 0 与面 SKIPIF 1 0 所成的二面角的正弦值最小？13（2019新课标）如图，直四棱柱 SKIPIF 1 0 的底面是菱形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别是 SKIPI

10、F 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中点（1）证明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求二面角 SKIPIF 1 0 的正弦值14（2021新高考）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 0 中，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的中点（1）证明： SKIPIF 1 0 ；（2）若 SKIPIF 1 0 是边长为1的等边三角形，点 SKIPIF 1 0 在棱 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ，且二面角 SKIPIF 1 0 的大

11、小为 SKIPIF 1 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 0 的体积15（2020江苏）在三棱锥 SKIPIF 1 0 中，已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的中点， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 中点（1）求直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值；（2）若点 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上，满足 SKIPIF 1 0 ，设二面角 SKIPIF 1 0 的大小为 SKIPIF

12、1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的值16（2020新课标）如图，在长方体 SKIPIF 1 0 中，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别在棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）证明：点 SKIPIF 1 0 在平面 SKIPIF 1 0 内；（2）若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求二面角 SKIPIF 1 0 的正弦值17（2019天津）如图， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，

13、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）求证： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（）求直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值；（）若二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值为 SKIPIF 1 0 ，求线段 SKIPIF 1 0 的长18（2019新课标）图1是由矩形 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 和菱形 SKIPIF 1 0 组成的一个平面图形，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 将其沿 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 折起

14、使得 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 重合，连结 SKIPIF 1 0 ，如图2（1）证明：图2中的 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四点共面，且平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求图2中的二面角 SKIPIF 1 0 的大小19（2018新课标）如图，边长为2的正方形 SKIPIF 1 0 所在的平面与半圆弧 SKIPIF 1 0 所在平面垂直， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 上异于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的点（1）证明：平面 SKIP

15、IF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）当三棱锥 SKIPIF 1 0 体积最大时，求面 SKIPIF 1 0 与面 SKIPIF 1 0 所成二面角的正弦值20（2018新课标）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的中点（1）证明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）若点 SKIPIF 1 0 在棱 SKIPIF 1 0 上，且二面角 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值21（2019北京）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIP