调和级数发散性的多种证明

1、调和级数发散性的证明方法姓名：范璐婵摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。关键词：调和级数发散性部分和收敛ProofsofthedivergencyofharmonicseriesName:FanLuchanDirector:WangYingqianAbstract:Eighteenmethodstoprovethedivergencyofharmonicseriesarepresentedinthispaper.Someareknownandsomearene

2、w.Keywords:harmonicseries;divergency;partialsum;convergency引言1调和级数的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆(13231382)在n1n极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单：1111111TOCo1-5hz1L234567811111111)L22448888注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面11级数的括号中的数值和都为1,这样的1有无穷多个，所以后一个级数是趋向无22穷大的，进而调和级数也是发散的。后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收敛级数11丄L1

3、L1为基础的。以下是他的证明2612n(n1)证明：11丄，22证明：11丄，22111623丄11,L123451n(n1)所以sn111111L2233411,11-nn1n11234n则ALL261220n(n1)11111C-LL1261220n(n1)111111DLLC61220n(n1)22111111ELLD.122030n(n1)63，111111FLLE203042n(n1)124，111111GLLF304256n(n1)205；LL小ll-,12345,11,CDEFGLL1-L2612203023则接着设则接着设slimsnlim(1nn1)1.即AA1.没有一个有限

4、数会大于等于自己，即A是无穷大，所以调和级数发散由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。他用简明的AA1来证明级数的无穷性，这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别在其证明方面能

5、起到举一反三，融会贯通的作用。本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。1证法一：利用反证法从而11111S=1+-LLn1n232n12n11假设调和级数收敛，记其和为S,即S=ninnin由于正项级数若收敛，加括号后仍收敛，且和不变，可知:L(1+-)11-)L(42n2111,、(1LL)22n1S2S1S2111=(1+2(34)L（的矛盾，所以调和级数必发散2证法二：证明调和级数丄的部分和可任意大n1n(11111LL23n丄）（丄丄L丄）11(100101L9

6、1011991依次将九项，九十项，九百项，L括在一起得n1nL919)111)L1104424440090丄L-)L11004414OO4441OOO9009109109090010010009L10从上式中可以看出1的和可任意大，故级数1发散.n1nn1n3证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列Sn发散.Sn2mo12mo2mo据柯西收敛准则的否定叙述,Sn发散,从而4证法四：证明部分和数列Sn的子列S2m发散.1111111.1S2m1(-)(-)L(_m1.23456782m11112141L2皿11248?m,111,1、1(222L2)2m12m2于是lims2mlim(1m2m2）

7、事实上，存在0-，对任意自然数，总能找到两个自然数,n2mo,当然也有2mo，使得12mo2momolimSmm2故数列Sn发散，从而调和级数丄发散.n1n5证法五：利用欧拉常数证明证明数列an存在极限C（欧拉常数），这里11%111L1.Inn，n即111L1Inn=C+n,其中n0(当n时)23n因为ln(11)1nn所以ln(n1)Inn15n从而有ln2ln11In3ln2-2LLanan1anan1ln(n1)Inn1ln(1-)n0.ln(n1)lnn1n上述n个不等式两边相加得11ln(n1)1L1，23n于是11an11L111ln(n1)23nn1n1即an有下界其次应用不等

8、式1n1ln(1丄），有nlim(11L31nInn)C.也就是111L1.lnnCn(imn0)23n显然lims*nlim(lnnnCn).故调和级数1发散.n1n故an有是一个单调下降的数列，因此lima*存在，用C表示，即6证法六:应用级数an(其中n132LanL0)与级数2na2nn1有相同的收敛性.3n1-(n1,2,L)n1l而级数2na2nn1nn12莎发散.故调和级数1发散.1r7证法七：利用广义积分法对于部分和数列Sn:Snn11dxx因此故调和级数1-发散.n8证法八:ln(n1),limsnn1n11dx，n1xlimln(nn证明由调和级数中分母末位含有调和级数中分

9、母末位含有0的项组成的子级数是1)，0的项组成的子级数发Unn1110000110丄L20110010111001101100000在此级数中，分母从10到100的项共有10项,丄丄L10001010其和大于101009100900分母从110到1000的项共有90项，其和大于-901000900项，其和大于-10000分母从1010到10000的项共有分母从10n10到10n1的项共有910n1项,9100从而1n1Un1091009100910n1其和大于910n1109100显然Un发散，于是调和级数n11-发散.n1n9证法九：利用命题“设正项级数an收敛,n1且an1an，niman

10、0，则有limnan0”.n以下是这个命题的证明:因正项级数an收敛，则对于任意给定的0，总存在自然数，n1当n时，下式成立|an1an2La?/i1a2n丨an1an2La2n1a2n由已知an1an(n1,2,3,L)，而an1an2La2n1a2n(n1,2,3丄)，得na2n，2na2n，2故有lim2na2n0.n又a2n1a2n，故有(2n1)a?n12n1(2n1)a2n2ng%，2n得0lim(2nn2n11)a2n1nim2ngSn0.故有lim(2n1)a2n10.n所以无论n为奇数或偶数时，下式成立limnan0.即通项下降趋于零的正项级数收敛的一个必要条件证毕运用该定理

11、可得故调和级数1发散.limnannng110nn1n10证法十：利用不等式xln(1x).,11,11-L23nln(11)ln(11T)Lln(1丄)2n3n1ln2ln-LIn2nSnc34nn、ln(2g2g3g-百厂)ln(1n)(n)1即-，故调和级数发散.11证法十:利用平均值不等式ai去L%(aLan)n11,1a1,a2,a3丄an2n,11,11-L-/123n119n23n11,1n12-L3nnn!.故当n，左边为1，n1n右边为limnn7n!丄发散.1n12证法十二：利用不等式-(n2,n)来证明.n首先证明上述不等式成立因为1n1(-n1(n1)n2n(n所以所以

12、1n1.1n3n1n11(n1)n1)n(n1)3(n2,n4)10(511TOCo1-5hz21L.23111所以1-L-L是无穷数.23n1所以调和级数发散.n1n13证法十三：任意给定M0，总可以找到一有理数卫M，而任何正有q理数可写成互异的形如丄的数有限和(见文献9),其中m为自然数,m-M,当nq-M,当nqN时，具的形如丄的数有限和，假定最大的分母为N，则有sNm有SnM，也就是limsn，所以调和级数1发散.nn1n以下是由作者用有关定理或方法独立导出的证法14证法十四：利用拉阿伯判别法：14证法十四：利用拉阿伯判别法：Unn1是正项级数，nN，有n(nUn11)r1(n(出1)

13、Un11)，则级数Un收敛(发n1散).在调和级数1中,n1n,均有Un(nUm1)1n(十n11)所以调和级数n-发散.1n15证法十五:应用厄耳玛可夫判别法:若f(x)为单调减少的正值函X一X数，且lime(e)，则当1时，级数f(n)收敛；当1时,Xf(X)n1级数f(n)发散.令f(x)limxexf(ex)f(x)x1eglim11ximX，x故级数n1f(n)发散.证法十六:应用咼斯判别法:在级数an中，若an0(n1,2,3丄)及n1anan1Hn|C,0),则(1)当n1时，级数收敛；1时级数发散;当1时，若1则级数收敛，若1则级数发散.在调和级数1中,n1nanan11-n1

14、1-n1据高斯判别法知，调和级数-发散.1n17证法十七：设an0,Snan,级数ann1，则色发散.n1Sn以下是这个命题的证明:因为an0，Sn单调增加，所以npakn1Sknpakkn1SnpSnpS1S1pSnS1p因为Sn，故n，充分大时,SnSnp从而npakkn1Sk所以an发散n1sn令an1,n1,2丄，则sn11L1n,所以an=1发散.n1n1n18证法十八：利用匚丄的发散性.n1n记an记an(1)，为研究级数an的敛散性,n1我们引进集合Akn|Innkk(1,2,L)那么集合Ak内的元素n具有性质kInnk1或写成eknegpk其个数pk(e1)ek，将Ak内的元素

15、从小到大排列，可记为mm1,L,nkPk1.现考虑Uk(1)Innk1k(1)k-(1)kVknAkn其中VkPk11Pk11kvonkvvoegp=七一4(e1)ekegpegp11k萌卵1)ge2eF面证明级数an是发散的，采用反证法，假设an收敛,n1n1则由柯西收敛准则，对于任给的0，存在No，使得当nNo时，对于一切自然数P，均有e1今取0,对于有此所找到的N0，在nN0中选一个数nk，此处k4e是适当大的一个自然数，有nkAk，即kkenkege.又取自然数pPk1，则此时应有|ankank1Lpk1丨（1）但另一方面却有e1|ankank1LankPk11IUkIVk22e（1）

16、式与（2）式矛盾，因而级数an发散n1利用这个结论我们可以证明调和级数发散由于3的部分和大于n由于3的部分和大于n的部分和,n所以由(1严发散知1发散.n1n结束语调和级数作为去判别另外一个级数的发散的一把“尺子”起到了重要作用，它的发散性证明精彩纷呈。本文在综合已有证明方法的同时，再给出了笔者自己用有关定理或方法导出的另外几种证明，具有一定的创新意义。参考文献朱永生，龚晓欧拉常数的性质及在解题中的应用J.高师理科学刊，2005（08）:15-173.王连昌，王锐.P级数敛散性的一个新证法J.第四军医大学学报，2005（12）：86-86.夏晓峰.调和级数发散性的几种证明J.本溪冶金高等专科学校院报，2000（12）：44-45.韩宗霖.不完整调和级数的敛散性J.唐山师范学院院报，2005（9）：24-25.杨翰深，夏代月.调和级数和P级数敛散性的一次简单证法J.数学的实践与认识，2000（7）:342-344.王连昌，王锐.P级数敛散性的一个新证法J.第四军医大学学报，2005（12）：86-86.1于文凯调和级数一发散性证明及讨论J.天津轻工业学院院报，1996（1）:91-92.n1n张永利对调和级数性态的研究J.高等数学研究，2005（8）：16-17.1姜洪文.对于调和级数的分析J.沈阳师范学院院报，2002（7）：170-172.n1n张军学.关于调