大学数学应用基础-高等数学上册湖南教育出版社

1、大学数学应用基础 高等数学(上册)湖南教育出版社第一章 函数、极限与连续1.1 函数1.2 函数的几种特性1.3 反函数1.4 幂函数、指数函数与对数函数1.5 三角函数与反三角函数1.6 复合函数、初等函数1.7 建立函数关系举例湖南教育出版社上页下页第一章 函数、极限与连续1.8 经济中常用的函数1.9 数列的极限1.10 函数的极限1.11 无穷小与无穷大1.12 极限的运算法则1.13 极限存在准则 两个重要极限1.14 函数的连续性上页下页首页1.1 函数1. 常量与变量2. 函数的概念上页下页首页1. 常量与变量 在某过程中，数值保持不变的量称为常量， 而数值变化的量称为变量。 注

2、意 常量与变量要根据具体情况做出具体分析。 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量， 用字母x, y, t等表示变量。1.1 函数上页下页首页1.1 函数区间开区间介于某两个实数之间的全体实数。这两个实数叫做区间的端点。闭区间上页下页首页1.1 函数半开半闭区间无穷区间上页下页首页1.1 函数邻域去心邻域上页下页首页2.函数的概念1.1 函数例1 对圆的面积A与它的半径r进行考察，得到这两个变量间的相依关系为例2 在自由落体运动中，设物体下落的时间为t，落下的距离为s，并假定开始下落的时刻为t=0，则变量s与t之间的相依关系为上页下页首页湖南教育出版社定义自变量因变量数集D

3、叫做这个函数的定义域1.1 函数上页下页首页1.1 函数例3 求下列函数的定义域：解(2)(3)上页下页首页1.1 函数上页下页首页1.1 函数例4 求下列函数的定义域、值域，并作出其图像：解 上页下页首页1.1 函数如果两个函数的定义域与对应法则相同，则这两个函数就是相同的（或相等的），否则就是不同的.如果两个函数相同，则它们的自变量和因变量用什么字母表示，是无关紧要的.例5 下列各对函数是否相同？为什么？上页下页首页1.1 函数两个常用的函数 (1) 符号函数1-1xyo上页下页首页1.1 函数(2) 取整函数 y=xx表示不超过 x 的最大整数. 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3

4、-2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo上页下页首页1.1 函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例如,函数xo-121y上页下页首页1.2 函数的几种特性1函数的奇偶性2函数的单调性3函数的有界性4函数的周期性上页下页首页1.2 函数的几种特性1函数的奇偶性定义1yxox-x上页下页首页1.2 函数的几种特性定义1上页下页首页1.2 函数的几种特性2函数的单调性定义2xyo上页下页首页1.2 函数的几种特性定义2xyo上页下页首页1.2 函数的几种特性例1yxox上页下页首页1.2 函数的几种特性例2证上页下页首页1.2 函数的几种特性3函数的有界性

5、定义3例如有界无界注意函数是否有界与所给的区间有关.在区间(1,2)内有界,在区间(0,1)内无界.上页下页首页221.2 函数的几种特性4函数的周期性定义3例如上页下页首页反函数定理引入因变量因变量自变量自变量上页下页首页反函数定义直接函数上页下页首页反函数例1解 -4-422上页下页首页1.3 反函数例2解 想一想是否任何函数都有反函数？例3yxo定理上页下页首页1.4 幂函数、指数函数与对数函数1、幂函数2、指数函数3、对数函数上页下页首页1.4 幂函数、指数函数与对数函数1、幂函数上页下页首页幂函数、指数函数与对数函数2、指数函数上页下页首页1.4 幂函数、指数函数与对数函数3、对数函

6、数上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数1、三角函数2、反三角函数上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数1、三角函数正弦函数上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数余弦函数上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数正切函数余切函数上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数2、反三角函数定义1单调增加、有界、奇函数上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数例1求下列各式的值：解 上页下页首页一般地，由反正弦函数的定义，可以得到1.5 三角函数与反三角函数例2求下列各式的值：解 上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数定义2单调减少、有界函数上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数例3求下列各式的值

7、：解 一般地，由反余弦函数的定义，可以得到上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数例4求下列各式的值：解 上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数定义3单调增加、有界、奇函数上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数定义4单调减少、有界函数上页下页首页1.5 三角函数与反三角函数例5求下列各式的值：解 反正弦函数、反余弦函数、反正切函数与反余切函数统称为反三角函数.上页下页首页1.6 复合函数、初等函数1、基本初等函数2、复合函数3、初等函数上页下页首页1.6 复合函数、初等函数1、基本初等函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2、复合函数定义上页下页首页例1

8、1.6 复合函数、初等函数写出下列函数的复合函数：注意并非任意两个函数都可复合成一个复合函数.例2指出下列复合函数的复合过程：上页下页首页1.6 复合函数、初等函数例3求下列函数的定义域和值域：解 上页下页首页1.6 复合函数、初等函数解 上页下页首页例41.6 复合函数、初等函数解 例5解 上页下页首页1.6 复合函数、初等函数例6解 3、初等函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限次复合而成的函数,叫作初等函数.注意分段函数不一定是初等函数.上页下页首页1.6 复合函数、初等函数上页下页首页建立函数关系举例例1将直径为d的圆木料锯成街面为矩形的木材，试建立矩形截面的两条边长之间的函

9、数关系.解设矩形截面边长为x，另一边长为y，由勾股定理，得因为y只能取正值，所以上页下页首页例2 在机械中常用一种曲柄连杆机构（图1-30），当主动轮匀速转动时，连杆AB带动滑块B作往复直线运动. 设主动轮半径为r，转动角速度为，连杆长度为l，求滑块B的运动规律. 解设经过时间t时，滑块B离点O的距离为s，求滑块B的规律就是建立s和t之间的函数关系. 假设主动轮开始旋转（即）时，OB到OA的转角为，经过时间t后，主动轮转了角 ， 建立函数关系举例上页下页首页建立函数关系举例例3 长为l的弦两端固定，在点A(a,0)处将弦向上拉起到点B(a,h)处后呈图1-31中的形状. 假定当弦向上拉起过程中

10、，弦上各点只是沿着垂直于两端连线方向移动，以x表示弦上各点的位置，y表示点x上升的高度，试建立x与y的函数关系式. 解上页下页首页建立函数关系举例例4解物体从静止开始移动时，水平方向的拉力与摩擦阻力相等， 上页下页首页1.8 经济中常用的函数1. 需求函数与供给函数2. 成本函数、收入函数与利润函数3. 库存函数上页下页首页1.8 经济中常用的函数1. 需求函数与供给函数商品的需求量Q与价格P的函数，称为需求函数，记作商品的供给量Q与价格P的函数，称为供给函数，记作这时的商品价格 叫作市场平衡价格.市场平衡点上页下页首页例1已知某商品的需求函数是，供给函数是，求该商品市场处于平衡状态下的价格（

11、元）和需求量（万件）.解所以，所求市场平衡价格为27元，需求量14万件.1.8 经济中常用的函数上页下页首页2. 成本函数、收入函数与利润函数 总成本是生产一种产品所需的全部费用。通常总成本可分为两个部分：一部分是在短期内不发生变化的或变化很小的，如厂房、设备、保险费、管理人员的工资、广告费等，称为固定成本，通常用C1表示；另一部分是随产品数量的变化而直接变化的，如原料费、能源消耗费、生产工人工资、包装费等，称为可变成本，常用C2表示，它是产品数量Q的函数，即 因此，成产Q个单位时某商品的总成本C等于固定成本 与可变成本 之和，即1.8 经济中常用的函数上页下页首页 总成本函数是一个单调增加函

12、数.总成本函数的图像叫作总成本曲线. 总收入是销售者售出一定数量商品所得的全部收入。若商品的数量为Q，价格为P，则总收入R为称为总收入函数.1.8 经济中常用的函数上页下页首页例2设某商品的需求关系是其中Q是商品量，P是该商品的价格，求销售10件时的总收入.解 生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润，记作L,即其中Q是产品的数量.总利润是产品数量的函数,称为利润函数.1.8 经济中常用的函数上页下页首页1.8 经济中常用的函数例3设某工厂生产某产品每 t售价2万元,每天生产Q t的总成本为C(万元),且 求每天生产2、5、7件时的总利润. 解利润为零，生产处于无盈亏状态. 我们把

13、无盈亏生产时的产量称为无盈亏点（或保本点）. 上页下页首页1.8 经济中常用的函数例4（1）求例3中该厂生产的无盈亏点. （2）若该厂每天至少生产7 吨产品，为了不亏本，单价应定多少钱？解即该厂无盈亏点有两个，分别为生产1 吨和生产5 吨. （2）设单价定为P(万元),则销售7 吨的收入应为为使生产经营不亏本，就必须使上页下页首页3.库存函数例5某商店半年销售500件小器皿，均匀销售，为节约库存费，分批进货，每批订货费用（订合同手续费、旅差费、运货费等）为80元，每件器皿的库存费为每月元，试列出库存费和进货费之和与批量x间的函数关系解设每一批进货量为x件，货进店入库，由于均匀销售，库存货量由x

14、件逐渐均匀减少到零件，所以平均库存内存货量为件，半年共有6个月，每件器皿每月的库存费为元，因此半年的库存总费用为（元）1.8 经济中常用的函数上页下页首页每次进货x件，半年需要进货的次数为次，总的进货费用所以，总费用为（元）在上例中，我们求出了总费用与进货批量之间的函数关系，这个函数称为库存函数（库存数学模型）.1.8 经济中常用的函数上页下页首页1.9 数列的极限定义1按照一定顺序排成的一列数，叫作数列.组成数列的每个数都叫作这个数列的项.例如上页下页首页1.9 数列的极限的变化趋势.上页下页首页1.9 数列的极限定义2例1观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：解 上页下页首页1.9 数列

15、的极限上页下页首页1.9 数列的极限一般地，有下述结论：例2观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：解 上页下页首页1.9 数列的极限定理1例如有界无界上页下页首页定理21.9 数列的极限注意上页下页首页1.10 函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限2、自变量趋于有限值时函数的极限上页下页首页1.10 函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页首页1.10 函数的极限定义1定义2上页下页首页1.10 函数的极限例1解 上页下页首页2、自变量趋于有限值时函数的极限1.10 函数的极限上页下页首页定义41.10 函数的极限定义5上页下页首页1.10 函数的极限定理1例3解 上页下页首

16、页1.10 函数的极限例4解 上页下页首页例51.10 函数的极限解 上页下页首页1.10 函数的极限例6注意解 上页下页首页1.11 无穷小于无穷大1、无穷小2、无穷大3、无穷小与无穷大的关系4、无穷小的比较上页下页首页1.11 无穷小于无穷大1、无穷小定义1极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。例如注意（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆。（1）函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。（3）数“0”可以看作无穷小。上页下页首页1.11 无穷小于无穷大性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小.上页下页首页1.11 无穷小于无穷大性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1 常数与无穷小的乘积

17、是无穷小.推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小.定理1具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数的极限。即上页下页首页1.11 无穷小于无穷大2、无穷大上页下页首页1.11 无穷小于无穷大定义2例如特殊情形：正无穷大，负无穷大例如上页下页首页1.11 无穷小于无穷大注意（1）函数是无穷大,必须指明自变量的变化趋向.（2）无穷大是变量,不能与很大的数混淆.3、无穷小与无穷大的关系定理2上页下页首页1.11 无穷小于无穷大4、无穷小的比较定义3上页下页首页1.11 无穷小于无穷大例1比较下列无穷小的阶数的高低：解 上页下页首页1.12

18、极限的运算法则1、极限的四则运算法则2、复合函数的极限法则上页下页首页1.12 极限的运算法则1、极限的四则运算法则定理1上页下页首页1.12 极限的运算法则推论1推论2注意（1）使用上述法则时，要求每个参与运算的函数的极限都必须存在。（2）在使用商的法则时，还要求分母的极限不能为零。上页下页首页例11.12 极限的运算法则解 例2解 上页下页首页1.12 极限的运算法则例3例4解 解 上页下页首页1.12 极限的运算法则例5例6解 解 上页下页首页例71.12 极限的运算法则解 上页下页首页1.12 极限的运算法则例8解 上页下页首页1.12 极限的运算法则归纳例6、例7及例8，可得以下的一

19、般结论上页下页首页例91.12 极限的运算法则解 上页下页首页例10解 1.12 极限的运算法则上页下页首页2、复合函数的极限法则1.12 极限的运算法则定理2上页下页首页1.12 极限的运算法则例11解 上页下页首页1.13 极限存在准则 两个重要极限1、极限存在准则与重要极限2、极限存在准则与重要极限上页下页首页1.13 极限存在准则 两个重要极限1、极限存在准则与重要极限准则上页下页首页1.13 极限存在准则 两个重要极限证 上页下页首页1.13 极限存在准则 两个重要极限例1解 上页下页首页1.13 极限存在准则 两个重要极限例2例3解 解 上页下页首页解 1.13 极限存在准则 两个重要极限例42、极限存在准则与重要极限上页下页首页1.13 极限存在准则 两个重要极限例5例6解 解 上页下页首页1.1