椭圆知识点总结附练习题

1、椭圆知识点总结椭圆的定义：平面内一动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意： （1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；(2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； (3) 椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，椭圆的简单几何性质:椭圆：的简单几何性质1.对称性：对于椭圆标准

2、方程： 以轴、轴为对称轴的轴对称图形；以原点为对称中心的中心对称图形2.范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。3.顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ， 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4.离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中

3、线段的几何特征（如下图）：（1）；（2）；（3）；5,通径：（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为.6,设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在同一直线上时，构成了一个三角形焦点三角形. 两种椭圆标准方程的区别和联系：椭圆 与 的区别和联系标准方程 图形性质焦点，焦距 范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，； 不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法：1，求椭圆方程的常用方法（1）待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条

4、件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；（2）定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。2，共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。3，方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有同号，且时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。4，焦点三角形（为椭圆上的点）有关的计算问题 令; 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。（此处信息量较大）将有关线段，有关角 ()结合起来，建立，之间的关系. 的最大值为；5，椭圆的扁

5、圆程度与离心率的关系离心率，因为，即。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。6，点与椭圆的位置关系： （1）点在椭圆外；点在椭圆上1； （3）点在椭圆内7，直线与椭圆的位置关系：若直线与圆锥曲线相交于两点，将直线方程联立曲线方程可得： （1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线与椭圆相离； 8，椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是9，弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交于两点，则； 若弦所在直线方程设为，则。注意：要注意两种直线方程的应用时的优缺点（详细介绍韦达定理在圆锥曲线中的

6、应用）10，中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解 抓住两点：中点坐标，弦所在直线斜率设交点坐标为，线段的中点为，则由 ，将两式相减 （1）斜率问题：；（2）弦中点轨迹问题时：，即；（3）要注意：；（4）直线的方程:；（5）线段的垂直平分线方程：椭圆的几何性质练习一，椭圆的几何性质的简单运用1，已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标。2，求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。3，在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线交于两点，且的周长为16，求的方程。二，求椭圆的离心率1，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的上顶点

7、，是椭圆的右顶点，是椭圆上的一点，且轴，,求此椭圆的离心率。2，已知椭圆的左焦点是椭圆的两个顶点，若到直线的距离为，求椭圆的离心率。3，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，求的离心率。4，设椭圆上存在一点，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围。三，直线与椭圆的位置关系1，椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，且，求椭圆的方程。2，直线过点与椭圆相交于两点，若为中点，试求直线的方程。3，已知椭圆的标准方程为，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同两点关于直线对称。四，椭圆中的最值问题1，已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离

8、最小？最小距离是多少？2，点分别是椭圆长轴的左右端点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方， （1）求点的坐标； （2）设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上点到点的距离的最小值。五，椭圆两种定义的应用1，在直线上任取一点，过且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，问在何处时，所作椭圆长轴最短，并求此椭圆方程。2，已知椭圆内有一点是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，使最小。六，综合问题1，过点作直线交椭圆于两点，当得面积最大时，求直线的方程。2，已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线。 （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上任意一点，且。求证：

9、为定值。3，椭圆的两个焦点为为是椭圆上一点，满足 （1）求离心率的取值范围； （2）当离心率取得最小值时，点到椭圆上的点的最远距离为，求此时椭圆的方程。4，已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点。 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）将表示为的函数，并求的最大值。5，设椭圆的左右焦点分别为，点满足。 （1）求椭圆的离心率； （2）设直线与椭圆相交于两点，若直线与圆相交于两点，且，求椭圆的方程。6，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，下顶点为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为 （1）若直线平分线段，求的值； （2）当时，

10、求点到直线的距离； （3）对任意的，求证：7，设分别是椭圆的左右焦点，过斜率为1的直线与椭圆相交于两点，且成等差数列。 （1）求椭圆的离心率； （2）设点满足，求椭圆的方程。作业1，某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为_。2，椭圆与的关系是_。3，椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为_。4，若椭圆的两焦点坐标为在椭圆上，且的最大面积是12，则椭圆的标准方程为_。5，两个正数1,9的等差中项是，等比中项是且，则曲线的离心率为_。6，已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是_。7，若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为_。8，已知椭圆的方程为。如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰为椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为_。9，椭圆内有一点，则经过并且以为中点的弦所在的直线方程为_。10，已知椭圆的两个焦点分别为，斜率为的直线过左焦点且与椭圆的交点为，与轴交点为，又为线段的中点，若，求椭圆离心率的取值范围。11，设是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的