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1、能量和角动量的某一共同本征态12 设一微观粒子在中心力场 中运动且处于能 量和角动量的某一共同本征态。 (1)在球坐标系中写出能量本征函数的基本形式， 写出势能 在此态上的平均值 的表达 式，并最后表成径向积分的形式； (2)设 是 的单调上升函数(即对任意 ，有 ) 证明对任意给定的 ，均有 其中 是径向波函数。分析：第一问比较简单。第二问主要理解单调函数的意义。能量和角动量的某一共同本征态3但我们注意到因此，在 是 的单调上升函数的前提下，无论 取任何有限值，必定有解: (2)由于 是 的单调上升的函数，故总可以 找到某个 ,使得 .对于 ,显然有即积分的最大值也就为0。4 在 时，氢原子

2、的波函数为 其中下标分别是量子数 的值，忽略自旋 和辐射跃迁。 (1)求体系的平均能量； (2)在任意 时刻体系处于 态的几率是多 少？ (3)在任意 时刻体系处于 态的几率是多少？ (4)写出任意 时刻体系的波函数 。分析：此题思路非常明确，前面我们也做过类似的题目。但同学们出错的可能性还是很大，特别是对能量因子的理解方面。5解：给出氢原子的定态能量题中给出初始波函数（1）体系的平均能量（2）任意时刻处在 态的几率不会 发生变化，一直是6题中给出初始波函数（3）任意时刻体系处于 态的几率也不会发生 变化，是（4）任意时刻体系的波函数是务必注意能量不一样！7在氢原子的一个能量本征态中，测得其轨

3、道角动量为 零（s 态），而有两个同心球面是波函数的零点。求氢原子的能量。 解： 分析：求能量主要是求主量子数n 从波函数 的形式看，角度方向零点由 提供，径向零点由 提供。根据节点定理，对于确定的 ，径向基态无节点 ，第 个径向激发态 有 个节点。对于本问题， ，氢原子主量子数为氢原子能量为8 设粒子处于状态 ,求轨道角动量 分量及 分量平均值 与 ，以及 与 。分析：由于球谐函数不是角动量x,y分量的本征函数，故需要利用升降算符作为桥梁来处理问题。解：利用公式同理9而求 还需要求 。同理可求出从而利用得出10 已知束缚态波函数为 ，求动量 与动能 的几率分布函数的表达式。对一维谐振 子基态，波函数 算出动量 与动能 的几率分布函数，并算出动能平均值。提示：已知Fourier变换其意义是：波函数按照动量算符的本征函数来展开展开系数是11则动量的几率分布函数可表示为而由于的动能T相同，且若动能的几率分布函数用F(T)表示,则有而则由此给出动能平均值12 质量为 的粒子在外场的作用下作一维运动 ，已知当其处于束缚态 时， 动能平均值为 ，并已知 是实函数。 试求当粒子处于态 时动量平均值 与动能平均值 。 解：思路比较明确，利用已知条件，并会证明束缚态中动量的平均值为零。设 是归一化的，则 必然也是归一化的。则但代入上式

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