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1、一维势场中的粒子能量的一般性质一维势场中的粒子能量的一般性质一维定态薛定谔方程 求定态问题：一维：归一化条件，波函数的标准条件，边界条件。 U（x）*=U（x），即U（x）取值。一维问题的一般性质定理1：设 是方程（1）的一个解，对应的能量本征值是E，则 也是方程的一个解，对应的能量也是E。证：方程（1）取复共轭，注意E取实值， ，容易证明。 如果对应于能量的某个本征值E，方程（1）的解无简并，则可取为实解。 定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。证：如果 是实解 如果 是复解 ， 是方程（1）的解，且： 和 也是

2、方程（1）的解，属于能量E。均为实解。 和 均可以表示为 和 的线形叠加。 定理3：设U（x）具有空间反射不变性， U（-x）=U（x）。如果 是方程（1）的对应能量的本征值E的解，则 也是方程（1）对应能量E的解。证（略） 定理4：设 ，则对应任何一个能量本征值E，总可以找到方程（1）的一组解，而属于能量本征值E的任何解，都可以用它来展开。证： 构造两个函数 和 均为方程（1）的解。 和 均可以表示为上述两个函数的叠加。 定理5：对于阶梯性方位势， 有限，则能量本征函数 及其导数必定是连续的。 定理6：对于一维粒子，设 与 均为方程（1）的属于同一能量的E的解，则： 定理7：设粒子在规则势场

3、中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。 束缚态（bound state）指粒子局限在有限空间中。 2.7 一维(无限深)势阱一、一维势阱实例 如：金属中的自由电子。 金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。二、微分方程 的三种形式解。 这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解： a. b. c. 依方便,随取一种形式的解.三、 一维无限深势阱求解 1、一维无限深势阱 一个粒子处在这样势阱 内,其质量为. 具体例子: 金属中电子可以 看成处在有限深势阱内.V(x) -a 0 a1.2、一维无限深势阱的薛定谔方程与求解. 这是定态问题, 只需解出定态波函数n与定态能量En即可. 定态薛定谔方程:分区求解, 再利用波函数连续条件,求出各个系数,本征波函数与能量本征

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