2021-2022学年高二物理竞赛课件：量子力学之能量的一级修正

1、能量的一级修正应注意， 和 并不对易， 只是 的本征函数，并不是 的本征函数。它本身或它们的某种线性组合只能作为 的本征函数的零级近似。能量的一级修正 既然把自旋和轨道相互作用视作微扰，那么计算微扰矩阵元，解久期方程就可得到本征能量的一级修正。 的两套基矢都可用来计算微扰矩阵元，但耦合表象基矢 对于 来说是其本征矢，微扰 在此表象中的矩阵元是对角化的，事实上不必解久期方程而直接由 的对角元素写出能量的一级修正。采用 计算微扰矩阵元 由公式 可得若不考虑核外电子对核的屏蔽，则 ，这样（21） （22） （23） 式中 （23）代入（22）后可见，对于给定 的 ，能量还与 有关，而 可取 和 两个

2、值，从而得到考虑 耦合时对应 与 时能量的一级近似为式中 为精细结构常数。（24）式表明，考虑自旋和轨道相互作用后，对于原来只与 有关的一个能级分裂成能量为 的两个能级；与此相应，原来由能级（24） 向其他能级跃迁而发出的每一条谱线，在碱金属的不同谱线中，可分别观测到两条或三条谱线，这就是光谱线的精细结构。由（24）式可见，每个能级分裂的间隔随原子序数的增大而增大，故原子序数较大的碱金属光谱的精细结构现象比较显著。当然， 的能级是不会分裂的。若将类氢原子放入弱磁场 中，必须同时考虑自旋轨道相互作用及外磁场对自旋、轨道磁矩的作用。这时哈密顿量是 其中 的本证方程为 （25） （26） （27）

3、（28） 由于外磁场较弱，我们可以将外磁场作用项看作微扰。但是， 的本征值 仍具有 度简并，故（28）式的求解仍需采用简并微扰法，用 的本征矢 计算微扰矩阵元。但由于 的存在， 和 都不与 对易，即总角动量 已不再是守恒量，因而 也不再是好量子数，且 在 表象基矢中的矩阵成为非对角的。不过，由于是弱场，略去不同 值的状态之间的耦合，近似的将 矩阵视为对角矩阵，选取磁场 沿 轴方向，微扰矩阵为（29） 式中 ，最后一步是将微扰矩阵近似看作对角化的，以便使久期方程对角化，直接写出能量的一级修正。但耦合表象基矢 不是 的本征矢，必须把 按（19）式展开，才能计算当 时 （30） 同理，当 时计及弱磁

4、场带来的影响后，能量的一级近似为相应的零级近似波函数仍由（19）或（20）给出，但现在的能级已对 解除了简并。（31） （32） 下图给出Na黄光的能级分裂情况 无耦合 耦合 在弱磁场中 由图可见，能级分裂情况是：考虑 耦合时， 能级 不分裂，记为 ； 能级 ，因 ，故分裂成两个： 和 ，从而形成光谱线的精细结构。加入弱磁场后，同时考虑耦合则前述能级将按 分裂成 个，其中 为半奇数， 为偶数。光谱线的产生要受选择定则的限制，已证明偶极辐射的选择定则为 ，且偶极辐射与自旋无关，即 ，所以这时选择定则为 。依此定则，图中光谱线 分裂为四条， 分裂为六条，即反常塞曼效应 。与观测结果一致。角动量算符

5、 本征值的阶梯算符 阶梯算符亦称升降算符，在量子力学中是一个十分有用的工具，它可以使问题的计算独辟蹊径。前面在粒子占有数表象中使用的 就是一维谐振子能量算符的本征值的阶梯算符，下面介绍角动量算符 本征值的阶梯算符定义注意 不是厄米算符， ，容易证明（33） （34） 的乘积算符5.2 的作用 设 的共同本征矢为 ，本征值分别为和 ，则由（34）式可得 （35） （36） （37） 可见 仍然是 的共同本征矢，相应的本征值为 和 。显然， 对应 的本征值相应增、减了 ，由于本征矢是由本征值即量子数所唯一确定的，所以断定 表征的应该是算符 的量子数为 和 的本征矢 ，即二者都是 的本征值为的本征矢，他们之间最多只能相差一个归一化常数。 （38） （39） 确定系数 和考虑到 ，所以 由（36）式又有 比较可得 （40） （41） （42） 取其实数值 同理可得 若用 左乘上式两端，得 的矩阵对 是非对角的， 只有 的矩阵元不为零， 只有 的矩阵元不为零。 （43） （44） （45） （46） 为了避免在 表象中使用 带来的麻烦，往往导出