新高考高考数学一轮复习巩固练习7.1第56练《基本立体图形、简单几何体的表面积与体积》（解析版）

1、专题7立体几何与空间向量第56练基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考点一基本立体图形1(多选)给出下列命题正确的是()A用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形C一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台D圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的答案BD解析只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，所以A错；由圆锥的性质可知B正确；直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以C错；由圆柱的定义可知D正确2(多选)

2、已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为()A16 B64C32 D无法确定答案AB解析根据题意，正方形的直观图如图所示， 若直观图中平行四边形的边AB4，则原正方形的边长为ABAB4，所以该正方形的面积S4416；若直观图中平行四边形的边AD4，则原正方形的边长为AD2AD8，所以该正方形的面积S8864.3(2022上海市徐汇区模拟)在四面体ABCD中，ABBCCA1，DA与直线AB，CA均垂直，且DAeq r(3)，一只蚂蚁从ABC的中心沿表面爬至点D，则其爬过的路程最小值为()A.eq f(r(39),3) B.eq f(r(15),2)eq f

3、(r(3),6)C.eq f(4r(3),3) D.eq f(r(37),3)答案A解析因为DAAB，DAAC，ABACA，AB，AC平面ABC，所以DA平面ABC，又DA平面DAC，所以平面DAC平面ABC，将底面ABC以AC为轴旋转，旋转至平面DAC与平面ABC共面，且平面DAC与平面ABC位于AC的异侧，如图，点O为ABC的中心，此时OD的直线距离即为最短距离，设O到直线AC的距离为d，则deq f(1,3)eq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(3),6)，所以ODeq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2blc(rc)(avs

4、4alco1(r(3)f(r(3),6)2)eq f(r(39),3).考点二表面积与体积4正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2eq r(5)，则它的表面积为()A4(3eq r(3)4) B12(eq r(3)2)C12(2eq r(3)1) D3(eq r(3)8)答案B解析正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2eq r(5)，则高为BB1eq r(2r(5)2222)2，它的表面积为S底6S矩形26eq f(1,2)22sin eq f(,3)62212eq r(3)2412(eq r(3)2)5.(2022苏州模拟)陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早

5、的娱乐工具之一传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺如图，一个正放的陀螺，下半部分为圆锥，上半部分为同底圆柱其总高度为8 cm，圆柱部分高度为6 cm，已知该陀螺由密度为0.7 g/cm3的木质材料做成，其总质量为70 g，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为() A2.0 cm B2.2 cmC2.4 cm D2.6 cm答案B解析由题意知该陀螺由密度为0.7 g/cm3的木质材料做成，其总质量为70 g，可得该陀螺的总体积为eq f(70,0.7)100(cm3)，设底面半径为r，则r26eq f(1,3)r2(8

6、6)100，解得req r(f(15,)2.2(cm)6某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，正方体ABCDA1B1C1D1内接于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体ABCDA1B1C1D1的体积的比值为()A4 B.eq f(9r(3),8) C4eq r(3) D24eq r(3)答案B解析根据题意，设圆锥的底面半径为r，则2r4，得r2，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，其内切圆半径为4eq f(r(3),2)eq f(1,3)eq f(2r(3),3)，设正方体的棱长为a，则eq f(2r(3),3)2eq r(3)a，得aeq f(4,3)，正方体的体积为eq f(64,27

7、)，又圆锥的高heq r(4222)2eq r(3)，则体积为eq f(8r(3),3)，圆锥的体积与正方体ABCDA1B1C1D1的体积的比值为eq f(9r(3),8).7(多选)(2022济南一中模拟)下列说法正确的是()A若球的表面积为36 cm2，则其体积为36 cm3B正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，则其表面积为18C正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则其表面积为(60eq r(3)24eq r(21) cm2D正四棱锥的底面边长为3eq r(2)，侧棱长为5，则其体积为24答案ACD解析对于A，设球的半径为R，因为球的表面积为36 cm2，可得

8、4R236，解得R3 cm，所以球的体积Veq f(4,3)R3eq f(4,3)3336(cm3)，所以A正确；对于B，因为正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，可得其表面积SS底S侧2eq f(r(3),4)223232eq r(3)18，所以B不正确；对于C，正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，可得正六棱台的斜高heq r(21) cm，则上底面面积为S16eq f(r(3),4)226eq r(3) (cm2)，下底面面积为S26eq f(r(3),4)6254eq r(3) (cm2)，侧面积为S36eq f(1,2)(26)eq r(21)24eq r(

9、21) (cm2)，所以六棱台的表面积SS1S2S3(60eq r(3)24eq r(21) cm2，所以C正确；对于D，由正四棱锥的底面边长为3eq r(2)，可得对角线长为6，又由侧棱长为5，所以正四棱锥的高heq r(5232)4，所以体积Veq f(1,3)Sheq f(1,3)3eq r(2)3eq r(2)424，所以D正确8已知正四棱台两底面边长分别为4 cm,8 cm，侧棱长为8 cm，则它的侧面积为_ cm2.答案48eq r(15)解析作出正四棱台的一个侧面，如图，设E，F分别为AD，BC的中点，过D作DGBC于点G.由题知AD4 cm，BC8 cm，CD8 cm，得DE2

10、 cm，FC4 cm，解得GC2 cm，在RtDGC中，DGeq r(8222)2eq r(15)(cm)，即斜高为2eq r(15) cm，所以所求侧面积为4eq f(1,2)(48)2eq r(15)48eq r(15)(cm2)9如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1和V2的两部分，那么V1V2_.答案75解析设三棱柱ABCA1B1C1的高为h，底面积为S，体积为V，则VV1V2Sh，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以SAEFeq f(1,4)S，所以V1eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1

11、(Sf(1,4)Sr(Sf(1,4)S)heq f(7,12)Sh，V2VV1eq f(5,12)Sh，所以V1V275.10(2022连云港模拟)市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥组成的组合图形，经过测量，圆台上底面的半径为4 cm，下底半径为2 cm，深为6 cm，上方的圆锥高为9 cm，则此冰激凌的体积为_ cm3. 答案104解析设圆台上底面半径r14 cm，下底面半径r22 cm，圆台的体积V1eq f(1,3)(req oal(2,1)req oal(2,2)r1r2)h1eq f(1,3)(1648)656(cm3)，圆锥的体积V2eq

12、 f(1,3)req oal(2,1)h2eq f(1,3)16948(cm3)，所以冰激凌的体积V5648104(cm3)11(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，ABADBC2 cm，且CD2AB，下列说法正确的有()A该圆台轴截面ABCD的面积为3eq r(3) cm2B该圆台的体积为eq f(7r(3),3) cm3C该圆台的母线AD与下底面所成的角为30D沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm答案ABD解析由ABADBC2 cm，且CD2AB，可得CD4 cm，高O1O2eq r(4blc(rc)(avs4alco1(

13、f(42,2)2)eq r(3) cm，则圆台轴截面ABCD的面积为eq f(1,2)(24)eq r(3)3eq r(3)(cm2)，故A正确；圆台的体积Veq f(1,3)(142)eq r(3)eq f(7r(3),3)(cm3)，故B正确；圆台的母线AD与下底面所成的角为ADO1，其正弦值为eq f(r(3),2)，所以ADO160，故C错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4 cm，底面半径为2 cm，侧面展开图的圆心角为eq f(22,4)，设AD的中点为P，连接CP，可得COP90，OC4 cm，OP213(cm)，则CPeq r(4232)5(cm)，所以沿着该圆台表面，从

14、点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确12.(多选)(2022济南模拟)如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB，DD交于点M，N，以下四个命题中正确的是() A.eq o(MN,sup6()eq o(EF,sup6()0B|eq o(ME,sup6()|eq o(NE,sup6()|C四边形MENF的面积的最小值与最大值之比为23D四棱锥AMENF与多面体ABCDEMFN的体积之比为13答案ABD解析对于A选项，如图，连接BD，BD，MN.由题意得EFBD，EFBB，BDBBB，所以EF平面BDDB，又MN平面BDDB，所

15、以EFMN，因此eq o(MN,sup6()eq o(EF,sup6()0，故A正确；对于B选项，由正方体性质得，平面BCCB平面ADDA，平面BCCB平面EMFNMF，平面ADDA平面EMFNEN, 所以MFEN，同理得MENF，又EFMN，所以四边形MENF为菱形，因此|eq o(ME,sup6()|eq o(NE,sup6()|，故B正确；对于C选项，由选项B易得四边形MENF的面积Seq f(1,2)MNEF，所以当点M，N分别为BB，DD的中点时，四边形MENF的面积S最小，此时MNEFeq r(2)，即面积S的最小值为1；当点M，N分别与点B(或点B)，D(或D)重合时，四边形ME

16、NF的面积S最大，此时MNeq r(3)，即面积S的最大值为eq f(r(6),2)，所以四边形MENF的面积最小值与最大值之比为2eq r(6)，故C不正确；对于D选项，四棱锥AMENF的体积为V1VMAEFVNAEFeq f(1,3)DBSAEFeq f(1,3)eq r(2)eq f(r(2),4)eq f(1,6)；因为E，F分别是AA，CC的中点，所以BMDN，DNBM，于是被截面MENF平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCDEMFN的体积V2eq f(1,2)V正方体ABCDABCDeq f(1,2)，所以四棱锥AMENF与多面体ABCDEMFN的

17、体积之比为13，故D正确13.(2022衡水中学模拟)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为_答案eq f(4 000,27)解析小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等且为5，下部分深入底部半球内设小圆柱下部分的高为h(0h5)，底面半径为r(0r5)由于r，h和球的半径构成直角三角形，即r2h252，所以小圆柱体积Vr2(h5)(25h2)(h5)(0h5)，V(3h5)(h5)当0h0，体积V单调递增；当eq f(5,3)h5时，V0，体积V单调递减所以当heq f(5,3)时，小圆柱的体积取得最大值，即Vmaxeq