2022年事件及其概率教案

1、第一章 大事及其概率本章是概率论部分的基本概念和基本学问,是学习以后各章所必不行少的；一、教学目的与要求1、懂得大事的概念,娴熟把握大事的运算法就,大事间的各种关系；2、把握概率的几种定义,熟识并会用概率性质进行概率的有关运算；3、把握条件概率的定义,并能应用有关条件概率的公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式）运算概率；4、把握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的运算；5、懂得大事独立性的概念,并会用独立性的性质进行概率的运算；二、教学重点与难点重点是各种类型概率的运算；难点是有关大事概率的运算； 1.1 随机现象与统计规律1.1.1 随机现象确定性现象、不确定性大事将随机试验的

2、每一个可能的结果,称为 基本领件 ；1 样本空间基本领件的全体,称为样本空间 ；也就是试验全部可能结果的全体是样本空间,样本空间通常用大写的希腊字母 表示,中的点即是基本领件,也称为样本点,常用 表示,有时也用 A,B,C 等表示；在详细问题中,给定样本空间是争论随机现象的第一步；就例 1、一盒中有十个完全相同的球,分别有号码,1、2、3 10,从中任取一球,观看其标号,令i取得球的标号为ii,1,23 10 2,1 , ,3, 10, i标号为i,i1 ,2 , 101,2,10为基本领件（样本点）例 2 争论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数,可能结果肯定是非负整数 而且很难制定一个数为它

3、的上界,这样,可以把样本空间取为 ,1,0 2 ,这样的样本空间含有无穷个样本点,但这些样本点可以依照某种次序排列起来,称它为可列样本空间；例 3争论某地区的气温时,自然把样本空间取为,或a,b这样的样本空间含有无穷个样本点,它布满一个区间,称它为无穷样本空间；从这些例子可以看出, 随着问题的不同, 样本空间可以相当简洁, 也可以相当 复杂,在今后的争论中,都认为样本空间是预先给出定的,当然对于一个实际问 题或一个随机现象,考虑问题的角度不同,样本空间也可能挑选得不同；例如：掷骰子这个随机试验, 如考虑显现的点数, 就样本空间2,1 3,；如考虑的是显现奇数点仍是显现偶数点,就样本空间奇数、偶

4、数；由此说明,同一个随机试验可以有不同的样本空间；在实际问题中,挑选恰当的样本空间来争论随机现象是概率中值得争论的问 题；2 随机大事再看例 1、样本空间,1,2 3, 10下面争论这些问题A球的标号为3,B球的标号为偶数,c球的标号不大于5其中 A 为一个基本领件,而B 与 C就由基本领件所组成；例如：B 发生（显现）必需而且只须以下样本点之一发生 2、4、6、8、10, 它由五个基本领件组成；同样地, C发生必需而且只须以下样本点之一发生1、2、3、4、5；无论基本领件仍是复杂大事, 它们在试验中发生与否, 都带有随机性, 所以叫做随机大事 或简称为 大事 ,习惯上用大写英文字母A,B,C

5、 等表示,在试验中假如显现 A中包含了某一个基本领件,就称作 A发生,并记作A；我们知道,样本空间包含了全体基本领件, 而随机大事不过是由某些特点的基本领件组成的,从集合论的角度来看,一个随机大事不过是样本空间 的一个子集而已；如例 1 中 ,1 ,2 3, 10；明显 A,B,C 都是 的子集,它们可以简洁的表示为A 3,B ,2 ,4 ,6 ,8 10,C 1,由于 是全部基本领件所组成,因而在一次试验中,必定要显现 中的某一基本领件,也就是在试验中 必定要发生, 今后用 表示一个必定大事, 可以看成 的子集；相应地空集,在任意一次试验中不能有,也就是说 永久不行能发生,所以 是不行能大事

6、, 实质上必定大事就是在每次试验中都发生的大事,不行能事件就是在每次试验中都不发生的大事,必定大事与不行能大事的发生与否,已经失去了“ 不确定性” 即随机性,因而本质上不是随机大事,但为了争论问题的方便,仍是将它看作随机大事；3 大事的关系与运算大事的包含关系定义： 如大事 A 发生必定导致大事B的特款, 记作AB或BA；B 发生,就称大事 B 包含了 A,或称 A 是大事的相等设 A,B, 如AB,同时有BA,称 A与 B相等,记为 A=B,易知相等的两个大事 A,B 总是同时发生或同时不发生,在同一样本空间中两个大事想等意味着它们含有相同的样本点；并 和 大事与积 交 大事定义：设A,BB

7、, 称大事“A 与 B 中至少有一个发生” 为A 和 B 的和大事或并大事；记作A和大事的概念仍可以推广到可列个大事的情形；设A,B或,称“A与 B同时发生” 这一大事为A和 B的积大事或交大事；记作ABABA,AAA ,ABA ,ABBA,A明显如AB,就ABA同样积大事的概念也可以推广为可列个大事的情形；差大事作A定义： 设A,B,称“A 发生 B 不发生” 这一大事为A 与 B 的差大事,记B对立大事定义： 称“A” 为 A的对立大事或称为A的逆大事,记作A；AAAAA由此说明,在一次试验中A与 A有且仅有一个发生；即不是A发生就是 A发生；明显 A A,由此说明A与 A 互为逆大事；A

8、 B A B由此说明,如大事 A比较复杂,往往它的对立大事比较简洁,因此我们在求复杂大事的概率时,往往可能转化为求它的对立大事的概率；互不相容大事（互斥大事）定义： 如两个大事 A与 B不能同时发生,即 AB 件（或互斥大事）；留意：任意两个基本领件都是互斥的；,称 A与 B为互不相容事推广：设 n 个大事A 1,A 2,An两两互斥,称A 1,A 2,An互斥（互不相容）如 A,B为互斥大事,就 A,B不肯定为对立大事；但如 A,A,B 互斥；大事的运算法就A,B为对立大事,就例：试验：袋中有三个球编号为 . . ,从中任意摸出一球,观看其号码,记 球的号码小于 3 球的号码为奇数 球的号码

9、为 3试问：）的样本空间为什么？）与,与,与是否互不相容？）,对立大事是什么？4 ）A 与 B 的和大事,积大事,差大事各是什么？1.1.2 概率与频率 1 概率与频率的概念定义 : 随机大事 A 发生的可能性大小的度量（数值） ,称为 A 发生的 概率 ,记为 P（A）；一般的,设随机大事A在 n 次试验中显现 nA次,比值 fn A= nA /n 称为大事 A在这 n 次试验中显现的频率lim nnAPA 吗？试判定“ 频率的极限就是概率” 这句话是否正确？即n不正确由-N定义,如lim nn APA 成立n就0 ,N0 ,nNnA nP A nAPA 而频率具有随机性,nN,并不能保证n

10、恒成立；例如,当nAn时,取1PA,上述不等式就不成立；因此,在概率论与数理统计中不能沿用数学分析中的一般极限定义了；2 频率的性质nAf nB；由频率的定义fn A = n,0nAn, 很快可以得到频率的性质,1、非负性：f n A0；2、规范性：如为必定大事,就nf=1；3、有限可加性：如 A,B 互不相容即 AB= , 就fnAB=f n A+nn AnB由这三条基本性质,仍可以推出频率的其它性质：4、不行能大事的频率为0,nf=0；fn A 1；5、如AB,就f n Af nB,由此仍可以推得6、对有限个两两互不相容的大事的频率具有可加性,即如 nmi j）, 就 f n i 1 A

11、i = i 1 f nA i ；A i Aj（1i,jm3 概率的性质由于概率是频率的稳固值,因此频率具有的性质,概率也应有相应的性质：1、非负性 :PA0；2、规范性 :P1；留意：性质 2 反过来不肯定成立；就是说概率为1 的大事不肯定为必定大事；同样,概率为 0 的大事不肯定为不行能大事,这方面的例子在下一章再举；3、有限可加性 : 如iAF,ii n1 ,2 3, , n,且AiAjij, 就in 1P A i1PiA即有限个互不相容的大事的和大事的概率等于这些大事的概率之和；因 A A,A A,从而有 P A P A =1；由此可知,给定一个随机大事,也就确定了一个样本空间、大事域

12、F 和概率 P是定义在 F 上的一个非空、规范的有限可加集函数； 1.2 古典概型 先争论一类最简洁的随机试验,它具有下述特点：1）1）样本空间的元素 （基本领件）只有有限个, 不妨设为 n 个,记为1 ,2 , ,n ；2）2）每个基本领件显现的可能性是相等的,即有P1P 2 =Pn；称这种数学模型为 古典概型 ；k A 包含的基本领件数A 包含的有利场合数就P A=n基本领件总数基本领件总数；所以在古典概型中,大事A 的概率是一个分数,其分母是样本点（基本领件）总数 n,而分子是大事 A 包含的基本领件数 k；判别一个概率模型是否为古典概型,关键是看“ 等可能性” 条件满不满意；而 对此又

13、通常根椐实际问题的某种对称性进行理论分析,而不是通过试验来判定；P由古典概型的运算公式可知,在古典概型中,如pA=1, 就 A=；同样,如A0,就A；不难验证,古典概型具有非负性、规范性和有限可加性；利用古典概型的公式运算大事的概率关键是要求基本领件总数和 A 的有利事 件数,就需要利用数列和组合的有关学问,且有肯定的技巧性；（一）摸球问题 例 1. 在盒子中有五个球（三个白球、二个黑球）从中任取两个；问取出的两个 球都是白球的概率？一白、一黑的概率？例 2：在盒子中有十个相同的球,分别标为号码 摸一球,求此球的号码为偶数的概率；（二）、分房问题例 3：设有 n 个人,每个人都等可能地被安排到

14、求以下大事的概率：1,2,3, , 9,10,从中任N个房间中的任意一间去住 （nN）,1）A=指定的 n 个房间各有一人住；2）B=恰好有 n 个房间,其中各有一人住从上述几个例子可以看出,求解古典概型问题的关键是在查找基本领件总数 和有利大事数,有时正面求较困难时,可以转化求它的对立方面,要讲究一些技 巧；例 4：某班级有 n 个人（ n0 ,向平面任意投掷一枚长为ll0上述等式总是成立的,同样对几何概率上述关系式也成立；1条件概率的定义定义 . 如（, F ,）是一个概率空间 P AB F,且（） 0. 对任意 F,称 P（A|B）= P B 为在已知大事发生的条件下大事发生的条件概率；

15、2性质不难验证条件概率 .|B 具有概率的三个基本性质）非负性： F （）规范性：（）可列可加性：iA F（i=1 ,2 ）,且 A 1 , A 互不相容,P A i B P A i B有 i 1 i 1由此可知, 对给定的一个概率空间 （, F ,）和大事 B F, 假如（）,就条件概率 .|B 也是 , F上的一个概率测度 , 特殊,当 B= 时, P.|B 就是原先的概率测度 P（. ）, 所以不妨将原先的概率看成条件概率的极端情形,仍可以验证4） PB =0 B +PA2B-PA 1A 2B5PAB=1- PA6PA 1A 2B=PA1B3、乘法公式由条件概率的定义可知,当 PA0 时

16、PAB= PAP B A 同理当 PB0 时, PAB= PBP A B 这个公式称为乘法公式乘法公式可以推广到n 个大事的情形,P A nA 1A 2. A n1PA 1A 2A n=P A 1PA 2A 1P A 3A 1A 2P A nA 1A 2.A n10 例 2：甲、乙两市都位于长江下游,据一百多年来的气象记录,知道在一年中的雨天的比例甲市占 20%,乙市占 18%,两地同时下雨占 12%；记 A= 甲市显现雨天 B = 乙市显现雨天求： 1）两市至少有一市是雨天的概率；2）乙市显现雨天的条件下,甲市也显现雨天的概率；3）甲市显现雨天的条件下,乙市也显现雨天的概率；例 3：（抽签问

17、题）有一张电影票,7 个人抓阄打算谁得到它,问第i 个人抓到票的概率是多少？（i=1 ,2, , 7）1.4.2 、全概率公式、贝叶斯公式例 4：有外形相同的球分别装两个袋子,设甲袋有6 只白球, 4 只红球,乙袋中有3 只白球 6 只红球,现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球,求此球是白球的概率；nB i定理 1：设 n B , B . 是 一列互不相容的大事,且有 i 1 = , 对任何大事 A,有 PA= i 1 P B i P A iB 证明：见书例 5：某工厂有四条生产线生产同一中产品,该四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,又这四条流水线的不合格

18、品率为 5%,4%,3%,及 2%,现在从出厂的产品中任取一件,问恰好抽到不合格品的概率为多少？（0.0325 ）一般地,能用全概率公式解决的问题都有以下特点：） 该随机变量可以分为两步,第一步试验有如干个可能结果,在第一步试验结果的基础上,再进行其次次试验,又有如干个结果；） 假如要求与其次步试验结果有关的概率,就用全概率公式；例 6：某保险公司认为,人可以分为两类,第一类是简洁出事故的,另一类,就是比较谨慎,保险公司的统计数字说明,一个简洁出事故的人在一年内出一次事故的概率为 0.04 ,而对于比较谨慎的人这个概率为 0.02 ,假如第一类人占总人数的 30%,那么一客户在购买保险单后一年

19、内出一次事故的概率为多少？（0.026 ）已知一客户在购买保险单后一年内出一次事故,那么,他属于那一类型的人？在上面的运算中,事实上已经建立了一个极为有用的公式：定理 2：如 B , B . 是一列互不相容的大事,且i 1 B i= ,P iB0, i ,1 2 . P B i P A B i P B j P A B j 就对任一大事 A,PA0 有 P iB A = j 1贝叶斯公式在概率论与数理统计中有着多方面的应用,假定 B , B 是导致试验结果的“ 缘由”,P iB 称为先验概率,它反映了各种“ 缘由” 发生的可能性的大小,一般是以往体会的总结,在这次试验前已经知道,现在如试验产生了

20、大事 A,这个信息将有助与探讨大事发生的“ 缘由”,条件概率P AiB称为后验概率,它反映了试验之后对各种“ 缘由” 发生的可能性大小的新学问,例如在医疗诊断中,有人为了诊断病人究竟是患了B ,B 2,中的那一种病,对病人进行观看与检查,确定了某个指标（譬如体温、脉搏、转氨酶含量等）他想用这类指标来帮忙诊断,这时可以用贝叶斯公式来运算有关概率,第一必需确定先验概率PB 这实际上是确定患各种疾病的大小,以往的资料可以给出一些初步数据（称为发病率）,其次要确定 P A iB 这当然要依靠医学学问, 一般地,有体会的医生 P A iB 把握得比较准,从概率论的角度 P iB A 的概率较大,病人患

21、B 种病的可能性较大,应多加考虑,在实际工作中检查指标A一般有多个,综合全部的后验概率,会对诊断有很大的帮忙,在实现运算机自动诊断或帮助诊断中,这种方法是有用价值的；例 7：用甲胎蛋白法普查肝癌,令 C= 被检验者患肝癌A= 甲胎蛋白法检查结果为阳性就C = 被检验者未患肝癌A 甲胎蛋白法检查结果为阴性由过去资料 PA C =0.95, P A C =0.90 又已知某地居民的肝癌发病率PC=0.0004 ,在普查中查出一批甲胎蛋白检查结果为阴性的人,求这批人中患有肝癌的概率PCA ；1.4.3大事独立性一、 独立性概念1、两个大事的独立性例 1、设袋中有五个球（三新两旧）每次从中取一个,有放

22、回地取两次,记A=第一次取得新球 B= 其次次取得新球；求： PA, PB, PB|A 3；3 3解：明显 PA= 5 PB= 5 PB|A= 5PB|A= PB 由此可得 PAB= PA PB ；定义 ：设 A、B F , 如 PAB= PA PB 就称大事 A、B是相互独立的,简称为独立的；依这个定义, 必定大事与不行能大事与任何大事都相互独立的, 由于必定大事与不行能大事的发生与否,的确不受任何大事的影响,也不影响其它大事是否发生；例 2：分别掷两枚匀称的硬币, 另 A=硬币甲显现正面 , B=硬币乙显现正面 ,验证大事 A,B 是相互独立的；验证： =（正、正）（正、反）（反、正）（反

23、、反）A=（正、正）（正、反） B=（反、正）（正、正）AB=（正、正）11= PAPB PA=PB=2 PAB= 4所以 A、B 是相互独立的；实质上,在实际问题中,人们常用直觉来判定大事间的” 相互独立” 性,事实上,分别掷两枚硬币,硬币甲显现正面与否和硬币乙显现正面与否,相互之间 没有影响,因而它们是相互独立的,当然有时直觉并不行靠；例 3：一个家庭中有男孩,又有女孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令 A=一个家庭中有男孩,又有女孩 , B=一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形,争论 A和 B的独立性；）家庭中有三个小孩；1）家庭中有两个小孩； 2 解： 1）有两个小孩的家庭,这时样本

24、空间为： =（男、男）,（男、女）,（女、男）,（女、女）A=（男、女）,（女、男）B=（男、男）,（男、女）,（女、男） AB=（男、女）,（女、男）1 3 1 于是 PA=2 , PB= 4 , PAB= 2由此可知 PAB PA PB 所以 A 与 B 不独立；2）有三个小孩的家庭,样本空间=（男、男、男）,（男、男、女）,（男、女、男）,（女、男、男）（男、女、女）,（女、女、男）,（女、男、女）,（女、女、女）；8 个基本领件的概率都是1, 这时 A包含了 6 个基本领由等可能性可知,这8件, B 包含了 4 个基本领件, AB包含了 3 个基本领件3 PA= 63 PB=41PAB

25、=88482明显 PAB=PAPB,从而 A与 B相互独立；1、2、多个大事的独立性；定义 2、设三个大事 A,B,C 满意 PAB=PAPB PAC=PAPC PBC=PBPC PABC=PAPB PC 称 A,B,C 相互独立；由三个大事的独立性可知,如 A、B、C两两相互独立,反之不肯定成立；例 4. 一个匀称的正四周体,其第一面染成红色,其次面染成白色,第三面染成黑色第四周上同时染上红、黑、白三色,以2 A、B、C分别记投一次四周体,显现红、1白、黑颜色的大事,就PA=PB=PC=421PAB=PBC=PAC=41PABC=4故 A、B、C两两相互独立但不能推出 P（ABC）=P（A）

26、P（B）P（C）同样地 由 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不能推出 A、B、C两两相互独立；定义 3. 对 n 个大事 A 1A 2 ,A 如对于全部可能的组合 1 i j k n有 P A iA j = P A i p A j P A i A j A k = P A i p A j p A k PA 1A2A n=PA 1pA 2pA n就称A 1,A2A n相互独立；n1个等式；n 个大事相互独立,就必需满意2n明显 n 个大事相互独立,就它们中的任意m（2mn）个大事也相互独立；二、独立性的性质定理 1 四对大事 A、B,A,B ,A,B 、A、B 中有一对相互独立,就其它三对也

27、相互独立；定理 2 设 A 1 , A 2 , , A n 相互独立,就将其中任意 m个（1 m n）换成其对立大事,就所得 n 个大事也相互独立；特殊地,如 A 1, A 2 A n 相互独立,就 A 1 , A 2 , A n 也相互独立；三、独立性的应用1、相互独立大事至少发生其一的概率的运算设A 1,A2P A n相互独立,就P A 1A 2A n=1-PA 1PA 2P A nP A 1A 2A 1An= A 2A n=1-1-这个公式比起独立的场合,要简便的多,它简便的多,它常常用的到例 6. 假如每个人血清中含有肝炎病的概率为 清中含有肝炎病毒的概率？0.4%,混合 100 个人

28、的血清,求此血解：设iA=第 I 个人血清中含有肝炎病毒 i,12, 100100=0.33 可以认为A 1,A2A 100相互独立,所求的概率为=1-0. 996PA 1A2A 100=1-P A 1P A 2PA 100虽然每个人有病毒的概率都是很小,但是混合后,就有很大的概率,在实际工作中,这类效应值得充分重视；例 7. 张、王、赵三同学各自独立地去解一道数学题,他们的解出的概率为 1/5 ,1/3 ,1/4 ,试求（ 1）恰有一人解出的概率； （2）难题被解出的概率；解：设 iA（i=1 ,2,3）分别表示张、王、赵三同学解出难题这三个大事,由题设知 A 1 , A 2 , A 3 相

29、互独立；（1） （1）令 A=三人中恰有一人解出难题 就 A= A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3PA= PA 1A 2A 3=PA 1A 2A 3=P 1 1 3A 1A 2A 3= 1 5P A 1P A 2P A 3+ 1PA 1PA 2P A 3+A 1P A 2=1 11 11 3 11 4 11 5 1113P P A 3543430；A 1P A 2PA 31 =1111 11 432 令 B=难题解出 P BP A 1A2A 3=1-P535；2、在牢靠性理论中的应用对于一个电子元件, 它能正常工作的概率p,称为它的牢靠性, 元件组成系统,系

30、统正常工作的概率称为该系统的牢靠性,随着近代电子技术组成迅猛进展,关于元件和系统牢靠性的争论已进展成为一门新的学科-牢靠性理论 . 概率论是争论牢靠性理论的重要工具；例 8. 假如构成系统的每个元件的牢靠性均为 互独立的 , 试求下面两种系统的牢靠性；图 1 1 2 n 1 2 n 图 2 r,0r1, 且各元件能否正常工作是相 1 2 1 2 解 :1 每条道路要能正常工作当且仅当该通路上各元件正常工作故其牢靠性为nR c r 也即通路发生故障的概率为 1 r n . 由于系统是由两通路并联而成的,两通路同时发生故障的概率为 1 r n 2,因此上述系统的牢靠性为R s 1 1 r n 2= r n 2 r n；22 每对并联元件的牢靠性为R =1- 1 r r 2 r 系统由 对并联元件串联而成,故其牢靠性为Rs R n r n 2 r n明显 Rs R c 因此用邻近元件的方法以增加系统的可能性n n利用数学归纳法可以证明 n 2 时.