1.1.2 空间向量的数量积运算1(教师版)

1、1.1.2 空间向量的数量积运算（1）教学目标：1.由平面向量的数量积定义、运算性质类比得出空间向量的数量积定义、运算性质；2.在立体图形中进行简单的数量积运算及求模运算.学科素养：1.类比认知新知，发展数学抽象素养；2.化归思想解题，发展数学运算素养.教学重点与难点：1.在立体图形中进行简单的数量积运算及求模运算;2.化归意识的强化.教学过程：一、空间向量数量积a、b是两个非零向量：1.数量积ab=abcos；2. abab=0；3. a2=a2.二、典型例题 【例1】已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则AFCE=( )A. 1 B. 2 C. 1D. 2

2、【答案】D解析：AFCE=12(AC+AD)12(CA+CB) =14(ACCA+ACCB+ADCA+ADCB) =14(ACACCACBADAC+ADCB) =14(422+0) =2故选：D 注：很容易证明ADCB.解题流程梳理： 思考：直接用定义求“AFCE”有什么弊端？ 答：确定这两个向量的夹角有难度.【例2】如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB. 已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为() A. 17 B. 7 C. 217 D. 9【答案】C预备知识：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.解

3、析：CD=CA+AB+BD，CD2=CA2+AB2+BD2+2CAAB+2CABD+2ABBD，=36+16+64+20+2(48)+20=68CD=217故选：C解题流程梳理：思考：有传统几何相比，利用向量运算求线段长有什么优势？答：不用引辅助线，更加直接. 三、巩固练习 1.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则BD1AD等于()A. 1 B. 2 C. 3 D. 63【答案】A解析：BD1AD=(AD1AB)AD =(AD+AA1AB)AD. =AD2+AA1ADABAD. =1+00 =1.故选：A2.在ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它

4、沿着对角线AC折起，使AB与CD成60角，则BD的长度为()A. 2B. 2或2C. 2D. 32或22【答案】B解析：BD=BA+AC+CD， BD2=BA2+AC2+CD2+2BAAC+2BACD+2ACCD. =1+1+1+0+2BACD+0=3+2cos =4，=6002，=1200，|BD|=2或2，故选B练习失误处反馈： 四、小结 1.直接求两个向量的数量积有困难，可以往哪个方向考虑？ 2.利用向量运算求线段长有什么优势？ 五、课后作业1.在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PEBC的值为()A. 1B. 1 C. 3 D. 73【答案】A解析：如图所示： PEBC

5、=12(PA+PB)(PCPB).=12(PAPC+PBPCPAPBPB2).=12(2+224).=1.故选：A 2.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1AD1=()A. B. C. D. 【答案】A解析：A1C1AD1=(A1B1+A1D1)(AA1+AD) =A1B1AA1+A1B1AD+A1D1AA1+A1D1AD =0+0+0+2 =2故选：A3.直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，且BAD=3，则|AC1|=()A. 23 B. 4C. 10D. 33【答案】B解：如图， AC1=AC+CC1=AB+AD+CC1， AC1=AB2+AD2+AA12+2ABAD+2ABCC1+2ADCC1 =4+4+4+4+0+0=16，|AC1|=4，故选：B 4.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，且A1AD=A1AB=45，DAB=60，则BD1=()A. 1 B. 2 C. 3D. 2【答案】C解析