中考数学之平面几何总结+经典习题

1、平面几何知识要点（一）【 线段、角、直线 】过两点有且只有一条直线。两点之间线段最短。过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。垂直平分线， 简称“中垂线”。定义： 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线） 。线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。中垂线性质 ：垂直平分线垂直且平分其所在线段。垂直平分线定理: 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。逆定理 ： 到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫 外心 ，并且这

2、一点到三个顶点的距离相等。角同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。对顶角相等。角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1 ： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2 ： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形各内角平分线的交点，该点叫 内心， 它到三角形三边距离相等。【平行线】平行线性质1:两直线平行，同位角相等。平行线性质2:两直线平行，内错角相等。平行线性质3:两直线平行，同旁内角互补。平行线判定1:同位角相等，两直线平行。平行线判定2:内错角相等，两直线平行。平行线判定3:同旁内角互补，两直线平行。平行线判定4:如果两条直线都和第三条

3、直线平行，这两条直线也互相平行。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。平面几何知识要点（二）【三角形】面积公式:11.已知二角形底 a,图h, S ah22.正三角形面积 S= a2 （a为边长正三角形）43.已知三角形三边a,b,c ,则 S Jp(pa)( pb)(pc) (海伦公式)其中：p （a；c）（周长的一半）4.已知三角形两边a, b及这两边夹角 C,则S.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为1.八一 abs

4、inC。2(a b c)rr ,则 S -2abcSAS).设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R,则S4R记住:已知正三角形边长为a,其外接圆半径为R,内切圆半径为 r,则有：R a , r a , R 2r 36内角和定理：三角形三个内角的和等于 180推论1 :直角三角形的两个锐角互余推论2 :三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 :三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形性质： 如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等。其中对应边除了三角形的边长外，还包括对应高，对应中线，对角平分线。全等三角形判定定理：边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。（

5、SSS）边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。相似三角形性质定理性质定理1:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比。性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形判定定理判定定理1:两角对应相等，两三角形相似（ ASA判定定理2:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相

6、似（SSS）定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线） 相交， 所构成的三角形与原三角形相似。三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1 ：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论2 ：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。定理： 如果一条直线截

7、三角形的两边 （或两边的延长线） 所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等。推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。推论2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。 （三线合一）推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形直角三角形1 勾股定理 ：直角三角形两直角边 a、 b 的平方和、等于斜边c 的平方（ a2b2c

8、2 ）逆命题： 如果三角形的三边长有关系 a2 b2 c2 ， 那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中 为最长边： 如果：a2 b2 c2 ,则4 ABC是直角三角形;2.22如果a b c ,则 ABC是锐角三角形;如果a2 b2 c2 ,则4 ABC是钝角三角形。.直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。那么这个三角形是逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半,直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。.在直角三角形中，如果一个锐角等于30。那么它所对的直角边等于斜边的一半，由2。此性质可推出：含 3

9、0的直角三角形三边之比为1: J3:.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半,也等于rabc.射影定理:如果 ABC是直角三角形,/ C=90 , CD) AB,_ 2_AC AD.ABBC2DB.ABCD2 AD.DBAC2BC2如果 ABG CD) AB, ADC CDBADDB2CD AD.DB ,则：对一般三角形的拓展：如图，如果ADSAACE则:AC2 AD. AB7.如果/ ADEh B 或 /AED4 C,或 / C+/ DEB=180 ,或 ZB+Z CDE=1809.在 ABC中，AD是/ A的平分

10、线，那么:AB 史AC DC那么有：AD-AC=AE AB8.如果 DE/ BC ,那么有：AD: AC AE:AB DE :BC10.内、外角角平分线： DO平分/ AOB EO平分/ COB可以推出：/ DOE=90，/AOD它 COE=90平面几何知识要点（三）【四边形及多边形】面积公式：平行四边形面积=底X高矩形面积=长*宽菱形面积=对角线乘积的一半 或 菱形面积=底*高梯形面积=（上底 下底）局=中位线x高2对角线相互垂直四边形面积=对角线乘积的一半。平行四边形：性质定理1：平行四边形两组对边分别平行性质定理2:平行四边形两组对角分别相等。性质定理3:平行四边形两组对边分别相等。推论

11、：夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等。性质定理4:平行四边形的对角线互相平分。是中心对称图形判定定理1:两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定定理2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。判定定理3:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。判定定理4: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。判定定理5:对角线互相平分的四边形是平行四边形。矩形性质定理1:矩形对边分别平行且相等；性质定理2:矩形的四个角都是直角。性质定理3:矩形对角线互相平分且相等性质定理4:矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形判定定理2:有一个直角的平行四边形；判

12、定定理3:对角线相等的平行四边形是矩形菱形性质定理1:菱形对边平行，四条边都相等。性质定理2:菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。性质定理3:菱形既是中心对称图形也是轴对称图形。判定定理1:四边都相等的四边形是菱形。判定定理2: 一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理3:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形性质定理1:正方形对边平行，四边相等；性质定理2:正方形的四个角都是直角;性质定理3:正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。性质定理3:正方形既是中心对称图形也是轴对称图形。判定定理1:有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形；判定定理2:

13、 一组邻边相等的矩形是正方形；判定定理3: 一个角为直角的菱形是正方形。等腰梯形性质定理1:等腰梯形两底互相平行，两腰相等；性质定理2:等腰梯形在同一底上的两个底角相等。性质定理3:等腰梯形的两条对角线相等。性质定理4:等腰梯形是轴对称图形。判定定理1:腰相等的梯形是等腰梯形；判定定理2:在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。判定定理3:对角线相等的梯形是等腰梯形。如果等腰梯形对角线相互垂直，则高与中位线相等。四边形四边中点连成的四边形图形：.如果原四边形对角线相等且垂直，那么四边形中点连成的新四边形为正方形；.如果原四边形对角线只相等不垂直，那么四边形中点连成的新四边形为菱形；.如果原四

14、边形对角线垂直但不相等，那么四边形中点连成的新四边形为矩形；.如果原四边形对角线既不相等又非垂直，那么四边形中点连成的新四边形为平行四 边形。.四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半其它定理和公式.定理：四边形的内角和等于 360 ,四边形的外角和等于 360。.多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2） X 180推论：任意多边的外角和等于3603. n边形从一个顶点出发的对角线，共有（n3）条，将n边形分成了（n2）个三角形;n边形一共有n （ n- 3）条对角线。4.正n边形的每个内角都等于:(n 2) 180，八常用辅助线【圆、弧圆及圆的相关量的定义平面兀何知识要点（四）

15、圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。弧、弦的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆、弧的表示方法： 圆-。 弧弦心距定义：圆心到弦的距离叫做弦心距。弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。圆心角定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆周角定义：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。圆心距定义：两圆圆心之间的距离叫做圆心距。连心线定义： 过平面内不重合的两个圆的圆心的直线叫做这两个圆的连心线。扇

16、形定义：在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。三角形的外接圆： 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形 3个顶点距离相等。三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形 3边距离相等。圆的内接正n边形、圆的外切正 n边形定义：把圆分成n(n3)等分：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。-1其中：p - (a b c d) 2圆的外切四边形的两组

17、对边的和相等：AB+ CD= ADH BCABb)(p c)(p圆内接四边形面积：. a b外公切线定义： 两个不相交的圆在公切线的同旁时,公切线定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。内公切线定义：两个不相交的圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。这样的公切线叫做外公切线。右图中：直线 AR CD就是两圆的公切线，其中 AB为外公切线，CD为内公切线。公切线长计算公式：设。01半径为R,。02半径为r, R r ,两圆的圆心距为d外公切线长=2 （R r）2内公切线长=Jd2 （R r）2当两圆相切时，无内公切线长。直线与圆有三种位置关系：1.无公共点为相离；2.有2个公共点为相交

18、；3.圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的 切线，这个唯一的公共点叫做 切点。两圆之间有5种位置关系：1.无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，2.在之内叫内含；3.有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，4.在之内叫内切；5.有2个公共点的叫相交。圆的基本性质：点P与圆。的位置关系（设 P是一点，则PO是点到圆心的距离）：当 P在。0外，POr；当 P在OO, PO= r；当 P在。0内，PCXr。.直线AB与圆。的位置关系（设 CPLAB于P,则PC是直线AB到圆心的距离）： 当AB与。相离，PCr；当AB与。相切，PC= r；当AB与。相交，PCXr。.圆与圆的位置关系（设两圆的半

19、径分别为R和r,且Rr,圆心距为 P）:外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 R-r P E,直线EB及CD分别交MNT P、Q.求证：AP= AQ （初二）3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BG求证：AP= AQ （初二）P是EF的中点.4、如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在 ABC的外侧作正方形 ACD臣口正方形 CBFG点求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.（初二）经典难题（三）1、如图，四边形 ABC的正方形，DE/ AG AE= AG AE与CD相交于F.求证：C已CF.（初二）2、如图,四边形ABC的正方形，DE/ AC 且CE= CA 直线EC交DA延长线于F.求证:AE= AF.（初二）3、设P是正方形求证：PA= PF.（初二）ABCD-边BC上的任一点， PFAP, CF平分/ DCE4、如图，PC切圆证：AB= DQ BC= AD （初三）。于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE AF与直线PO相交于 B D.求经典难题（四）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形