信号分析与处理4-2滤波器设计

1、4.2 模拟滤波器的设计 实际滤波器的幅度特性|H( j)|只能是理想特性的逼近，而实际幅度平方函数也将是对理想幅度平方函数的近似逼近函数。解决滤波器H(s)设计的关键是要找到这种逼近函数。目前已经找到了多种逼近函数。4.2.1 Butterworth滤波器 最平响应特性滤波器 Butterworth滤波器是以Butterworth近似逼近函数作为滤波器的传函。它的幅度平方函数为 n 滤波器的阶数c 3dB带宽，即滤波器的截止频率。1当 =c |H( j)|2 = 1/2 ，为3dB点或半功率点。 不同阶次n的Butterworth滤波特性n1(黑) n2 (红) n3 (蓝) A( 2) n

2、3 n2 n1 c o1.00.5特点： 最大平坦性：在 = 0点，它的前(2n1)阶导数等于0，表明Butterworth滤波器在 = 0附近一段频率范围内是非常平直的，它以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器，“最平响应”由此而得名。2 通带、阻带下降的单调性。 3dB的不变性。n，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性。但不管n是多少，幅频特性都通过-3dB点。当 c 时，特性以-20n dBdec速度下降。 求Butterworth滤波器的传函Hs。 极点： s2n + ( jc)2n = 0 3k = 0，1，2 ，2n-1分布特点： 2n个极点，以 /n为间隔均匀分布在半径为c的圆周上

3、，这个圆称为Butterworth圆。 所有极点以 j 轴为对称轴成对称分布，j 轴上无极点。 当n为奇数时，有两个极点分布在s =c的实轴上；n为偶数时，实轴上无极点。 全部零点位于s =处。 4j os1 s6 s2 s5 s3 s4 /6 js1 s2s3s4s5s6s7 s8 /8o为得到稳定的Hs，取全部s左半平面的极点5引入归一化频率 Hs 是s 的多项式，查表可得分母极点或多项式形式。表4.1 表4.2 表4.3 6 例4-3 试确定一低通Butterworth滤波器的传递函数Hs。要求在通带截止频率 fc =2kHz(c =22103 rad/s)，衰减c 3dB，阻带始点频率

4、 fs = 4kHz (s = 2 4103 rad/s)，衰减s 15dB，各项指标如图所示。20lg|H( )| -3dB 0-15dB oc z 解： 求 n78取n=3 实现 通常采用无源网络（T型或型）或有源网络 要求不太高的场合，采用RC无源网络居多，要求较高时，可采用有源网络。9c =22103 rad/s c 3dB s = 2 4103 rad/s s 15dB10解： 例4-4 设计一低通Butterworth滤波器的传递函数。要求：p = 2 104 rad/s p 1dB s= 4 104 rad/s) s 15dB11n = 3.44 取 n = 4 c = 2 1.

5、304 104 rad/s Butterworth滤波器，n较小时，阻带幅频特性下降较慢，若要阻带幅频特性下降迅速，需增加n，则滤波器所用元件数增多，线路趋于复杂。12p = 2 104 rad/s p 1dB s= 4 104 rad/s s 15dB134.2.2 Chebyshev滤波器通带等波纹滤波器 1. Chebyshev多项式Cn(x) = cos(n arccosx) | x | 1 令 = arccos x x = cos Cn(x) = cos(n)cosn+1 = cos(n) cos - sin(n) sin cosn -1 = cos(n ) cos + sin(n)

6、 sin cosn+1 = 2cos n cos cosn 1 Cn+1(x) = 2x Cn(x) Cn-1(x) 14 C0(x) = 1 C1(x) = cos = x C2(x) = 2 x2 1 C3(x) = 4 x3 3x C4(x) = 8 x4 8 x2 +1 C5(x) = 16 x5 20 x3 + 5x 表4.4 1 10阶Chebyshev多项式Chebyshev多项式最高阶系数2n-1Cn+1(x) = 2x Cn(x) Cn-1(x)1515阶切比雪夫多项式曲线 C1(x) 1o1x1o1 xC3(x) 1C2(x) o1xC4(x) 1o1 xC5(x) 1o1

7、 x16 特点： n为偶数，Cn(x)为偶次式；n为奇数时，Cn(x)为奇次式。 当x在| x | 1，Cn(x)的值随| x |增大而迅速增大，n越大，其增长越快。 Cn(x) = ch(n arch x) （ | x | 1）令 ch z = cos jz = x ，则arcos x = j z arch x = z 17arcos x = j arch x Cn(x) = ch(n arch x) = cos( jn arch x) = cos(n arcos x) 2. Chebyshev滤波器的幅度平方函数 Chebyshev滤波器是一种全极型滤波器，在通带内等波动，通带外衰减单调递

8、增的准则来逼近理想特性。与Butterworth相比，它在通带内更为均匀，是所有全极型滤波器中过渡带最窄的滤波器。 分为型: 通带内等波纹起伏特性，阻带内单调下降 型: 阻带内有起伏特性，通带内是单调下降 椭圆滤波器:通带和阻带内有起伏特性18式中， Chebyshev多项式 n 阶次 c 通带截止角频率，这里是指被通带波纹所限制的最高频率，c 3dB； 为一小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度。型低通Chebyshev滤波器n阶幅度平方函数为19201o1 xC3(x) 21不同阶次的幅度平方函数特点： 所有曲线在 = c时，通过1/(1+ 2)点，所以c定义为截止角频率。 在通带内 /c

9、 1，在1和1/(1+ 2)之间变化；在通带外，特性呈单调下降，下降速度与n成正比 n为奇数，A2(0) =1；n为偶数，A2(0)=1/(1+ 2)。通带内误差分布是均匀的， 这种逼近称为最佳一致逼近。 在通带内有起伏， 相频特性也有相应的起伏波动，即相位是非线性的，这给信号传输时带来线性畸变，要求群时延等于常数时，不宜采用这种滤波器。 223.系统函数H(s) 极点的分布情况可这样求出： 设23 sk = c sin sh + jc cos ch = cosn chn j sinn shn = j 1/ 得 cosn chn = 0 sinn shn = 1/ 解k =1，2，2n 24k

10、 =1，2，2n sk就是Chebyshev filter H(s)H(s)的极点，给定n，c， 即可求出2n个极点的分布。此极点分布满足25 上式是一个在s平面上的椭圆方程。其短轴和长轴分布为26纵坐标等于n阶Butterworth大圆极点的纵坐标，横坐标等于n阶Butterworth小圆极点的横坐标。极点n = 4abButterworth大圆abn = 327系统函数归一化 表4-5，表4-6列出1dB，2dB，3dB时分母多项式与n的关系。 由于波纹参数不同，这种表格有很多种。28解： = 0.508847确定n： 例4-5设计一个Chebyshev低通滤波器的传递函数H(s)。要求：

11、通带允许起伏： 1dB 0 2 104 rad/s阻带衰减： 15dB 2 2104 rad/s2930取整选 n = 3 31通带允许起伏： 1dB 0 2 104 rad/s阻带衰减： 15dB 2 2104 rad/s324.2.3 频率变换 Butterworth、Chebyshev滤波器的设计，只讨论了低通滤波器的设计问题，高通、带通、带阻滤波器可以通过对滤波器特性的频率变换转换成低通滤波器的设计。这种频率变换的方法又称为原型变换，变换得到的低通滤波器称为低通原型滤波器。 频率变换是指低通原型滤波器传递函数与其他类型（高通、低通、带阻）滤波器传递函数中频率之间的变换关系。 具体做法是

12、：先根据对高通、带通、带阻等滤波器特性指标要求，导出相应的低通原型的指标来；确定低通原型的H(s)；再根据一定变换关系得出高通、带通、带阻滤波器的H(s)。33 用高通滤波器截止频率c对HH( j)进行归一化，得到归一化的高通频率特性HH( j)，归一化频率当s = j时，s 也为虚数（ s = j ）r为参考角频率，在这里且选r =c。 1.低通至高通的变换 34 = 1 归一化低通原型频率 归一化高通频率 = 0 = = 1 = 1 = s = s = 1/s = = 0 (1)高通滤波器技术指标转化为相应的低通原型滤波器技术指标。(2)设计低通原型滤波器得到HL(s )，(3)求得要求设计的高通滤波器的系统函数HH(c/s)。3536 【例4-6】给定高通滤波器的技术指标：通带允许起伏： 1dB 2 1.5 10