六年级奥数第17讲最大最小问题教师版

1、 PAGE 页码 13 / NUMPAGES 总页数 13六年级奥数第17讲最大最小问题教师版教学目标学会在题目中判断出限制条件；学会分数知识的综合运用；从题目限制条件中分析最大最小问题。知识梳理 在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。解答最大最小问题通常要用下面的方法：1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2、着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子

2、从“极端”情形入手,缩短解题过程。人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。典例分析 考点一：简单最大最小问题例1、把1、2、3、16分别填进图中16个三角形里,使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？【解析】为了方便描述,我们把图中部分三角形注上字母,从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系,因此,应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次,所以要尽可能填大数,即填1116。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的

3、和相等”这一条件,就可以计算出这个和的最大值了。234161112131415163=72例2、有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克？【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克,要使最重的一堆尽可能轻些,另两堆就得尽可能重些。根据42.53=14千克0.5千克可知：最重的一堆是140.5=14.5千克,即由6千克和8.5千克组成,另外两堆分别是14千克。例3、一次数学考试满分100分,6位同学平均分为91分,且6人分数互不相同,其中得分最少的同学仅得65分,那么排

4、第三名的同学至少得多少分？分数取整数【解析】除得65分的同学外,其余5位同学的总分是91665=481分。 根据第三名同学得分要至少,也就说其他四人得分要尽量高,第一、第二名分别得100分和99分,而接近的三个不同分是93、94、95。所以,第三名至少得95分。例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米,每一种庄稼需要先收割好、捆好,然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作,工时如下表一种庄稼不割好、捆好,不准运输,这两组从开工到完工最少经过多少小时？【解析】先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来：大豆7+5=12小时,谷子3+6=9小时,高梁5+1=6小时,小米5+9=14小

5、时。平均每个小组用12+9+6+142=20.5小时,但实际做不到。因此,根据各类庄稼所需时间相加,使其最接近20.5小时。12+9=21小时是最少经过的时间。例5、A、B、C是三个风景点,从A出发经过B到达C要走18千米,从A经过C到B要走16千米,从B经过A到C要走24千米。相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？【解析】根据题意可知,AB+BC=18千米,AC+BC=16千米,AB+AC=24千米,用18+16+242就能算出AB+BC+AC=29千米。 因此,AC=29-18=11千米,AB=29-16=13千米,BC=29-24=5千米。 B、C两个风景点的距离最近,只相距5

6、千米。考点二：数论中的极端思想例1、18这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？【解析】8531和7642。高位数字越大,乘积越大,所以它们的千位分别是8,7,百位分别是6,5。两数和一定时,这两数越接近乘积越大,所以一个数的前两位是85,另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数。例2、有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如257,1459等等,这类数中最大的自然数是多少？【解析】要想使自然数尽量大,数位就要尽量多,所以数位高的数值应尽量小,故10112358满足条件如果最前面的两个数字

7、越大,则按规则构造的数的位数较少,所以最前面两个数字尽可能地小,取1与0。例3、某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种,为了能支付1元、2元100元的钱数整数元,那么至少需要准备货币多少张？【解析】为了使货币越少越好,那么9元的货币应该尽量多才行。当有10张9元时,容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。当9元的货币超过11张时,找不到比14张更少的方案。当9元的货币少于10张时,至少有19元需要由5元以下的货币构成,且1元的货币至少2张,这样也找不到比14张更少的方案。综上分析可以知道,最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的,共14张货币。例4、a和b是

8、小于100的两个不同的自然数,求 EQ F(ab,a+b) 的最大值。【解析】根据题意,应使分子尽可能大,使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知,分母比分子大2,也就是说,所有的分数再添两个分数单位就等于1,可见应使所求分数的分数单位尽可能小,因此a=99 EQ F(ab,a+b) 的最大值是 EQ F(991,99+1) = EQ F(49,50) 答： EQ F(ab,a+b) 的最大值是 EQ F(49,50) 例5、有甲、乙两个两位数,甲数 EQ F(2,7) 等于乙数的 EQ F(2,3) 。这两个两位数的差最多是多少？【解析】甲数：乙数= EQ F(2,3) ： EQ F(2,7

9、) =7：3,甲数的7份,乙数的3份。由甲是两位数可知,每份的数量最大是14,甲数与乙数相差4份,所以,甲、乙两数的差是147-3=56。 例6、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100从中划去100个数字,那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？【解析】要得到最大的数,左边应尽量多地保留9。因为159中有109个数码,其中有6个9,要想左边保留6个9,必须划掉159中的109-6103个数码,剩下的数码只有192103=89个,不合题意,所以左边只能保留5个9,即保留149中的5个9,划掉149中其余的84个数码。

10、然后,在后面再划掉16个数码,尽量保留大数见下图：所求最大数是999997859606199100。同理,要得到最小的数,左边第一个数是1,之后应尽量保留0。250中有90个数码,其中有5个0,划掉其余90-5=85个数码,然后在后面再划掉15个数码,尽量保留小数见下图：；所求最小数是10000012340616299100。考点三：智巧趣题的极端思想例1、99个苹果要分给一群小朋友,每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样,且每位小朋友至少要有一个苹果问：这群小朋友最多有几位? 【解析】1+2+3+13=9199,1+2+3+14=10599,说明若13位各分得1,2,3,13个苹果,未分完99

11、个,若14位各分得1,2,3,14个苹果,则超出99个因91+8=99,在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上,就可得合题意的一个分法：13人依次分1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14个。所以最多有13位小朋友。注：13人的分法不唯一例2、某学校,星期一有15名学生迟到,星期二有12名学生迟到,星期三有9名学生迟到,如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次,则这三天都迟到的学生最多有多少人？【解析】三天都迟到的要尽量多,则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的。可求出三天都迟到的学生最多有：15+12+9-222=7人。例3、如图,司机开车按顺序到

12、五个车站接学生到学校,每个站都有学生上车。第一站上了一批学生,以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时,车上最少有多少学生？【解析】因为每个站都有学生上车,所以第五站至少有1个学生上车假如第五站只有一个学生上车,那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2,4,8,16个因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31人,很明显,如果第五站有不止一个学生上车,那么上车的总人数一定多于31个。所以,最少有31个学生。例4、若干名家长爸爸或妈妈,他们都不是老师和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛,已知家长和老师共有22人,家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多2人,至少有1名男老师

13、,那么在这22人中,爸爸有多少人？ 【解析】家长比老师多,所以老师少于222=11人,即不超过10人；相应的,家长就不少于12人。在至少12个家长中,妈妈比爸爸多,所以妈妈要多于122=6人,即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人,所以女老师不少于9人。但老师最多就10个,并且还至少有1个男老师,所以老师必定是9个女老师和1个男老师,共10个。那么,在12个家长中,就有7个是妈妈。所以,爸爸有12-7=5人。例5、三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。【解析】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以,2886222能得到三

14、个数字的和。 设三个数字为a、b、c,那么6个不同的三位数的和为abc+acb+bac+bca+cab+cba a+b+c1002+a+b+c1002+a+b+c1002 a+b+c222 2886 即a+b+c288622213 答：所有这样的6个三位数中,最小的三位数是139。实战演练 课堂狙击1、两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少？【解析】将两个自然数的和为15的所有情况都列出来,考虑到加法与乘法都符合交换律,有下面7种情况：15=1+14,114=14；15=2+13,213=26；15=3+12,312=36；15=4+11,411=44；15=5+10

15、,510=50；15=6+9,69=54；15=7+8,78=56。由此可知把15分成7与8之和,这两数的乘积最大。结论：如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,他们的乘积越大。特别地,当这两个数相等时,他们的乘积最大。 2、设自然数n有下列性质：从1、2n中任取50个不同的数,其中必有两数之差等于7,这样的n最大不能超过多少？【解析】当n=98时,将1、298按每组中两数的差为7的规则分组：1,8、2、9、7,14、15,2290,97、91、98。一共有49组,所以当任取50个数时,必有两个数在同一组,他们的差等于7。当n=99时,取上面每组中的前一个数,即1、27、1521、293

16、5、4349、5763、7177、8591和99一共是50个数,而它们中任2个的差不为7。因此n最大不能超过98。3、设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数,求 EQ F(xy,x+y) 的最大值。【解析】 EQ F(99,101) 4、有甲、乙两个两位数,甲数的 EQ F(3,10) 等于乙数的 EQ F(4,5) 。这两个两位数的差最多是多少？【解析】甲、乙两数的比是8：3,甲数最大是96 ,差最大是60。 5、在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式。要求：1算式的结果等于37； 2这个算式中的所有减数前面添了减号

17、的数的乘积尽可能地大。那么,这些减数的最大乘 积是多少？【解析】把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-3718,所以我们变成减数的这些数之和是182=9。对于大于2的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好不包括1。9最多可拆成三数之和234=9,因此这些减数的最大乘积是23424,添上加、减号的算式是：10 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 137。6、149位议员中选举一位议长,每人可投一票。候选人是A,B,C三人。开票中途,A已得45票,B已得20票,C

18、已得35票。如果票数最多者当选,那么A至少再有多少票才能一定当选？ 【解析】由题意得：45+20+35=100,还有149-100=49票。 45-35=10,如果49票中有10票都给C,49-10=39； 那么A至少还要有20票才能当选。7、某班学生50人,年龄均为整数,年龄的平均值为12.2,已知班上任意两人的年龄差都不超过3。那么这班学生中年龄最大的能是多少岁？如果有一个学生的年龄达到这个值,那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人？【解析】因为全班50人的年龄总和比平均12岁的年龄总和多12.2-1250=10岁, 所以年龄最大的能是12+3=15岁。 如果有人年龄达到1

19、5岁,那么剩下的49人的年龄和比平均12岁的年龄和多103=7岁； 所以最多有7人的年龄大于12岁,小于15岁。8、阶梯教室座位有10排,每排有16个座位,当有150个人就座,某些排坐着的人数就一样多。我们希望人数一样的排数尽可能少,这样的排数至少有多少排？【解析】至少有4排。如果10排人数各不相同,那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115人；如果最多有2排人数一样,那么最多坐：16+15+14+13+122=140人；如果最多有3排人数一样,那么最多坐：16+15+143+13=148人；如果最多有4排人数一样,那么至多坐：16+154+142=152人。14

20、8150152, 所以,至少有4排。课后反击1、如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996,那么这个自然数最小是几？【解析】19969=2217,N= 。2、有四个数,其中每三个数的和分别是45,46,49,52,那么这四个数中最小的一个数是多少？ 【解析】把4个数全加起来就是每个数都加了3遍,所以,这四个数的和等于45+46+49+523=64。用总数减去最大的三数之和,就是这四个数中的最小数,即：64-52=12。3、有四袋糖块,其中任意三袋的总和都超过60块,那么这四袋糖块的总和至少有多少块？ 【解析】最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数,故不小于613=,即它不小于21。从而四袋糖总

21、和不小于21十61=82块。比如四袋糖数量分别为21,21,20,20即可。4、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数,且xy,1求 EQ F(x+y,xy) 的最大值；2求 EQ F(x+y,xy) 的最小值。【解析】1399 2 EQ F(201,199) 5、甲、乙两数都是三位数,如果甲数的 EQ F(5,6) 恰好等于乙数的 EQ F(1,4) 。这两个两位数的和最小是多少？【解析】甲、乙两数的比是3：10,甲数最小是102,和最小是442。6、如果两个四位数的差等于8921,就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？【解析】在这些数对中,被减数最大是9999,此

22、时减数是999989211078,被减数和剑术同时减去1后,又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数,最多可以减去78,因此： 这样的数对共有78+179个。7、要砌一个面积为72米2的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米？【解析】将72分解成两个自然数的乘积,这两个自然数的差最小的是9-8=1,猪圈围墙长9米、宽8米时,围墙总长最少,为8+92=34米。8、某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有多少人？【解析】因为参加竞赛的有28+23+20=71人。让

23、这71人尽可能多地重复,712=351； 所以至多有35人参加两科。9、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的？【解析】假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为48=32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球,数字和可增加64=2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加5-4=1。为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在72=31,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄

24、球换红球,这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有8-3-1=4个是红球。直击赛场 1、第四届希望杯1试一位工人要将一批货物运上山,假定运了5次,每次的搬运量相同,运到的货物比这批货物的多一些,比少一些。按这样的运法,他运完这批货物最少共要运 次,最多共要运 次。【解析】这道题目用到了极值判断法,体会极值判断法：假定5次运的恰好等于,则每一次最少运5=,所以最多运1=9次；假定5次运的恰好等于,则每一次最多运5=,所以最少运1=7次。2、全国第三届“华杯赛”决赛口试试题将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组,分别计算各组数的和。已知这三个和互不相等,且最大的和是最小和的2倍。问：最小的和是多少？【解析】因为1+2+3+8=36,又知三组数的和各不相同,而且最大的和是最小和的2倍。所以,最小和比总和36的要小,而比总和36的要大。因此,最小的和是8。3、全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题一组互不相同的自然