2021-2022学年上海市闵行区鲁汇中学高三数学文期末试卷含解析

1、2021-2022学年上海市闵行区鲁汇中学高三数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是 ( ) A. yx31 B. ylog2(|x|2) C. y()|x| D. y2|x|参考答案：C2. 若直线经过点，则 （ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：B略3. 已知p：函数在3,+)上是增函数，q：函数在3,）是增函数，则p是q的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也

2、不必要条件参考答案：B4. 关于函数f（x）=x2（lnxa）+a，给出以下4个结论：?a0，?x0，f（x）0；?a0，?x0，f（x）0；?a0，?x0，f（x）0；?a0，?x0，f（x）0其中正确结论的个数是( )A0B1C2D3参考答案：D考点：命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题 专题：简易逻辑分析：令a=，进行验证即可；令a=5，通过验证结论成立；当a=5时，举反例x=5时，不满足条件；求函数的导数，判断函数存在极值进行判断解答：解：当a=，则f（x）=x2（lnx）+，函数的定义域为（0，+），此时函数的导数f（x）=2x（lnx）+x2=2xlnxx+x=2xlnx，由f

3、（x）=0得，x=1，则当x1时，则f（x）0，此时函数递增，当0 x1时，则f（x）0，此时函数递减，故当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=+=0，则对?x0，f（x）f（1）=0；故正确，当a=5，则f（x）=x2（lnx5）+5，则f（e）=e2（lne5）+5=4e2+50，故?a0，?x0，f（x）0，成立由知当a=5时，?x=e，满足e0，但f（e）0，故?a0，?x0，f（x）0不成立，故错误函数的导数f（x）=2x（lnxa）+x2=2x（lnxa）+x=x（2lnx2a+1）=2x（lnx+）由f（x）=0，则lnx+=0，即lnx=a，即?a0，函数f

4、（x）都存在极值点，即?x0，f（x）0成立，故正确，综上正确是有，故选：D点评：本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键难度较大5. “”是“函数在上单调递增”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A考点：充分条件与必要条件若函数在R上单调递增，则恒成立，所以的最大值，即，所以“”是“”的充分不必要条件。6. 已知函数(为常数)是奇函数，则的反函数是 答( )A BC D参考答案：A7. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足（），则（ ）ABCD 参考答案：B设g（x）=，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，

5、x0时，g（x）=，因为函数f（x）满足2f（x）xf（x）0（x0），所以g（x）0，所以g（x）是增函数，g（）=，可得：故选：B8. 已知均为锐角，sin=，sin（）= ，则 sin（）= （ ）A B C D 1参考答案：D略9. 已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为 （ ）A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限参考答案：A略10. 若是锐角，且，则的值等于A. B. C. D . 参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果关于的不等式和的解集分别为，和，那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式 与不等式为“对偶不等式

6、”，且，那么=.参考答案：12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为_参考答案：【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果.【详解】由抛物线光学性质可得：必过抛物线的焦点，当直线斜率存在时，设的方程为，由得：，整理得，所以，所以；当直线斜率不存在时，易得；综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，

7、最小时，两平行线间的距离最小；因此，所求方程为.故答案为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.13. 已知x，yR，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的最小值为参考答案：4【考点】基本不等式【专题】计算题；转化思想；综合法【分析】将x2+2xy+4y2=（x+2y）22xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，z=x2+4y2=（x+2y）24xy，利用基本等式的性质，即可求解【解答】解：由题意x2+2xy+4y2=（x+2y）22xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，（x+2y）24x?2y=8x

8、y，当且仅当x=2y时取等号则：2xy+68xy解得：xy1z=x2+4y2=（x+2y）24xy8xy4yx=4所以z=x2+4y2的最小值为4故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的变形和灵活的运用能力属于中档题14. 在边长为1的正三角形ABC中，设，则 参考答案： 15. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=x2，若对任意xa，a+2，不等式f（x+a）f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是 参考答案：【知识点】函数奇偶性、单调性的应用. B3 B4 解析：因为当x0时，f（x）=，所以f(x)是的增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函

9、数，所以若对任意xa，a+2，不等式f（x+a）f（3x+1）恒成立，即对任意xa，a+2，因为函数2x+1是a，a+2上的增函数，所以2x+1有最大值2a+5,所以.【思路点拨】先根据已知判定函数f(x)是R上的单调增函数，然后把命题转化为对任意xa，a+2,a 2x+1恒成立问题求解.16. 已知i为虚数单位，则复数的模等于_ 参考答案：117. 若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为参考答案：，+）【考点】函数恒成立问题【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由x0， =，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围【解答】解：由x0， =，当且仅当x=

10、2时，取得最大值所以要使不等式a恒成立，则a，即实数a的取值范围为，+）故答案为：，+）【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列满足：，,是数列的前n项和;数列前n项的积为，且。（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为,证明：对于任意的nN*，都有参考答案：（1）：由题知，即数列隔项成等差数列，又，n为奇数时，；n为偶数时，.,，n=1时 ，时，。 （2）由（1）知，数列成等差数列， 19. 已知函数（1）求函数的图像在点处的切线方程；（2）

11、若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明参考答案：（1）解：因为，所以，函数的图像在点处的切线方程；3分（2）解：由（1）知，所以对任意恒成立，即对任意恒成立4分 令，则，4分令，则， 所以函数在上单调递增5分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足当，即，当，即，6分所以函数在上单调递减，在上单调递增所以7分 所以故整数的最大值是38分（3）由（2）知，是上的增函数，9分所以当时，10分即整理，得11分因为， 所以12分即即13分所以14分20. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线C：sin2=2acos（a0），过点P（2，4）的直线l的参数方程为（t

12、为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值参考答案：【考点】参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值【解答】解：（1）曲线C：sin2=2acos（a0），转化成直角坐标方程为：y2=2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：xy2=0（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：，所

13、以：，t1t2=32+8a，则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1t2|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，由得：a=1【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，利用根和系数的关系建立方程组求解，等比数列的应用21. （13分）（2016?菏泽一模）已知数列bn的前n项和（）求数列bn的通项公式；（）设数列an的通项，求数列an的前n项和Tn参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（I）利用递推关系即可得出；（II）=（3n2）?2n+（1）n?2n设数列（3n2）?2

14、n的前n项和为An，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（I）数列bn的前n项和，b1=B1=1；当n2时，bn=BnBn1=3n2，当n=1时也成立bn=3n2（II）=（3n2）?2n+（1）n?2n设数列（3n2）?2n的前n项和为An，则An=2+422+723+（3n2）?2n，2An=22+423+（3n5）?2n+（3n2）?2n+1，An=2+3（22+23+2n）（3n2）?2n+1=4（3n2）?2n+1=（53n）?2n+110，An=（3n5）?2n+1+10数列（1）n?2n的前n项和=1（2）n数列an

15、的前n项和Tn=（3n5）?2n+1+101（2）n【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22. 已知函数且a0）（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由题意可知，由此能求出曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（2）当a-1时，求出，解得，不成立；当a=-1时，0在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）单调递减f（x）无极小值；当-1a0时，极小值f（1）=-a-4，由题意可得，求出；当a0时，极小值f（1）=-a-4由此能求出a的值【详解】（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（aR，且a0）由题意可知 曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 （）当a-1时