初中圆题型归纳总结

1、圆的基此题型 纵观近几年全国各地中考题, 圆的有关概念以及性质等一般以填空题, 选择 题的形式考查并占有确定的分值；一般在 10 分 15 分左右,圆的有关性质,如 垂径定理, 圆周角,切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以运算证明的形 式考查；利用圆的学问与其他学问点如代数函数, 方程等相结合作为中考压轴题 将会占有特殊重要的位置, 另外与圆有关的实际应用题, 阅读懂得题, 探究存在 性问题仍是热门考题,应引起留意 . 下面究近年来圆 的有关热点题型,举例解析 如下； 一,圆的性质及重要定理的考查 基础 学问链接：（ 1）垂径定理；（ 2）同圆或等圆中的圆心角,弦,弧之间的关 系.3 圆周

2、角定理及推论 （4）圆内接四边形性质 【例 1】（江苏镇江）如图, AB 为 O 直径, CD 为弦,且 AB ,垂足为 H CD （1） OCD 的平分线 CE 交 O 于 E ,连结 OE 求证： E 为弧 ADB 的中点； B （2）假如 O 的半径为 1, CD 求 O 到弦 AC 的距离； 3 , 填空：此时圆周上存在 个点到直线 AC 的距离为 1 2C【解析】（1） OC OE , E OCE 又 OCE DCE , E DCE A O HO E CD AOE BOE 90 E D又 CD AB , E 为弧 ADB 的中 点 （2） CD AB , AB 为 O 的直CD 3

3、, 3 径, 3CH 1CD 3又 OC 1 , sin COB CH 222OC 12COB 60 , BAC 30 作 OP AC 于 P ,就 OP 1 OA 21 23. 第 1 页,共 23 页【点评】 此题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的 才能 . 运用垂径定理时,需添加帮忙线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距 , 此题的弦心距就是指线段 OD 的长 . 在圆中 解有关弦心距半径有关问题时 , 常常添加的帮忙线是连半径或作出弦心距 , 把垂 径定理和勾股定理结合起来解题 . 如图 , O 的半径为 r , 弦心距为 d , 弦长

4、 a 之间 2的关系为 r 2d 2 a . 依据此公式 , 在 a ,r ,d 三个量中 , 知道任何两个量就可 2以求出第三个量 . 平常在解题过程中要善于发觉并运用这个基本图形 . 【例 2】 （安徽芜湖）如图,已知点 E 是 O 上的圆 点, B,C 分别是劣弧 AD 的三等分 BOC 46 , 点, 就 AED 的度数为 【解析】由 B,C 分别是劣弧 AD 的三等分点知,圆心角 AOB=BOC=COD, 又 BOC 46 ,所以 AOD=13o8. 依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；从而有 AED 69o. 点评 此题依据同圆或等圆中的圆心角,圆周角的关系； 【强化练习】 【

5、1】. 如图, O 是 ABC 的外接BAC 60 ,AD,CE 分别BC,AB 上的 高, 圆, 且 AD, CE 交于点 H,求证： AH=AO 是 1 1 如图,在 O 中,弦 ACBD, OEAB,垂足为 E,求证： OE= CD 22 如图, AC, BD 是 O 的两条弦,且 ACBD, O 的半径为 ,求 AB 1 2CD 2的值； 2【2】（第 25题）如图, O 是 ABC 的外接圆, 弦 BD交 AC于点 E,连接 CD,且 AE=DE , BC=CE （1）求 ACB 的度数； （2）过点 O 作 OF AC 于点 F,延长 FO 交 BE 于点 G, DE=3 , EG

6、=2,求 AB 的长 二,直线与圆的位置关系 基础学问链接： 1,直线与圆的位置关系有三种 : 假如一条直线与一个圆没有公共点 , 那么就说这条直线与这个圆 相离. 假如一条直线与一个圆只有一个公共点 , 那么就说这条直线与这个圆相切 , 此 时这条直线叫做圆的 切线 , 这个公共点叫做切点 . 假如一条直线与一个圆有两个公共点 , 那么就说这条直线与这个圆 相交 , 此时 这条直线叫做圆的 割线, 这两个公共点叫做交点 . 2,直线与圆的位置关系的判定； 3,弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； 4. 和圆有关的比例线段 （ 1）相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的

7、积相等； （ 2）推论 假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项； （ 3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项； （ 4）推论 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积相等； 5. 三角形的内切圆 （ 1）有关概念：三角形的内切圆,三角形的内心,圆的外切三角形,多边形的 内切圆,圆的外切多边形； 6,圆的切线的性质与判定； 第 3 页,共 23 页【例 1】（甘肃兰州）如图,四边形 ABCD内接于 O,BD是 O 的直径,CD , AE 垂足为 E , DA 平分 BDE A

8、 E （1）求证： AE 是 O 的切线； D（2）如 DBC 30 , DE 1cm,求 BD 的长 O B C【解析】（1）证明：连接 OA, DA 平分 BDE , BDA EDA O A O,D O D A OAD EDA O A CE A E D,E AED 90 , OAE DEA 90 A E OA AE 是O 的切 A E 线 D（2） BD 是直径, BCD BAD 90 O D B C 3 0, B DC6,0 BDE 120 B CDA 平分 BDE ,BDA EDA 60 ABD EAD 30 在 RtAED 中, AED 90 , EAD 30 , AD 2 DE 在

9、 RtABD 中, BAD 90 , ABD 30 , BD 2 AD 4 DE DE 的长是 1cm, BD 的长是 4cm 【点评】证明圆的切线,过切点的这条半径为必作帮忙线 . 即经过半径的外端且 第 4 页,共 23 页垂直于这条半径的直线是圆的切线 . 【例 2】（广东茂名）如图, O 是 ABC的外接圆,AB=AC,点 D 在弧 BC 上O A DC且 D 作 DEBC, DEAB 的延长线于运 E,连结 AD,BD 动,过点 交 （ 1）求证： 点 ADB= E； （2）当点 D 运动到什么位置时, DE 是 O 的切线？请说明理B 由 （3）当 AB=5, BC=6 时,求 O

10、 的半径（4 E 分） 【解析】（1）在 ABC 中, AB=AC, ABC= C A DEBC, ABC= E, E= C 又O E B O CD ADB= C, ADB= E （2）当点 D 是 BC 的中点时, DE 是 O 的切弧 线 理由是：当点 D 是弧 BC 的中点时,就 ADBC,且 AD 过圆有 又 DEBC, ADED 心 B A C DE 是 O 的切线 O （3）连结 BO, AO,并延长 AO交 BC 于点 F, 就 AFBC,且 BF= 1 BC=3 2F 又 AB=5, AF=4 设 O 的半径2r,在 RtOBF 中, OF=4 r ,OB= r , BF=3,

11、 （ 4 r ） 2C为 r23解得 r 25 , O 的半径 是 825 8【点评】 此题综合运用了等腰三角形的性质,圆的切线判定,解题最关键是抓 住题中所给的已知条件,构造直角三角形,探究出不同的结论 . 【例 4】 已知：如图 7,点 P 是半圆 O 的直径 BA 延长线上的点, PC 切半圆 于 点, CD AB 于 D 点,如 PA： PC1：2,DB4,求 tan PCA 及 PC 的长； 第 5 页,共 23 页图 7 证明：连结 CB PC切半圆 O 于 C 点, PCA B P P, PAC PCB AC：BCPA： PC AB是半圆 O 的直径, ACB90 又CD AB

12、ABADDB 5 【例 5】 已知：如图 8,在 RtABC 中, B 90, A 的平分线 交 E 为 AB 上的一点, DE DC,以 D 为圆心, DB 长为半径作 D； 求证：（ 1）AC 是 D 的切线； BC 于点 D, （2）AB EBAC 分析：（ 1）欲证 AC 与 D 相切,只要证圆 D 到 AC 的距离等于 D 的半径 心 BD； 因此要作 DFAC 于 F （ 2）只要证 ACAF FCABEB,证明的关键是证 BEFC,这又转化为证 EBD CFD； 证明：（ 1）如图 8,过 D 作 DF AC,F 为垂足 AD 是 BAC 的平分线, DB AB, DBDF 点

13、D 到 AC 的距离等于圆 D 的半径 AC 是 D 的切线 （2）AB BD, D 的半径等于 BD, AB 是 D 的切线, ABAF 在 RtBED 和 RtFCD 中, EDCD,BDFD BED FCD, BEFC ABBEAF FCAC小结：有关怀线的判定,主要有两个类型,如要判定的直线与已知圆有公共点, 可接受“连半径证垂直”的方法；如要判定的直线与已知圆的公共点没有给出, 可接受“过圆心作垂线,证垂线段等于半径”的方法；此例题属于后一类 【例 6】 已知：如图 9, AB 为 O 的弦, P 为 BA 延长线上一点, PE 与 O相切 于点 E,C 为 中点,连 CE 交 AB

14、 于点 F；求分析：由已知可得 PEPA PB,因此要证 PFPAPB,只要证 PEPF； 即证 PFE PEF； 第 6 页,共 23 页证明一：如图 9,作直径 CD,交 AB 于点 G,连结 ED, CED90 点 C 的中点, CDAB, CFG DPE 为 O 切线, E 为切点 PEF D, PEF CFG CFG PFE, PFE PEF, PEPF PE PAPB, PFPAPB 证 明二：如图 9 1,连结 AC,AE 图 9 1 点 C 的中点, , CAB AEC 是 PE 切 O 于点 E, PEA C PFE CAB C, PEF PEA AEC PFE PEF, P

15、EPF PE PAPB, PFPAPB 【例 7】 （1）如图 10,已知直线 AB 过圆心 O,交 O 于 A,B,直 AF 交 线 于 F（不与 B 重合）,直 l 交 O 于 C,D,交 BA 延长线于 E,且与 AF 垂 O 线 直, 垂足为 G,连结 AC,AD 图 10 求证： BAD CAG； ACADAE AF 图 101 （ 2）在问题（ 1）中,当直线 l向上平行移动,与 O 相切时,其它条件不请你在图 101 中画出变化后的图形,并对比图 10 标记字母； 问题（ 1）中的两个结论是否成立？假如成立,请给出证明；假如 不成立,请说明理由； 证明：（ 1）连结 BD AB是

16、 O 的直径, ADB90 AGC ADB90 又ACDB是 O 内接四边形 第 7 页,共 23 页ACG B, BAD CAG 连结 CF BAD CAG, EAG FAB DAE FAC 又 ADC F, ADE AFC ,AC ADAEAF （2）见图 10 1 两个结论都成立,证明如下： 连结 BC, AB是直径, ACB 90 ACB AGC90 GC切 O 于 C, GCA ABC BAC CAG（即 BAD CAG） 连结 CF CAG BAC, GCF GAC, GCF CAE, ACF ACG GFC, E ACG CAE ACF E, ACF AEC, AC AEAF（即

17、 ACADAE AF） 说明：此题通过变化图形的位置, 考查了同学动手画图的才能, 并通过探究式的 提问加强了对同学证明题的考查,这是当前热点的考题,期望引起大家的关注； 【强化练习】 【1】（第 22题）如图, O 的直径 AB 为 10cm,弦 BC 为 5cm,D ,E 分别是 ACB 的平分 线与 O, AB 的交点, P 为 AB 延长线上一点,且 PC=PE （1）求 AC, AD 的长；（ 2）试判定直线 PC 与 O 的位置关系,并说明理由 【2】（第 23题）如图,在 ABC 中, C=90, ABC 的平分线交 AC 于点 E,过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F,

18、 O 是 BEF 的外接圆 （1）求证： AC 是 O 的切线 （2）过点 E 作 EH AB 于点 H,求证： CD =HF 第 8 页,共 23 页【3】（第 25题）如图,在 O 中, AB ,CD BD （1）求证： ABD CDB ； （2）如 DBE=37,求 ADC 的度数 是直径, BE 是切线, B 为切点,连接 AD ,BC, 【4】（第 24题）如图, AB 为 O 的直径, PD 切 O 于点 C,交 AB 的延长线于点 D ,且 D=2 CAD （1）求 D 的度数； （2）如 CD=2,求 BD 的长 【5】（第 27题）如图, Rt ABC 中, ABC =90,

19、以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D, 点 E 为 BC 的中点,连接 DE （1）求证： DE 是半圆 O 的切线（ 2）如 BAC=30, DE=2 ,求 AD 的长 第 9 页,共 23 页三,圆与圆的位置关系的考查 基础学问链接： 假如两个圆没有公共点 , 那么就说这两个圆相离 , 如图1,2, 3 所示其中 1 又叫做外离 ,2 ,3 又叫做内含 3 中两圆的圆心相同 , 这 两个圆仍可以叫做同心圆 假如两个圆只有一个公共点 , 那么就说这两个圆相切 , 如图 4 ,5 所示其中 4 又叫做外切 ,5 又叫做内切假如两个圆只有两个公共点 , 那么就说这两个圆相 交, 如图

20、6 所示 【例 1】 （甘肃兰州）如图是北京奥运会自行车竞赛项目标志,就图中两轮 所在圆的位置关系是（ ） A内含 B相交 C相切 D外离 【解析】 图中的两圆没有公共点,且一个圆上的全部点都在另一个圆的外部, 故两圆外离,选 D. 【点评】圆与圆的位置关系有五种 : 外离,外切,相交,内切,内含其关系可 以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定 示圆与圆的位置关系： , 也可以用数量关系来表 假如设两圆的半径为 r1,r2, 两圆的圆心距为 d, 就圆与圆的位置关系与数量关系 如下表 【例 2】（赤峰市）如图（ 1）,两半径为 的等圆 O1和 O2相交于 M, N两点, 第 10 页,

21、共 23 页且 O2过点 O1 过 M 点作直线 AB 垂直于 MN,分别交 O1和 O2于 A,B 两点, 连结 NA,NB （1）猜想点 O2与 O1有什么位 置关系,并给出证明； （2）猜想 NAB 的形状,并给出证明； （3）如图（ 2）,如过 M 的点所在的直线 AB 不垂直于 MN ,且点 A,B 在点 M 的两侧,那么（ 2）中的结论是否成立,如成立请给出证明 A O1 NO1 NB NO2 O2 M 图（ 1） B A M 图（ 2） 【解析】解：（1） O2 在 O1 上 证明： O2过点 O1, O1O2 r A O1 O2 点 O2在 O1上 M 图（ 1） B 又 O1

22、的半径也是 , （2） NAB 是等边三角形 证明： MN AB , NMB NMA 90 O1 NB BN是 O2的直径, AN是 O1的直径, 即 BN AN 2r , O2 在 BN 上, O1 在 AN 上 O2 连结 O1O2 ,就 O1O2 是 NAB 的中位线 A M 图（ 2） AB 2O1O2 2r A B B N ,A就 NAB 是等边三角形 （3）仍然成立 证明：由（ 2）得在 O1中弧 MN所对的 圆周角 为 60 在 O2中弧 MN所对的圆周角 为 60 当点 A,B 在点 M 的两侧时, 在 O1中弧 MN 所对的圆周MAN 60 ,在 O2中弧 MN 所对的圆周角

23、 角 第 11 页,共 23 页MBN 60 , N A 是B 等边三角形 注：（2）,（ 3）是中同学猜想为等腰三角形证明正确给一半分 【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦,又且 O2过点 O1,构建对称性知, O1过 O2,再证 NAB是等腰 三角形；（2）1是的基础上发散探究,具有确定 的 开放性 四,圆与多边形的运算考查 基础学问链接： 1,圆与正多边形的关系的运算； 2,弧长,扇形面积,圆锥侧面积全面积的运算 . 【例 1】（赣州）小芳随机地向如以下图的圆形簸箕内撒了几把豆子,就豆子落 到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是 【解析】设圆的半径为 1,就圆的面积为 ,易算得正方形的

24、边长为 2 ,正方形 面积为 2,就豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是 2 . 【点评】 此题考查的是几何概率, 解题的关键是圆与圆内接正方形的面积, 依据 古典概型,可转化为面积之比 . 【例 2】两同心圆,大圆半径为,小圆半径为,就阴影部分面积为 【解析】依据大,小圆的半径,可求得圆环的面积为 环面积的一半 4 . 8,图中的阴影面积为圆 【点评】 有关面积运算问题, 不难发觉, 一些不规章的图形可转化为规章的图形 运算,此题就较好的表达了转化方法和整体思想 . 五,圆的综合性问题的考查 基础学问链接：圆的有关学问与三角函数,一次函数,二次函数等综合应用； 【例 1】如图,在平面

25、直角坐标系中,圆 M 经过原点 O,且与 x 轴, y 轴分别 相 第 12 页,共 23 页交于 A 8,0,B 0, 6两点 （1）求出直线 AB 的函数解析式； （ 2）如有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M,顶点 C 在M 上,开口向 下,且经过点 B,求此抛物线的函数解析式； （ 3）设（ 2）中的抛物线交 x 轴于 D,E 两点,在抛物线上是否存在点 P,使得 S PDE 1S ABC ？如存在,请求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理10 由 【解析】（1）设 AB 的函数表达式 y kx b. 为 A 8,0 , B 0, 6 , 0 8k b, k 3 , 46 b.

26、 b 6. 直线 AB 的函数表达式为 y 3 x 4 6 （ 2）设抛物线的对称轴与M 相交于一点,依题意知这一点就是抛物线的顶点 C； 又 设 对 称 轴 与 x 轴 相 交 于 点 N , 在 直 角 三 角 形 AOB 中 , 2 2 2 2AB AO OB 8 6 10. 由于M 经过 O,A,B 三点,且 AOB 90 , AB 为 M 的直径,半径 MA=5, N为 AO的中点 AN=NO=,4MN=3CN=M-CMN=5-3=2,C点的坐标为 （-4,2） 设所求的抛物线为 y ax 2 bx c 2a b 4, a 1 , 2就 2 16a 4b c, b 4, 6 c. c

27、 6. 1 2所求抛物线为 y x 4x 621 2（ 3）令 x 4x 6. 0,得 D,E 两点的坐标为 D（ -6,0）,E（-2,0）,所以 2DE=4 又 AC=25, BC 4 5, 直角三角形的面积 S ABC 12假设抛物线上存在 p x, y 使得 PDE 1 S ABC ,即 1S 10 22 5 45 20. y 1 DE y 120, 10 第 13 页,共 23 页当 y x 41时, 442 ;当 y 1 时, x 46 .故中意条件的存在它们是 P12,1 , P2 2,1 , P3 46, 1 , P4 46, 1 【点评】 此题是一次函数,二次函数与圆的综合性

28、问题,解题的关键是抓住图 形中的点的坐标,运用待定系数数的方法求出解析式； 【例 2】（第 27题）如图,在O 的内接 ABC中, ACB=90, AC=2BC,过 C作 AB 的垂线 l 交O 于另一点 D,垂足为 E设 P 是 上异于 A,C 的一个动点, 射线 AP 交 l 于点 F,连接 PC 与 PD,PD 交 AB 于点 G （ 1）求证： PAC PDF； （ 2）如 AB=5, = ,求 PD 的长； （ 3）在点 P 运动过程中,设 =x,tanAFD=y, 求 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写出 x 的取值范畴） 圆的综合题 （ 1）证明相像,思路很常规,就是两个角相

29、等或边长成比例由于题中因 圆周角易知一对相等的角,那么另一对角相等就是我们需要努力的方向, 由于涉及圆,倾向于找接近圆的角 DPF,利用补角在圆内作等量代换,等 弧对等角等学问易得 DPF=APC,就结论易证 （ 2）求 PD 的长,且此线段在上问已证相像的 PDF 中,很明显用相像 成比例,再将其他边代入是应有的思路利用已知条件易得其他边长,就 得 PD 可求 （ 3）由于题目涉及 AFD 与也在第一问所得相像的PDF 中,进而考虑化, AFD=PCA,连接 PB得 AFD=PCA=PBG,过 G 点作 AB 的垂如此线过 PB 与 AC 的交点那么结论易求,由于依据三角函数或三角形与三 P

30、B 与 AC 的交点”？此时第一需要做的是多画几个动 角形 ABC 相像可用 AG 表示 PBG 所对的这条高线但是“此线是否过 P,观看我们的猜想验 证得我们的猜想应是正确的, 可是证明不能靠画图, 如何求证此线过 PBAC 的交点是我们解题的关键常规作法不易得此结论,我们可以换另外 与 的 帮忙线作法,先做垂线,得交点 H,然后连接交点与 B,再证明 HBG= PCA=AFD由于 C, D 关 AB 对称,可以延 CG 考虑 P 点的称点依据等弧对等角,可得 HBG= PCA,进而得解题思路 （ 1）证明： , DPF=180 APD=180 所对的圆周角 =180 所对的圆周 角= 所对

31、的圆周角 =APC 在PAC 和 PDF中, , 第 14 页,共 23 页PAC PDF （ 2）解：如图 1,连接 PO,就由 AEF 都为等腰直角三角 形 在 RtABC 中, AC=2B,AB=BC+AC=5BC, AB=5, BC= , AC=2 , ,有 POAB,且 PAB=45,APO, CE=AC.sinBAC=AC. =2.=2, AE=AC.cos BAC=AC. =2.=4, AEF 为等腰直角三角形, EF=AE=,FD=FC+CD（=EFCE）+2CE=EF+CE=4+2=6APO为等腰直角三角形, AO=.AB,AP= PDF PAC, , , PD= ACH,连

32、接 HB,以 HB 为直径（ 3）解：如图 2,过点 G 作 GHAB,交 于 作 圆,连接 CG 并延长交O 于 Q, HCCB,GHGB, C, G 都在以 HB 为直径的圆上, HBG= ACQ, C, D 关于 AB 对称, G 在 AB 上, Q, P 关于 AB 对称, , PCA=ACQ, HBG= PCA PAC PDF, PCA=PFD=AFD, y=tan AFD=tanPCA=tanHBG= 第 15 页,共 23 页HG=tanHAG.AG=tan BAC.AG= = , y= =x 此题考查了圆周角,相像三角形,三角函数等性质,前两问思路仍算简洁, 但最终一问需要娴熟

33、的解题技巧需要长期的磨练总结 总体来讲此题偏难, 同学练习时加强懂得,重点懂得分析过程,自己如何找到思路 【例 3】（第 24题）如图,已知：在矩形 ABCD的边 AD 上有一点 O, 以 O 为圆心,OA长为半径作圆,交 AD于 M,恰好与 BD相切于 H,过 H 作弦 OA= HPAB, 弦 HP=3如点 E 是 CD 边上一动点 E 与 C,D 不重合）,过 E 作直线 交 BC 于 F,再把 CEF 沿着动直线 EF 对折,点 C 的对应点为 G设 CE=x, EFBD EFG 与矩形 ABCD 重叠部分的面积 S （ 1）求证：四边形 ABHP 是菱（ 2）问 EFG 的直角顶点 G

34、 能落在O 上吗？如能,求出此时 x 的值；如不能, 请说明理由； （ 3）求 S 与 x 之间的函数关系式,并直接写出 FG 与O 相切时, S 的值 第 3 题图 考点： 圆的综合题；含 30 度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径 定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值全部 专题： 压轴题 分析： （1）连接 OH,可以求出 HOD=60, HDO=30,从而可以求出 AB=3, 由 HPAB, HP=3 可证到四边形 ABHP 是平行四边形,再依据切线长定理可BA=BH,即可证到四边形 ABHP 是菱（ 2）当点 G 落到 AD 上时,可以证到 G 与点

35、 M 重合,可求出 （ 3）当 0 x 2时,如图, S=SEGF,只需求出 FG,就可得到 S 与 x 之间的函 x=2 数关系式；当 2x3时,如图, S=SGEFSSGR,只需求出 SG,RG,就可得到 S 与 x 之间的函数关系 FG与O 相切时,如图,易得 FK=AB=,3 KQ=AQ AK=2 2 + x再由 FK= KQ 即可求出 x,从而求出 S 解答： 解：（1）证明：连接 OH,如图所示 四边形 ABCD 是矩形, ADC=BAD=90, BC=AD,AB=CD HPAB, ANH+BAD=180 ANH=90 HN=PN=HP= 第 16 页,共 23 页OH=OA= ,

36、 sin HON= = HON=6BD 与O 相切于点 H, OHBD HDO=30 OD=2 AD=3 BC=3 BAD=90, BDA=30 tan BDA= = = AB=3 HP=3, AB=HPABHP, 四边形 ABHP 是平行四边形 BAD=90, AM是O 的直径, BA 与O 相切于点 A BD 与O 相切于点 H, BA=BH 平行四边形 ABHP 是菱形 （ 2）EFG 的直角顶点 G 能落在O 上 如图所示,点 G 落到 ADEFBD, 上 FEC=CDB CDB=90 30=60, CEF=60 由折叠可得： GEF=CEF=60 GED=60 CE=x,GE=CE=

37、x ED=DC CE=3x cosGED= = = x=2 GE=2, ED=1 GD= OG=AD AOGD=3 OG=OM 点 G 与点 M 重 合 此时 EFG 的直角顶点 当 EFG 的直角顶 = G 落在O 上,对应的 x 的值为 2 G 落在O 上时,对应的 x 的值为 2 点 （ 3）如图, 第 17 页,共 23 页在 RtEGF 中, tan FEG= = = FG= x S=GE.FG=x. x= 2 x 如图, ED=3x,RE=2ED=62x, GR=GE ER=x（ 62x）=3x6 tan SRG= = = , SG= （ x2） SSGR=SG.RG=. （x2）

38、.（ 3x 6） 2= （ x 2） 2SGEF= x , S=SGEF SSGR = 2 x 2（ x 2） K, = 2 x +6 x 6 综上所述：当 0 x2 时, S= 2 x ；当 2x3 时, S= 2 x +6 x 6 当 FG 与O 相切于点 T 时,延长 FG 交 AD 于点 Q,过点 F 作 FKAD,垂足 为 如图所示 四边形 ABCD 是矩形, BCAD, ABC=BAD=9x）=22 + x AQF=CFG=6OT= , 0 OQ=AQ= +2 FKA=ABC=BAD=90, 四边形 ABFK 是矩形 FK=AB=,3 AK=BF=3 x KQ=AQ AK=（ +2

39、）（ 3 在 RtFKQ 中, tan FQK= FK= QK = 3= （22 + x） 解得： x=3 03 2, 第 18 页,共 23 页S= 2 x = （ 3 2） 6 = 6 FG 与O 相切时, S 的值 为 点评： 此题考查了矩形的性质,菱形的性质,切线的性质,切线长定理,垂径 定理,轴对称性质, 特殊角的三角函数值, 30角所对的直角边等于斜边的一半, 等腰三角形的性质等学问,综合性特殊强 【例 4】（第 23题）如图 1,在O 中,E 是弧 AB 的中点, C 为O上的一动点 （C与 E 在 AB 异侧）,连接 EC 交 AB 于点 F, （ r 是O 的半径） EB=

40、（ 1） D 为 AB 延长线上一点,DC=D,F 证明：直线 DC 与O相切； 如 （ 2）求 EF.EC 的值； （ 3）如图 2,当 F 是 AB 的四等分点时,EC 的求 值 圆的综合题 . （ 1）连结 OC,OE,OE交 AB 于 H,如图 1,由 E 是弧 AB 的中点,依据垂定理的推论得到 OEAB,就 HEF+HFE=90,由对顶相等得 HFE=CFD, 就HEF+CFD=90,再由 DC=DF得 CFD=DCF,加上 OCE= OEC,所 以OCE+ DCE=HEF+CFD=90,于是依据切线的判定定理得直线 DCO 相切； 与 （ 2）由弧 AE=弧 BE,依据圆周角定理

41、得到 于是可判定 EBF ECB,利用相像比得到 ABE=BCE,加上 FEB=BEC, EF.EC=BE=（r ） =r ；（ 3）如图 2,连结 OA,由弧 AE=弧 BE得 AE=BE=,r 设 OH=x,就 HE=rx, 2 2 2 2依据勾股定理,在 RtOAH 中有 AH+x =r ；RtEAH 中由 AH+（r 2=（ r ） ,利用等式的性质得 x （r x） =r （ r ） ,即得 x=r ,就 HE=r 2 2 2 2 x） 2 r=r ,在 RtOAH中,依据勾股定理运算 AH= ,由 OEAB 得 出 AH=BH, 而 F 是 AB 的四等分点,所 HF=AH= ,于

42、是在 RtEFH 中可运算以 出 EF= r ,然后利用（ 2）中的结论可运算出 EC （ 1）证明：连结 OC,OE, OE交 AB 于 H,如图 1, E 是弧 AB 的中点, OEAB, EHF=90, 第 19 页,共 23 页HEF+HFE=90, 而HFE=CFD, HEF+CFD=90, DC=D,CFD=DCF, 而 OC=O,E OCE= OEC, OCE+ DCE=HEF+CFD=9OCCD, 直线 DC 与O 相切； , （ 2）解：连结 BC, E 是弧 AB 的中点, 弧 AE=弧 BE, ABE=BCE, 而FEB=BEC, EBF ECB, EF： BE=BE：E

43、C, 2 2 2EF.EC=BE=（r ） =r ；（ 3）解：如图 2,连结 OA, 弧 AE=弧 BE, AE=BE=,设 OH=x,就 HE=rx, 在 RtOAH 中, AH+OH=OA,AH+x =r , 2 2 2即 在 RtEAH 中, 2 2AH+（r x） =（ r ） , 2 2 2AH+EH=EA,即 x（ r x） =r （ r ） ,即得 2 2x=r , HE=r r=r , r , 在 RtOAH 中, AH= OEAB, AH=BH, = = , 而 F 是 AB 的四等分点, HF=AH= , 在 RtEFH 中, EF= 2EF.EC=r, = = r.EC=r , EC= r 第 20 页,共 23 页此题考查了圆的综合题：娴熟把握垂径定理及其推论,切线的判定定理和 圆周角定理；会利用勾股定理进行几何运算,利用相像三角形的学问解决 有关线段等积的问题 【例 5】（第 26题 12分）如图, O1