高中数学人教A版高中必修4第二章平面向量-一轮复习平面向量的数量积教学设计

1、一轮复习平面向量的数量积（第1课时）一、高考命题方向高考有范围命题有规律最新考纲阐述5年高考统计考向预测1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.2023全国卷T8(向量的夹角)2.2023全国卷T3(向量的模)3.2023全国卷T4(平面向量数量积运算)4.2023全国卷T13(平面向量数量积的应用)5.2023全国卷(理)T12(

2、平面向量数量积的最值问题)命题角度1.平面向量数量积的运算2.平面向量数量积的性质3.平面向量数量积的应用核心素养数学运算、直观想象二、知识梳理1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作eq o(OA,sup7()a，eq o(OB,sup7()b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，记作a，b只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角学生活动：如图向量a不动，绕点O旋转向量b，思考夹角a，b的范围？在中，问eq o(AB,sup7()与eq o(BC,sup7()夹角？当0，eq f(,2)，这三种特殊情况下，向量a和b有什么关系呢？(2)范围：夹角的范围是0

3、，当0时，两向量a，b共线且同向；当eq f(,2)时，两向量a，b相互垂直，记作ab；当时，两向量a，b共线但反向（3）有关向量夹角的两个结论若两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；若两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0的充要条件吗？两个向量a与b的夹角为钝角，是ab0的什么条件？3平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设是a，b的夹角，则|b|cos 叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos 叫做向量a在向量b的方向上的投影学生活动：问：投影是向量吗？问：向量b在向量a的方向上的投影除了用|b|cos 表示，还可以怎么求

4、？问：根据投影的概念你能说出数量积的几何意义吗？(2)ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积4.平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则(1)|a|eq r(aa).=eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)；(2)abx1x2y1y2；(3)abab0.x1x2y1y20；(4)cos eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1) r(xoal(2,2)yoal(2,2).附：常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.学生活动：若ab

5、，你能得出什么结论呢？注意ab与ab坐标公式的区别？三、典例讲解考向(一)平面向量的模例1（1）已知非零向量a与b的夹角为eq f(2,3)，且|b|1，|a2b|2，则|a|()A1 B2C.eq r(3) D2eq r(3)（2）(2023全国卷理)已知eq o(AB,sup7()(2,3)，eq o(AC,sup7()(3，t)，|eq o(BC,sup7()|1，则eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7()()A3 B2C2 D3解析：(1)|a2b|2，|a|24ab4|b|24，又a与b的夹角为eq f(2,3)，|b|1，|a|22|a|44，|a|22|a|0，又

6、a0，|a|2，故选B.（2）选C eq o(BC,sup7()eq o(AC,sup7()eq o(AB,sup7()(3，t)(2,3)(1，t3)，|eq o(BC,sup7()|1， eq r(12t32)1， t3，eq o(BC,sup7()(1,0)， eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7()21302.故选C.学生活动：第（2）题中，如果用eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7()=eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7(),你能否做出来？这样做适合这道题不？问：求向量模的方法有哪些？总结：求向量模的方法利用数量积求模是数量积的重要应

7、用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2aa|a|2或|a|eq r(aa)；(2)|ab|eq r(ab2)eq r(a22abb2)；(3)若a(x，y)，则|a|eq r(x2y2).（如果题目中出现坐标，建议先把向量坐标化，见例1第（2）题）考向(二)平面向量的夹角例2(1)(2023全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A.eq f(,6) B.eq f(,3)C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)(2)(2023湖南省湘东六校联考)已知向量eq o(AB,sup7()(1,2)，eq o(AC,sup7()(1,2)，则ABC的面积

8、为()A.eq f(3,5) B4C.eq f(3,2) D2（3）已知ABC的三边长均为1，且eq o(AB,sup7()c，eq o(BC,sup7()a，eq o(CA,sup7()b，则abbcac_.解析：(1)由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(b2,2b2)eq f(1,2).0a，b，a与b的夹角为eq f(,3).故选B.(2)由题意，得|eq o(AB,sup7()|eq r(5)，|eq o(AC,sup7()|eq r(5).设向量eq o(AB,sup7()，eq o(AC,sup7()的夹角为，

9、则cos eq f(o(AB,sup7()o(AC,sup7(),|o(AB,sup7()|o(AC,sup7()|)eq f(1122,r(5)r(5)eq f(3,5)，所以sin eq f(4,5)，所以SABCeq f(1,2)|eq o(AB,sup7()|eq o(AC,sup7()|sin eq f(1,2)eq r(5)eq r(5)eq f(4,5)2，故选D.（3）因为a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，所以abbcac11cos 120eq f(1,2)，所以abbcaceq f(3,2).学生活动：第（2）题中，除了用答案方法外，你还能想到什么方法？（此题可建系

10、，以A为坐标原点，画图求面积）思考：求向量夹角时，你应该注意什么？第（3）题易错题，你找到错因没？思考：求向量夹角的方法有哪些？总结：求平面向量夹角的2种方法定义法当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角时，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos eq f(ab,|a|b|)求得坐标法若已知a(x1，y1)与b(x2，y2)，则cos a，beq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2)，a，b0，变式训练1(必修4P108A组T7改编)已知两个非零向量a，b，满足a(ab)0，且2|a|b|，则a，b()A30B60C120 D150解析：选B由题知a2ab，而cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(|a|2,2|a|2)eq f(1,2)，所以a，b60.2(必修4P108A组T6改编)已知ab12eq r(2)，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|为()A12 B6C3eq r(3) D3解析：选Bab|a|b|cos 13512eq