分析数学中的若干问题

1、分析数学中的若干问题第1页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一一.分析数学的发展历程：1.初创 现代分析数学的发展应该起源于微积分的发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数“的理论的完善也归功于极限论的建立。 经过16世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿（16421727）和莱布尼茨（16461716）终于在17世纪下半叶创立了微积分。第2页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等著名学者使微积分学产生萌芽。 牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发明之一。第3页，共67页，2022年，5月

2、20日，10点52分，星期一流数术：第4页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第5页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来”牛顿的微分和积分的观点互逆运算：微积分学基本定理。(1736年发表 ) 莱布尼兹：考察切线，第一次引入了 符号，沿用至今。第6页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是已死量的幽灵，因为是费马略去的无穷小量 ，还是牛顿的 ，一直到莱布尼茨的 ,又是 又不是 ，招之即来，挥之即去，“鬼使神差”。 达朗贝尔将微积分的基础归结为极限。但没创造完整体系

3、。 第7页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量天文，物理，力学问题，著有无穷小分析引论。 拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶在分析学方面都作出了巨大贡献。 第8页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 但至此，微积分学的基础还没有找到合适的解决办法。所以，法国哲学家伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一个其存在性是无从想象的东西的艺术。”第9页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 柯西分析教程：“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值，其差可以任意小，则该

4、固定值称为这一串数的极限”，他将分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“无限趋向”，“要多小就有多小”一类不严格的语言。 魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思想“算术化”，出现了至今通用的 语言。 语言柯西准则构成微积分的基础“极限论”的基础。2.微积分的基础第10页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 3.实数理论 在十九世纪分析学发展的同时，人类也完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理数域的完备化）。但极限又要用到实数，这形成了一个循环论证。 梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。 戴德金采用对有理数分割的办法，建立了不依赖于极

5、限论的实数理论。第11页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 勒贝格（1875-1941）创立可列可加测度的积分论，形成实变函数论。 以实分析为基础的概率论和随机过程，称为现代分析。 复变函数论的发展，形成复分析。 以函数空间为背景的泛函和算子理论泛函分析。 此外还有傅立叶分析等。4. 20世纪分析学的发展第12页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。 流形上的分析结合了微分几何学偏微分方程多复变函数论，成为当代数学的主流方向。外微分形式反函

6、数理论，成为当代分析学的基础知识。第13页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理论是算子理论。 泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔伯特空间巴拿赫空间广义函数论成为常识。 现在我们知道，无穷小量不再是一个量，而是一个变化的过程。第14页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 从上面可以看到，分析数学的发展经历了近3百年漫长的历史。数学成为现代科学的基础，已经成为人类的共识。 二.从“数“到”泛函分析“的知识体系第15页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一数（自然数整

7、数有理数实数复数）变量函数（描述变量之间的变化关系）极限函数的分析性质，实数理论的建立（有限维欧式空间上的定义的函数）实分析（Lebesgue积分理论函数空间的研究（Hilbert空间，Banach空间无限维空间）函数空间上定义的函数，即泛函或算子第16页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 派生：微分几何学，复变函数，微分方程等； 现代：流形流形上的分析学。第17页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一三、用现代数学的观点看已学过数学 知识从上面的发现过程看来，可以归结为：第18页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 第一阶段：变量取

8、的是“数“，函数就是通常所说的函数 第二阶段：变量取的是“函数空间中的元素” 函数变成了泛函。 所以，总是首先对变量所在的“空间”研究清楚，才能研究定义在这个“空间”上的“函数”。 变量所在的“空间”，除了其代数运算与代数性质（群，环，域）外，对于研究在他上面定义的分析性质来说，“空间”的分析性质是十分重要的。第19页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 第20页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 小学就开始学习“距离空间”。如，直线上点与点之间的距离。中学时学习的作为两个点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离。 其实，现在我们知道，还可以采用很

9、多方法定义距离。第21页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一2.在空间上定义拓扑定义收敛性第22页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第23页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 一般说来， 中有界闭集合一定是紧的，这就是数学分析中所说的致密性定理。 第24页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连续性“条件（Arzela-Ascoli）.第25页，共67页，20

10、22年，5月20日，10点52分，星期一5.现在我们看看“函数空间”1在 上连续的函数的全体构成一个集合 。按照通常的加法和数乘，构成一个线性空间，把里面的元素视为点。第26页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第27页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第28页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第29页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一1 Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它 是Lebesgue可积的.2积分与极限交换顺序的问题6.另三个典型的例子可以看到 人类认识的发展：第30页，共67页，2022

11、年，5月20日，10点52分，星期一第31页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一3在通常意义和Lebesgue意义 下都无法解释的“函数”第32页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第33页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一四、几个问题a.极值问题从函数极值到短程线问题第34页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一半正定极小半负定极大第35页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一泛函的极值：短程线，障碍问题第36页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一（1）捷线问题：初速为0的质

12、点，仅受重力作用，沿光滑曲线由定点 A滑行到定点B（B低于A但不在同一条垂直于地面的直线上），为使滑行时间最短，问滑行的曲线是怎样的？AyBx第37页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一分析：第38页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第39页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一AyBx第40页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一(2)短程线众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题：要在山坡上修建一条最短的公路连接两个居民点A、B，问如何选线？分析：设山坡的曲面方程为F(x,y,

13、z)=0,设连接A、B的曲线为：y=y(x)z=z(x)第41页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一则A、B 间曲线 的弧长是所以，要在约束条件F(x,y,z)=0之下，求泛函的最小值第42页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一（3）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成最大面积的曲线。设曲线方程为 是定长，则面为 ，求A在约束条件之下求最小值等周问题。第43页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年（1）在具有给定周长的所有平面图形中，圆

14、的面积最大。（2）在所有给定面积的平面图形中，圆的周长最小。（1）在具有给定表面积的所有立体图形中，球的体积最大。（2）在具有给定体积的所有立体图形中，球的表面积最小。等周定理：其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。第44页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一（4）绕过障碍拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边缘 ，则弧长为但是要保证其中 是W的边界方程。第45页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第46页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一（5）球面上的短程线（6）不动点定理从一维到高维求 解非线性问题i. 设 在 上连续，

15、且 ， 则存在 ,使得即： 连续且将 映到自身，那么 在 中有不动点，此为Schauder不动点。第47页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一ii.压缩映象原理如果函数 定义在 上，且存在 使得那么存在唯一的 使得iii.高维 如果一个连续映射把一个闭单位球映到自己，那么这个闭单位球内有这个映射的不动点。还有类似的压缩映射原理第48页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一iv.无限维在Banach空间上，有Schauder不动点原理，Brower不动点原理，Leray Schauder不动点原理。它们是求解非线性问题的有力工具。第49页，共67页，2022

16、年，5月20日，10点52分，星期一五、总结可供选择的题目1、变分问题 3、函数方程常见解法4、隐函数定理及其应用2、不动点定理及其应用第50页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一5、中学如何讲授微积分 （在没有 的情况下）6、中学数学问题中的微分方程7、从分析角度谈数系8、球面上三角形的计算问题第51页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一9、函数的迭代11、无穷大量对中学数学的指导意义 （有界、无界、渐近线等）12、不等式的证明从离散到积分 形式（函数的导数、积分、凹凸性）10、复数方法解决中数问题13、用拓扑的观点看函数的连续性 和一致连续性第52页

17、，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一六、现在，把上面提到的有些问题作 一些解释1、关于函数方程第53页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第54页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一第55页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一其他函数方程：第56页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一其他方程如：待定系数法、极限、幂级数法第57页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一微积分法还可用于 可以从已知函数所满足的关系式反过来思考，再讨论一些函数方程。参考文献：王向东等著，函数方程及其应

18、用， 上海科技文献出版社，2003第58页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一2、函数的迭代与不动点设连续函数 f : RR，复合函数f(f(x)记作f2 (x) f(f(x),类似的定义 f(f(f(x)=f3(x), ,f(f(f(x)=fn(x),称为函数的迭代。视n次迭代fn 为R中的一个映射。第59页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一 若存在xR，使fn(x)=x，则称x是映射fn 的不动点。fn 的不动点的集合记作Fix(fn ) 可以考察：n，极限是什么（对具体函数或给f 一定的条件）? 也可以考察，在哪些条件下，fn 有不动点，Fix (fn )有什么性质？第60页，共67页，2022年，5月20日，10点52分，星期一3、用不动点解非线性问题或用迭代 法求解非线性问题例：设f(x)在a, b上