函数极限讲稿

1、关于函数极限第一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月1.2.1 函数极限的概念定义1.6 设 在点a 的某个空心邻域内有定义,记作或A 为常数.第二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月使用数学语言进行描述, 定义1.6可以写为：设 在点a 的某个空心邻域内有定义, A 为常数.如果存在点a 的空心邻域定义1.6同时定义了七种不同情形下函数的极限, 的右极限与左极限.其中 分别称为在点第三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月在定义1.6, 特别地, 我们有下面两个简单的极限：由定义1.6有如果令 则有 第四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例1 证明 不存在.左右极限存

2、在但不相等,证所以, 不存在.第五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例2 用定义验证: 证因所以故第六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例3 证明: 当 证因不妨设 由 所以 故 第七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例4 用定义验证: 证因不妨设 于是故所以第八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例5 证明 其中 为常数. 证即 当 时, 结论显然成立.令 则 于是 所以 先证 的情形.当 时, 令 而同样有 第九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月几个极限不存在的例子:因因但要注意到:第十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月第十一张，PPT共三十六

3、页，创作于2022年6月但所有的结果都可以平行推广到一般情况. 定理1.9 (唯一性)本节主要针对 的情形讨论极限的性质与运算,证 反证法. 若 存在, 则极限值是唯一的.于是 为无穷小,与 矛盾.则 都是无穷小. 1.2.2 函数极限的性质第十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月由已知可设 定理1.10 (局部有界性) 若 存在, 则 在 x0的某个空心邻域证因为 在点 x0 某空心邻域内有界, 所以, 在该空心邻域内有界.内有界.第十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月定理1.11 (局部保号性) 证与 A 同号.不妨设 1. 设 且因所以 为无穷小.即于是第十四张，PPT

4、共三十六页，创作于2022年6月1.2.3 函数极限的运算法则定理1.12 (极限四则运算法则) 则有 证 (1)则 设 第十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月推论1 如果即: 常数因子可以提到极限记号外面.推论2 如果所以 (1) 成立.于是第十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月推论1.2 (局部保序性) 由定理1.11和定理1.12, 立即有下面的推论 则在 x0的某个空心邻域内有2. 若在 x0的某个空心邻域内有则则第十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月有利用极限的运算法则和上节的两个结果我们可以求解一些简单的极限问题： 对于的多项式函数第十八张，PPT共三

5、十六页，创作于2022年6月例1 求 解由函数商的极限法则, 有第十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月一般地, 设 则商的法则不能使用.则当第二十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系, 得例2 求 第二十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解消去零因子法时, 分子、分母的极限都是零.例3 求 第二十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解时, 分子、分母的极限都是无穷大,例4 求 分子、分母同时除以 x 的最高次幂. 第二十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月一般地, 当第二十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6

6、月解先作恒等变形, 使和式的项数固定, 再求极限.和式的项数随着n在变化,原式不能用运算法则.方法:例5 求 第二十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月定理1.13 (复合函数的极限运算法则) 设且存在推论 若例则则复合函数时的极限也存在,且第二十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月证例6 证明: 如果 则 由 及复合函数的极限法则, 有 有特别地, 如果 为多项式函数, 且 第二十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解原式例7 求 第二十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 由于数列可以看作特殊的函数, 因此复合函数的极限法则对数列同样适用.抽取无限多项并保持

7、它们在原数列中的先后次序, 在数列 中任意得到的数列称为原数列的一个子数列(简称子列). 设在 数列中, 第一次抽取 第二次在后抽取抽取下去得到子数列 第三次在 后抽取注意: 严格单调递增，显然有 无休止地第二十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月如果数列 收敛于A, 则它的任意子数列推论1.3 (收敛数列与其子数列间的关系) 也收敛于A.证设 是 的任一子列.令显然有由定理1.13有第三十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月如果推论1.4 (函数极限与数列极限之间的关系)则对任意满足 用此结论同样可以证明函数极限不存在. 且 的数列 有 例如, 由 有 不存在.第三十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月练习解原式答案原式(2) 求 (1) 求 第三十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解原式(3) 求 第三十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月(4) 试确定常数 a, 使解 令则即第三十四张，PPT共三十六页，创作于2022年