几何与代数第五章

1、几何与代数第五章第1页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第2页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一如何求特征值？称为方阵A的特征多项式,f()=0称为方阵A的特征方程。特征方程的根就是方阵的特征值第3页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一特征子空间第4页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一计算n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤：注： 在复数范围内，特征值必存在，且恰好有n个（按重数累计）； 在实数范围内，则不一定存在特征值。第5页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一例2：例1：第6页，共76页，2022年，5月2

2、0日，9点4分，星期一例3：设试求A的特征值和特征向量。第7页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一二、特征值与特征向量的性质定理5.1：理解：可将行列式拆成 行列式之和来看！推论：n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值全不为零。第8页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定理5.2：第9页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一推论：定理5.3 设0是方阵A的特征值,方程组(0EA)X=0的基础解系的全体非零线性组合是对应于特征值0的全部特征向量。第10页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定理5.4：定理5.5：注：本定理的含义是A

3、所有不同的特征值对应的线性无关 的特征向量合起来还是线性无关的。第11页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第二节 相似矩阵一、相似矩阵的定义及性质定义5.2： A，B是两n阶方阵，如果存在可逆阵P，使得 P-1AP=B，则称方阵A与B相似，记作AB。对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，可逆阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。性质1： 自反性 对称性 传递性第12页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一性质2:第13页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第14页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一二、矩阵可对角化的条件当矩阵可

4、与对角矩阵相似时称该矩阵可对角化。定理5.6：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个 线性无关的特征向量。推论：若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值 ， 则A与对角阵 相似。 哪些矩阵可相似于对角阵？第15页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定义2：若矩阵A的n个特征值 是 重根，则称 是特征值 的代数重数，对应的特征子空间 的维数成为特征值 的几何重数。定理5.7：第16页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一如何判断和求解对角阵？例5：注：第17页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一例6：第18页，共76页，2022年，5月20日，9点4分

5、，星期一例7 已知3阶矩阵A的三个特征值为本1,1,2,对应的特征向量为(1,2,1)T,(1,1,0)T,(2,0,-1)T,求矩阵A第19页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第三节 实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的基本定理定理5.8：实对称矩阵的特征值全都是实数。定理5.9第20页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定理5.10推论：第21页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一二、用正交矩阵化实对称矩阵为对角阵步骤：第22页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第23页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一例：

6、给定实对称矩阵第24页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第四节 二次型及其标准形一、二次型的基本概念第25页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第26页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第27页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第28页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一二、矩阵的合同第29页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第五节 二次型化为标准形的方法一、用正交变换法化二次型为标准形定理5.12 (主轴定理)对于任一二次型f(X)= AX,总存在正交变换X=QY(Q为正交矩阵),使f化为

7、标准形:其中 是f的矩阵A的n个特征值第30页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一二、用配方法化二次型为标准形第31页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一三、惯性定理和二次型的规范形第32页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第33页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第五节 正定二次型与正定矩阵定义：第34页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一性质与判别：第35页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第36页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一第37页，共76页，2022年，5月20

8、日，9点4分，星期一复 习 题一、选择题1.如果向量可由向量组线性表示,则下列结论正确的是:(A)存在一组不全为零的数k1,k2,ks使得:(B)存在一组全为零的数使上式成立;(C)存在一组数k1,k2,ks使上述等式成立;(D)对上述线性表达式唯一第38页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一2.设某向量组的秩等于r,则( )(A)该向量组所含向量个数必大于r;(B)该向量组中任何r个向量必线性无关,任何r+1个向量必线性相关;(C )该向量组中有r个向量线性无关,任何r+1个向量必线性相关;(D)该向量组中有r个向量线性无关,有r+1个向量线性相关第39页，共76页，2022

9、年，5月20日，9点4分，星期一3.设非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵是45矩阵,且A的行向量组线性无关,则有( )(A)A的列向量组线性无关;(B)增广矩阵的行向量组线性无关;(C) 增广矩阵的任意4个列向量线性无关;(D)增广矩阵的列向量组线性无关第40页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一4.设有向量组则有( )(A)若M组线性相关,则N组线性相关;(B)若M线线性无关,则N组线性无关;(C) 若N组线性无关,则M组线性无关;(D)若M组线性相关,则N组线性相关第41页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一5.设则三条直线交于一点的充要条件是( )(A)1

10、 ,2,3线性相关;(B)1,2,3线性无关;(C)r(1,2,3)=r(1,2)(D)1,2,3线性相关,1,2线性无关第42页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一6.设n维向量组:的秩都是r,则( )(A)向量组M与N等价;(B)(C )若s=t=r,则M与N等价;(D)如M可由N线性表示,则M与N等价第43页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一7.是满秩的,则直线( )(A)相交于一点; (B)重合; (C) 平行但不重合;(D)异面直线第44页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一8.设n阶方阵A既是正交矩阵又是正定矩阵,则有A=( )(A

11、)A2(B) 2A (C) E (D) 2E第45页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一9.若两向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量,则系数矩阵是( )第46页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一10.设A为n阶方阵,且r(A)=n3,且是齐次线性方程组AX=0的三个线性无关的解向量,则AX=0的基础解系是( )第47页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一11.下列四对矩阵中,不相似的是( )第48页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一12.n阶方阵A与B相似,则( )(A)EA=EB(B)A与B有相同的特征向量(C)A与B都相

12、似于一个对角矩阵(D)对任何t,tEA和tEB相似第49页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一13.设A是n阶实对称矩阵,P为n阶可逆阵,已知n维向量是A的对应于特征值的特征向量,则矩阵 属于特征值的特征向量是( )第50页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一14.设则A与B( )(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同不相似第51页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一15.设A,B均为n阶可逆方阵,则( )(A)AB=BA, (B)存在可逆阵P,使得(C)存在可逆阵C使得(D)存在可逆阵P,Q使得PAQ=B第52页，

13、共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一二、填空题1.设有3阶方阵其中均为3维行向量,且已知行列式A=24,B=3,求AB。第53页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一2. 4阶矩阵已知A=4,B=1,则A+B=3.设则第54页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一4.设是n维向量,矩阵,则AB=。5.设且第55页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一6.设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且A=a,B=b,。7.n维基本单位向量组线性表示,则向量的个数r。第56页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一8.已知向量组的秩为2,则=第

14、57页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一9.设n阶方阵A的各行元素之和为零,且r(A)=n-1,则齐次线性方程组AX=0的通解是。10.已知三阶方阵A的特征值是1,1,2,则矩阵的特征值是。的秩为。11.二次型第58页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一12.已知二次型为正定二次型,则的取值范围是。第59页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一13.巳知三阶方阵B是秩为2的三阶方阵,且r(AB)=1,则=第60页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一14.设可对角化,则a=,b=第61页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，

15、星期一15.设A为n阶方阵,A0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位阵,若A有特征值,则必有特征值。第62页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一 线性代数的思维定势 定势一 :题设条件与代数余子式Aij或伴随矩阵A*有关,立即联想到引用行列式按行(列)展开定理及AA*=A*A=|A|E。第63页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定势二:若涉及到A,B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 例 设A,B为n阶方阵,且A+B=AB(1)证明AE可逆; (2)证明 AB=BA定势三:若题设n阶方阵满足f(A)=0,要证aA+bB可逆,则先分解出因

16、子aA+bB再说， 例 已知A、B为3阶方阵,且满足2A-1=B4E(1)证明A2E可逆 (2)若求A第64页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定势四第65页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定势五:若巳知 AB=O,则先考虑B的每列作为齐次线性方程组AX=0的解向量来处理。第66页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定势六:若由题设条件要求确定参数的数值,则联想到是否有行列式为0再说。第67页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定势七:若已知A的特征向量,则先用定义: A=0再说。第68页，共76页，2022年，5月20日，9点4分，星期一定势八:要证明抽象的n阶实对称矩阵A为正定矩阵,则先用定义处理一下再说。例 设A为m阶实对称矩阵,B为mn实矩阵,试证BTAB为正定的充分必要条