全国高中数学联赛分类汇编第09讲立体几何

1、 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何1、(2010一试7)正三棱柱ABC-yC的9条棱长都相等，P是C的中点，二面角B-卒-B、=a,贝ysina=【答案】吕4【解析】AB解法一：如團，所在直线为兀轴，线段川占中点。为原点，OC所在直线为卩轴，建立空间直角坐标系设正三棱柱的棱长为入则(1=0:0)=(1=0=2)=4(-1=0:2)=(0=73=1),从而，瓯=(-2=0=2)=BP=(-1=73=1)=A=(-0=0)=丽=(-173-1).设分别与平面BA/、平面叩占垂直的向量是m=GVy1,Z1)、=(y2,叮，则m-BA=-2x+2z=0,111m-BP=-x

2、+3y+z=0,111n-BA=-2x=0,112n-BP=-x+、3y一z=0,1222m-n=m-ncosa|，即由此可设m=(1,0,1),n=(0,1,J3)，所以3=、込-2cosa|n|cosa|=2.所以sinaV10T解法二：如图，PC=PC1,PA1=PB.设ab与ab交于点o,则oa=ob,oa=ob,ab丄ab111111因为pa=pb,所以po丄ab,从而ab丄平面pab.1111过o在平面PA1B上作OE丄A1p，垂足为E.连结BE，则ZBEO为二面角B-AP-B】的平面角.设AA】=2，则易求得PB=PA=：5,AO=BO=：2,PO=3.1ii在直角APAO中，A

3、O-PO=AP-OE，即、2込=、5-OE,:.OE=二6iiiM5又BO=*2,BE=.：BO2+OE2=iivi痩.sinsinZBEO=帀52、（20II试6）在四面体ABCD中，已知ZADB=ZBDC=ZCDA=60，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为【答案八疗解析】设四面体ABCD的外接球球心为O,则。在过艮办D的外心讨且垂直于平面虫办D的垂线上.由题设知,正三角形,则点沖为肋D的中心.设巳M分别为曲CD的中点，则州在DF上，且GV_DPOM_CD.因为ZCDA=ZCDB=ZADB=60，设CD与平面ABD所成角为9，可求得cosG=,sin0=丄.V3V3在

4、Z中,DM=2CD=MN=2-DP=2弓-3八3学科*网由余弦定理得MN2=I2+（.3）2-21芯亠=2,故MN八2四边形DMON的外接圆的直径OD=MN=2=-J3.故球O的半径R二、K.sin0J233、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球.若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是.0【答案】4【解析】如凰连结F0则PQ平面胭G垂足H为正3C的中心:且PQ过球心0旌结Cff并延长交AB于点敢:则胚为AB的中点且CM_AB:易知PMH=理MH分别为正三棱锥P-ABC:O-ABC的侧面与底面所成二角

5、的平面角:则乙PMH=45=1，从而PH=MH=-AH，因为ZPAQ=90,AH丄PQ,2。1所以AP2=PH-QH,即AH2=-AH-QH.2所以QH=2AH=4MH.，故tanZQMH=号万=44、（2013一试4）已知正三棱锥P-ABC底面边长为1，高为*2，则其内切球半径为.【答案】:6【解析】C如图，设球心O在面ABC与面ABP内的射影分别为H和K,AB中点为M,内切球半径为r，则P、KJW兀共线，p、0、H共线，ZPHM50=2，且OH=OK=r,MHPM1，解得r二乎.56P0二卩日-OH2-r，MHABPMMH2+PH2二洁+宁,于是有=0K=sinZKPO=2一rPO5、（2

6、014一试5）已知正四棱锥P-ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是答案】【解析】设底面对角线AC?BD交于点O过点C作直MN的垂线，交MN于点H由于PO是底面的垂线,故po丄c且，yAC丄C且，所以CH与平面POC垂直，故CH丄PC因此CH是直ME与PC的公垂线段,yCH=GV=:故异面直线MA与PC之间的足藹是亘.6、（2016一试5）设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足ZABC=90，M为AP的中点.若AB=1，AC=2，AP二、辽，则二面角MBCA的大小为.【答案】arctan3解析】1由ZABC=90

7、知，AC为底面圆的直径.设底面中心为O则PO丄平面ABC,易知AO=-AC=1，进而POAP2-AO2设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面中作HK丄BC于点K,则由三垂线定理知MK丄BC,从而ZMKH为二面角MBCA的平面角.TOC o 1-5 h zHKHC33MH2因MH=AH二一，结合HK与AB平行知，二二一，即HK二一，这样tanZMKH=-ABAC44HK32故二面角MBCA的大小为arctan3.7、(2017试5)正三棱锥PABC中，AB=1,AP=2,过AB的平面a将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为.【答案】話5【解析】设AB,PC的中点分别为K,M，则易证平面ABM就是平面a.由中线长公式得AM2=2（ap2+AC2）-