同步人A数学必修第一册新教材讲义：第5章+54+543正切函数的性质和图象

1、2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函数的性质和图象及答案5.4.3 正切函数的性质与图象学 习 目 标 核 心 素 养1.能画出正切函数的图象 重点 2.把握正切函数的性质 重点 、难点 3.把握正切函数的定义域及正切曲线的渐近1.借助正切函数的图象讨论问题,培育直观想象素养 . 2.通过正切函数的性质的应用,提线易错点 升规律推理素养 . 正切函数的图象与性质 解析式 ytan x图象定义域 x xR,且 x 2k,kZ值域 R 周期 奇偶性 奇函数对称中心 k 2,0 ,kZ单调性 在开区间 2k, 2k ,kZ 内都是增函数1

2、在以下函数中同时满意：在 的是 0, 2上递增；以 2为周期；是奇函数Aytan x Bycos x- 1 - / 12 2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函数的性质和图象及答案Cytanx 2 Dy tan xC A ,D 的周期为 ,B 中函数在 0, 2上递减 ,应选 C. 2函数 ytan 2x 6的定义域为 _x xk 2 3,kZ由于 2x 6 k 2,kZ,所以 xk 2 3,kZ所以函数 ytan 2x 6的定义域为x xk 2 3,kZ . 3函数 ytan 3x 的最小正周期是 _3 函数 ytan 3x 的最小

3、正周期是 3. 4函数 ytan x 5的单调增区间是 _k3 10,k7 10,kZ令 k 2x 5k 2,kZ3 7得 k10 xk10,kZ即函数 ytan x 5的单调增区间是k3 10,k7 10,kZ. 有关正切函数的定义域 、值域问题【例 1】1函数 ytan x 4x 4且x 0 的值域是 A1,1 B, 1 1, - 2 - / 12 2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函数的性质和图象及答案C, 1 D1, 2函数 y3tan 6x 4的定义域为 _3函数 ytan x1lg1tan x的定义域为 _思路点拨 求定

4、义域时 ,要留意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线1B 2 x x 4k4 3,kZ 13 x 4kx 4k,kZ 1当4x0 时,1tan x0,tan x1； 当 0 x4时,0tan x1,1 tan x1.即当 x 4,0 0, 4时,函数 y1 tan x的值域是 ,11,2要使函数有意义应满意 6x 4 k 2,kZ,得 x 4k4 3,kZ,所以函数的定义域为 x x 4k4 3,kZ .3要使函数 ytan x1lg1tan x有意义 ,就tan x10,即 1tan x0,在 2, 2上满意上述不等式的 x 的取值范畴是4, 4 .又由

5、于 ytan x 的周期为 ,所以所求 x 的定义域为x 4kx 4k,kZ. 1求正切函数定义域的方法- 3 - / 12 2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函数的性质和图象及 答案1求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,仍要保证正切函数 ytan x 有意义即 x 2k,kZ.2求正切型函数 yAtan xA 0,0的定义域时 ,要将 “ x” 视为一个 “ 整体 ” 令 x k 2,kZ,解得 x.2解形如 tan xa 的不等式的步骤提示 ：求定义域时 ,要留意正切函数自身的限制条件1函数 ylog

6、2tan 4x 的定义域是 A. x xk 4,kZ B. x k 4xk 4,kZ C. x x k 4,kZ D. x x k 4,kZ B 由题意 tan 4x 0,即 tan x 40,k 2x 4k,k 4xk 4,kZ,应选 B. - 4 - / 12 2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函数的性质和图象及答案2求函数 ytan 2 3x 3tan 3x 31 的定义域和值域解 由 3x 3 k 2,kZ,得 x k 3 18kZ,所以函数的定义域为x xk 3 18 kZ .设 ttan 3x 3,就 tR,yt 2t1

7、 t1 2 23 43 4,3所以原函数的值域是 4, . 正切函数奇偶性 、周期性和图象的对称性【例 2】1函数 fxtan 2x 3的周期为 _2已知函数 ytan x 3,就该函数图象的对称中心坐标为 _3判定以下函数的奇偶性：y3xtan 2x2x 4； ycos 2x tan x. 思路点拨 1形如 yAtan xA 0的周期 T |,也可以用定义法求周期 2形如 yAtan xA 0的对称中心横坐标可由 xk 2,kZ 求出 3先求定义域看是否关于原点对称,如对称再判定 fx与 fx的关系 1 2 2 k23,0 ,kZ 1法一： 定义法 tan 2x 3 tan 2x 3,即 t

8、an 2 x 2 3tan 2x 3,- 5 - / 12 2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3正切函数的性质和图象及答案fxtan 2x 3的周期是 2.法二： 公式法 fxtan 2x 3的周期 T 2.2由 x 3k 2 kZ得 xk 2 3kZ,所以图象的对称中心坐标为 k 2 3,0 ,kZ.3定义域为 x xk 2 4,kZ,关于原点对称 ,又 fx3xtan 2x2x 43xtan 2x2x 4fx,所以它是偶函数 定义域为 x x k 2,kZ,关于原点对称 ,ycos 2x tan xsin xtan x,又 fxsin

9、xtanx sin xtan x fx,所以它是奇函数 1函数 fxAtan x周期的求解方法：1定义法 2公式法：对于函数fxAtan x的最小正周期 T |.3观看法 或图象法 ：观看函数的图象 ,看自变量间隔多少 ,函数值重复显现 2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域 ,看其定义域是否关于原点对称,如其不关于原点对称 ,就该函数为非奇非偶函数；如其关于原点对称,再看 fx与 fx的关系 提示 ：ytan x,x k 2,kZ 的对称中心坐标为- 6 - / 12 k 2,0 ,kZ. 2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.

10、4.3正切函数的性质和图象及答案3判定以下函数的奇偶性：tan 2 xtan x1fxtan x1；2fxtan x 4tan x 4 . 解 1由 x k 2,kZ,tan x 1,得 fx的定义域为x x k 2且x k 4,kZ,不关于原点对称 ,所以函数 fx既不是偶函数 ,也不是奇函数 2函数定义域为x x k 4且x k 4,kZ,关于原点对称 ,又 fxtan x 4tan x tan x 4tan x fx,所以函数 fx是奇函数 正切函数单调性的应用 探究问题 1正切函数 ytan x 在其定义域内是否为增函数？- 7 - / 12 2022-2022 同步人 A 数学必修第

11、一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3正切函数的性质和图象及答案提示 ：不是 正切函数的图象被直线xk 2kZ隔开 ,所以它的单调区间只在 k 2,k 2 kZ内,而不能说它在定义域内是增函数假设 x1 4,x25 4,x1x2,但 tan x1tan x2. 2假如让你比较 tan 4 3与 tan 11的大小 ,你应当怎样做？提示 ：先依据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内,再由正切函数的单调性进行比较 【例 3】1tan 1,tan 2,tan 3,tan 4 从小到大的排列次序为 _2求函数 y3tan 42x 的单调区间思路点拨 1利用 ytan x 在 2,3 2上

12、为增函数比较大小 ,留意 tan 1tan12先将原函数化为 y 3tan 2x 4,再由 2k2x 4 2k,kZ,求出单调减区间 1tan 2tan 3tan 4 tan 11ytan x 在区间2,3 2上是单调增函数 ,且tan 1tan 1,又 223413 2,所以 tan 2tan 3tan 4tan 1.2y3tan 42x 3tan 2x 4,由 2k2x 4 2k,kZ 得, 8 k 2x3 8 k 2,kZ,- 8 - / 12 2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3 正切函数的性质和图象及答案所以 y3tan 42x

13、的减区间为 8k 2,3 8k 2,kZ. 1将本例 2中的函数改为“y3tan 1 2x 4” ,结果又如何？解 由 k 21 2x 4k 2kZ,得 2k 2x2k3 2 kZ,函数 y3tan 1 2x 4的单调递增区间是2k 2,2k3 2 kZ2将本例 2中的函数改为“ylgtan x” 结果又如何？解 由于函数 ylg x 在0,上为增函数 所以函数 ylgtan x 的单调递增区间就是函数 ytan xtan x0的递增区间 ,即 k, 2k ,kZ. 1求函数 yAtan xA0, 0,且 A,都是常数 的单调区间的方法1如 0,由于 ytan x 在每一个单调区间上都是增函数

14、,故可用 “ 整体代换” 的思想 ,令 k 2 xk 2,kZ,解得 x 的范畴即可 2如 0,可利用诱导公式先把yAtan x转化为 yAtan xAtan x,即把 x 的系数化为正值 ,再利用 “ 整体代换 ” 的思想 ,求得 x 的范畴即可 2运用正切函数单调性比较大小的步骤 1运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内- 9 - / 12 2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3正切函数的性质和图象及答案2运用单调性比较大小关系 提示 ：yAtan xA0,0只有增区间； yAtan xA0,0只有减区间 1利用单位圆中的正切线

15、作正切函数的图象,我们常用“ 三点两线” 法作正切曲线的简图作图较为精确, 但画图时较繁,2正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较性质正切函数正弦函数、余弦函数定义域x x 2k,k ZR值域R1,1最值最大值为 1无最小值为 1单调性仅有单调递增区间,不存在单单调递增区间、单调递减区间均调递减区间存在奇偶性奇函数正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数周期性TT2对称性有很多个对称中心,不存在对对称中心和对称轴均有很多个称轴1摸索辨析1正切函数的定义域和值域都是 R. 2正切函数图象是中心对称图形,有很多个对称中心 3正切函数图象有很多条对称轴,其对称轴是 xk 2,kZ. 4正切函数是增函数 提示 由正切函数图象可知 1 , 2,3 ,4 .- 10 - / 12 2022-2022 同步人 A 数学必修第一册新教材讲义：第 5 章 +5.4+5.4.3正切函数的性质和图象及答案答案12342如 tan x1,就 A2k 4x2k kZ Bx2k1 kZ Ck 4xk kZ Dk 4xk 2kZ D 由于 tan x1tan 4. 所以 4kx2k,kZ. 3求函数 ytan x,x 4, 3的值域为 _3,1 ytan xtan x,在 4, 3上为减函数 ,所以值域为 3,1 4求函数 ytan x 2 3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心解