棱柱与棱锥例题设计

1、棱柱与棱锥例题设计例1、2013北京卷 如图15，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.图15证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE，所以ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知

2、PA底面ABCD，所以PACD.又因为ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.例2、2013北京卷 某四棱锥的三视图如图13所示，该四棱锥的体积为_图13解析 3 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此Veq f(1,3)(33)13.例3、2013江苏卷 如图11，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_图11解析 124

3、设三棱柱的底面积为S，高为h，则V2Sh，又D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，所以SAEDeq f(1,4)S，且三棱锥FADE的高为eq f(1,2)h，故V1eq f(1,3)SAEDeq f(1,2)heq f(1,3)eq f(1,4)Seq f(1,2)heq f(1,24)Sh，所以V1V2124.例4、2013江西卷 如图17所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，ADeq r(2)，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离图17解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F

4、，则BFADeq r(2)，EFABDE1，FC2.在RtBEF中，BEeq r(3).在RtCFB中，BCeq r(6).在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1.所以BE平面BB1C1C.(2)三棱锥EA1B1C1的体积Veq f(1,3)AA1SA1B1C1eq r(2).在RtA1D1C1中，A1C1eq r(A1Deq oal(2,1)D1Ceq oal(2,1)3 eq r(2).同理，EC1eq r(EC2CCeq oal(2,1)3 eq r(2)，A1Eeq r(A1A2AD2DE2)2 eq r(3).故SA1C1E3 eq r(5

5、).设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积Veq f(1,3)dSA1C1Eeq r(5)d，从而eq r(5)deq r(2)，deq f(r(10),5).例5、2013新课标全国卷 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2eq r(2)，求三棱锥CA1DE的体积图17解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，联结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.图18(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，

6、所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2 eq r(2)得ACB90，CDeq r(2)，A1Deq r(6)，DEeq r(3)，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DEeq f(1,3)eq f(1,2)eq r(6)eq r(3)eq r(2)1.例6、2013四川卷 图18如图18，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面

7、A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积(锥体体积公式：Veq f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高)解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中点，所以，BCAD，则直线lAD.因此AA1平面ABC，所以AA1直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.(2)过D作DEAC于E.因为AA1平面ABC，所以DEAA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE平面AA1C1C.由ABAC2，BAC120，有AD1，DAC60，所以在ACD中，DEeq f(r(3),2)ADeq f(r(3),2).又SA1Q