《代数方法》课程教学大纲

1、代数方法课程教学大纲一、课程说明 1、课程简介代数方法是高等师范院校数学与应用数学专业的极为重要的选修课程，是为全国硕士研究生入学考试数学系各专业设置的课程 2、教学目标要求 高等代数是数学专业的专业选修课，是高等代数的提高课程学生通过本课程的学习，要更进一步系统掌握高等代数的基本理论、思想方法和解题技巧，能对问题的类型、解题思路和方法进行归纳、总结，探索解题规律，做到举一反三，触类旁通，进一步提高学生的数学修养、科学思维、逻辑推理能力，提高学生的理解和认识问题的能力以及计算能力提高分析问题和解决问题的能力，为继续深造和科研打下良好基础。3、教学重点难点本课程的教学重点部分和难点部分为多项式、

2、矩阵、向量空间、线性变换4、考核方式 本课程为考查课，考试的形式闭卷，总分为100分,成绩的合成平时占40分,期末占60分5、学时分配表 本课程安排一个学期讲完,安排44学时，包括基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型，向量空间、线性变换、欧氏空间的全部内容表1 课程学时分配表章次教学内容理论课学时数实验（实践）课学时数第一章多项式3第二章行列式5第三章线性方程组7第四章矩阵5第五章二次型5第六章向量空间5第七章线性变换5第九章欧氏空间5小计40总计40二、各部分教学纲要第一章 多项式（3学时）教学目标掌握数域上的一元多项式的概念、运算及多项式的次数定理掌握多项式的整除的概念和性质

3、，理解和掌握带余除法熟练掌握最大公因式的概念、性质及求法，掌握互素的概念和性质理解不可约多项式的概念及唯一分解定理理解掌握多项式的导数及重因式的概念，熟练掌握多项式有无重因式的判别法掌握多项式函数及多项式的根的概念及根的个数定理掌握复数域和实数域上的因式分解定理、代数基本定理等熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法本章重点多项式的整除性、多项式的最大公因式、多项式的分解、多项式的根、复数域和实数域及有理数域上的多项式本章难点多项式的整除、多项式的最大公因式、多项式的分解、有理数域上的多项式教学内容一元多项式的定义及运算多项式的整除概念及性质，带余除法最大公因式的概念、性质、辗转相除法及互素的概念

4、及性质不可约多项式及唯一分解定理重因式的概念及多项式有重因式的充要条件多项式函数及多项式的根的概念及余式定理、综合除法、因式定理、根的个数定理复数域和实数域上多项式的因式分解定理有理数域上多项式的可约性及有理根，其中有：本原多项式、高斯引理、爱森斯坦因判别法、有理根的求法 第二章行列式（5学时）教学目标熟练准确计算二、三阶行列式；了解排列、反序的概念，会求一个排列的反序数；熟练掌握阶行列式的概念，会利用阶行列式的概念计算特殊类型的阶行列式；会确定行列式的某一项的符号；掌握行列式的基本性质，会利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式；5掌握克拉默法则本章重点1熟练正确的计算二、三阶行列式；

5、2用定义计算一些特殊形式的阶行列式， 如上（下）三角行列式，零元素较多的行列式；3利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式本章难点对阶行列式的概念的理解，阶行列式的计算方法和技巧教学内容二阶三阶行列式的结构排列及性质阶行列式的定义和性质行列式的依行依列展开定理行列式的计算基本题型与典型例题。克莱姆法则线性方程组（7学时）教学目标1.熟练运用初等变换解线性方程组；2. 理解和掌握向量空间的定义及性质,理解和熟练掌握向量的线性组合、线性相关和线性无关的概念； 熟练掌握有关向量线性相关性的几个重要结论3理解和掌握矩阵的秩的概念，能熟练地用矩阵地初等变换求矩阵的秩；4熟练掌握线性方程组有解的判别

6、定理及应用；5掌握线性方程组解的结构；6掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件本章重点1. 变换解线性方程组；2. 线性相关性的判断与应用；3矩阵的秩的概念、应用初等变换求矩阵的秩的方法；4线性方程组有解的判别定理及应用；5线性方程组的公式解，解的结构；6齐次线性方程组有非零解的充要条件本章难点1.线性相关性的判断与应用；2.运用初等变换解线性方程组教学内容1. 消元法解线性方程组2. n维向量空间的定义3. 向量的线性组合、线性相关和线性无关定义，判别4. 矩阵的秩等价定义和求法5. 线性方程组有解判定定理6.线性方程组解的结构第四章 矩阵（5学时）教学目标掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其

7、运算规律掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判别法掌握矩阵乘积的行列式及秩的定理掌握初等矩阵的概念初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的理论和方法理解分块矩阵的定义及运算本章重点1矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算律；2逆矩阵的概念、矩阵可逆的判别法、及可逆矩阵的逆矩阵的求法；3矩阵乘积的行列式及秩的定理；4初等矩阵的概念及初等矩阵与初等变换的关系本章难点1. 矩阵乘法其运算律；2. 矩阵可逆的判别法、及可逆矩阵的逆矩阵的求法教学内容矩阵概念的一些背景；矩阵的运算；矩阵乘积的行列式与秩；矩阵的逆；矩阵的分块；初等矩阵；分块乘法的初等变换及应用举例。第五章二次型（5学时）教学目标掌握二次型的

8、概念及二次型与对称矩阵的一一对应关系掌握矩阵合同的概念及性质掌握化二次型为标准形的方法理解复数域上和实数域上典范形的唯一性掌握正定二次型的判别方法理解主轴问题本章重点化二次型为标准形、实数域上的二次型、正定二次型、主轴问题。本章难点实数域上的二次型、正定二次型。教学内容二次型的定义、二次型的矩阵、变量的线性替换、二次型的秩、矩阵的合同化二次型为标准形的两种方法复数域和实数域上的二次型的标准型.正定二次型的定义及其充要条件第六章 向量空间（5学时）教学目标掌握向量空间的概念及其简单性质，初步了解公理化的思想方法理解和掌握子空间的概念及判别方法，掌握子空间的和与交的概念理解和掌握向量组的线性相关性

9、的概念及性质掌握有限维向量空间的基和维数的概念及求法，理解直和的概念，理解基在向量空间中所起的作用掌握向量坐标的概念及意义、基变换及坐标变换公式、过渡矩阵的概念及性质理解向量空间同构的概念，掌握两个向量空间同构的判别方法本章重点线性空间的定义、向量组的线性相关性、基和维数、坐标。本章难点线性空间的定义、向量组的线性相关性、基和维数、坐标。教学内容集合映射；2线性空间的定义与简单性质；3. 维数，基与坐标；4. 基变换与坐标变换；5. 线性子空间；6. 子空间的交与和；7. 子空间的直和；8. 线性空间的同构。 线性变换（5学时）教学目标理解线性变换的概念、掌握其运算及简单性质掌握线性变换和矩阵

10、的关系掌握不变子空间的定义、掌握及的定义理解矩阵的相似、特征根、特征向量等基本概念，掌握特征根特征向量的求法理解矩阵可对角化的定义及判别法本章重点线性变换的矩阵及线性变换与矩阵的关系、特征根和特征向量的定义及求法、可对角化矩阵的判别法。本章难点线性变换的矩阵及线性变换与矩阵的关系、可对角化矩阵的判别法。教学内容1线性变换的定义；2线性变换的运算；3线性变换的矩阵；4特征值与特征向量；5对角矩阵；6线性变换的值域与核；7不变子空间；8若尔当标准型介绍。第九章 欧氏空间（5学时）教学目标理解内积、欧氏空间、向量的长度、两向量的夹角、距离等概念掌握标准正交基的概念及其求法，理解标准正交基的作用理解欧

11、氏空间同构的概念理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念, 掌握正交变换的等价条件理解和掌握对称变换的概念及其等价条件, 掌握实对称矩阵可对角化的性质本章重点欧氏空间的定义及其基本性质、向量的长度、夹角、正交等概念、标准正交基、正交变换、对称变换、实对称矩阵可对角化的性质。本章难点标准正交基、正交变换、对称变换、实对称矩阵可对角化的性质。教学内容1 欧式空间的定义与基本性质；2 运用施密特正交化法写出常见欧式空间的标准正交基；3 欧式空间同构的定义；4 用正交变换化实二次型为标准形；5 证明欧式空间的非空子集为子空间；6 实对称矩阵的标准型；7. 会熟练判断给定矩阵是否为正交矩阵三、使用教材及参考书使用教材：北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编 高等代数（第三版），高等教育