《微分几何》课程教学大纲

1、微分几何课程教学大纲 课程编码：171100171课程性质：专业核心必修课程适用专业： 数学与应用数学专业学时学分： 40学时 2.5学分所需先修课：数学专业基础课编写单位： 数学与信息科学系小4号宋体，首行缩进2个字符，以下同层次的正文同一、课程说明1、课程简介微分几何的发展，就其使用的数学方法而言可以分为三个阶段.第一阶段由牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)创立微积分开始,直至十八世纪初,在此期间欧拉(Euler)作出了巨大贡献.到了1827年,高斯(Gauss)在曲面论的研究方面有了重大突破发现曲面的高斯曲率的内蕴性,开始了微分几何发展的第二阶段.这一阶段基本形成了经典微分

2、几何的内容和体系,使用的数学方法是向量分析的方法.1885年德国数学家黎曼(Riemann)把高斯的内蕴几何思想进一步发展,并使用和发展了一套完整的张量分析的算法,展开了黎曼几何的一般理论.微分几何发展的第三个阶段是以法国数学家嘉当(Cartan)发展外微分法和活动标架理论为标志,数学大师嘉当精巧地把李群论与微分几何结合起来,外微分和活动标架法就成为这一阶段研究问题的重要数学方法. 2、教学目标要求 本课程包括经典微分几何的主要内容-曲线论和曲面论，通过本课程的学习，要求掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本理论以及研究曲线和曲面的基本方法，熟悉一些常见的曲线和曲面。本课程以微积分理论为基础，以向

3、量分析为工具，并在曲面论中适当地采用了一些张量分析的符号，对曲线和曲面的内蕴性质进行研究。通过微分几何的学习能够强化基础几何学，微积分学、代数学之间的联系。从而进一步深化对几何学的研究，获得以较高的观点分析、认识、处理经典几何的能力，同时为后继课打下基础；通过本课程的学习，能够培养学生增强辨证唯物主义的观点，增强由量变到质变，由特殊到一般的认识论的学习。3、教学重点难点微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨

4、论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。本课程的重点内容可分为两大部分：曲线论部分和曲面论部分 ，限于讨论曲线和曲面的局部性质。曲线论包括：曲线、曲率、挠率、FRENET标架、FRENET公式、曲线论等基本定理。曲面论部分包括：曲面、切平面、法向量、包洛面、曲面的第一和第二基本形式、曲面

5、的基本公式和基本方程及曲面论基本定理、曲率（法曲率、主曲率、平均曲率、测地曲率）、测地线、等距对应、共形对应、Gauss-Bonnet公式等。本课程的难点为：曲线论和曲面论基本定理的理解和论证；梅尼埃定理的几何意义；渐近曲线方程和曲率线方程的求解；黎曼曲率张量符号的应用；高斯-科达奇-迈因纳而迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式。4、考核方式 本科课程考核方式为：考试（或考查）。考核成绩由平时作业期中考试（此项由任课教师视教学情况而定）及期末考试三部分组成，总成绩由三部分按一定比例予以评定。1）平时作业成绩占总成绩的10%；2）期中考试成绩占总成绩的10%；3）期末考试采用闭

6、卷形式，考试前三周由授课教师或题库中提供。题型可采用填空、选择、判断、解答、证明及综合等，成绩占总成绩的80%。5、学时分配表章次教学内容理论课学时数实验（实践）课学时数第一章曲线论10第二章曲面论30小计40总计40二、各部分教学纲要第一章 曲线论（10学时）教学目标本章讨论的对象是简单曲线段，它是通过直线段到空间的同胚映射定义的。讨论的中心问题是曲线在一点邻近的局部形状和性质。基本要求如下：1、熟练掌握向量函数的极限，连续，微商以及向量函数的积分的概念和运算法则。2、掌握三类特殊向量函数的充分必要条件3、正确理解曲线的基本概念，认识类曲线的意义。4、掌握曲线的切线和法面的概念与方程。5、熟

7、练掌握曲线的弧长公式，深刻理解自然参数的概念，掌握将曲线的一般参数化成以弧长为参数的过程。6、熟练掌握曲线在一点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线的概念，深刻理解基本向量 、和基本三棱形的概念。7、熟练掌握空间曲线在一点的曲率、挠率的定义以及曲率，挠率的计算公式，重点掌握曲线的伏雷内（Frenet）公式及其应用。8、掌握空间曲线在一点邻近的结构。9、理解曲线论的基本定理的思想及其证明过程。10、了解曲率、挠率对研究空间曲线的重要性。11、掌握特殊的空间曲线-一般螺线的定义及有关定理，一般螺线的标准方程。本章重点1深刻理解并掌握向量函数的极限、连续性、微商和积分；2深刻理解曲线的概

8、念，掌握光滑曲线、曲线的正常点的判断；熟练求出曲线的切线和法面，熟练求出曲线的弧长，正确理解自然参数的概念。3熟练求解空间曲线的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线和副法线；深刻理解曲线的基本单位向量和基本三棱形；掌握Frenet标架建立的方法及其中有关向量的关系；要理解曲线的曲率、挠率概念，几何意义及其重要性，掌握曲率、挠率的计算公式，并且能熟练地计算曲率、挠率和利用曲率、挠率论证有关的问题；熟练应用Frenet公式；要掌握曲线上一点邻近结构的讨论方法及其结论；理解曲线论的基本定理的思想及其证明过程。熟记空间曲线论的基本定理。掌握一般螺线的等价性质。本章难点 曲线的弧长公式的证明；自然参

9、数的理解；伏雷内公式的应用；空间曲线论的基本定理。教学内容第一节 向量函数11 向量函数的极限12 向量函数的连续性13 向量函数的微商14 向量函数的泰勒（Taylor）公式15 向量函数的积分第二节 曲线的概念 21 曲线的概念 22 光滑曲线 曲线的正常点 23 曲线的切线和法面24 曲线的弧长 自然参数空间曲线 31 空间曲线的密切平面 32 空间曲线的基本三棱形 33 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式 34 空间曲线在一点邻近的结构 35 空间曲线论的基本定理36 一般螺线第二章 曲面论 （30学时）教学目标曲面论是经典微分几何的核心部分。这里讨论了与曲面的外形无关而

10、只于它的度量有关的所谓内蕴性质，和曲面在正常点邻近结构的所谓曲面的外在性质。基本要求如下：1、掌握曲面的概念及其参数表示、坐标曲线和曲纹坐标网；光滑曲面、正常点；曲面在一点的切方向；曲面在一点的切平面和法线的概念及其表达式与方程。2、掌握曲面上的曲线族和曲线网的方程。3、熟练掌握曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长；两个方向的夹角公式；曲面域的面积。4、了解曲面间的等距变换，保角变换和等积变换。5、掌握曲面的第二基本形式以及它的几何意义；曲面上曲线的曲率公式；法曲率公式；梅尼埃定理；杜邦指标线和曲面上点的分类；6、掌握曲面的渐进方向和共轭方向的概念及其方程。7、掌握曲面的主方向和曲率线；脐点条

11、件；主方向判定定理（罗德里格定理）及其应用。8、掌握曲面的主曲率，高斯曲率和平均曲率的计算；理解欧拉公式。9、掌握曲面在一点邻近的结构；了解高斯曲率的几何意义，曲面的第三基本形式。10、掌握直纹面的标准方程。 11、掌握直纹面可展的充要条件；了解可展曲面的分类定理；了解单参数曲面族的包络概念，特征线概念。掌握可展曲面与平面成等距对应的内容。12、掌握曲面上引进新参数（ ）后，第一、二基本量的符号表示。13、了解曲面的基本方程和克里斯托斐耳符号、曲面的黎曼曲率张量符号；了解高斯-科达齐-迈因那尔迪方程；认识曲面的内蕴量。14、熟记曲面论的基本定理。15、掌握曲面上测地线定义与方程；半测地坐标网，

12、测地线的短程性。本章重点1正确掌握曲面的概念；熟练求解曲面在一点的切平面和法线；理解曲面上的曲线族和曲线网。2熟练掌握曲面的第一基本形式；熟练求解曲面上曲线的弧长、曲面上二方向的交角、正交曲线族与正交轨线和曲面域的面积。3熟练掌握曲面的第二基本形式；正确理解曲面上曲线的曲率，了解杜邦（Dupin）指标线，正确判断曲面上点的类型；会求曲面上的渐近曲线和曲率线，应用罗德里格（Rodrigues）定理判断主方向；会求曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率；了解曲面在一点邻近的结构；理解高斯曲率的几何意义。4.熟练掌握判断可展曲面的充要条件；了解曲面包络的概念。5.理解曲面的基本方程和Christoffel

13、符号；曲面的Riemann曲率张量和Causs-Codazzi-Mainardi公式；熟记曲面论的基本定理。6.记忆曲面上曲线的测地曲率的计算公式；掌握曲面上的测地线；理解曲面上的半测地坐标网；了解曲面上测地线的短程性。本章难点 曲线族和曲线网的微分方程;正交曲线族和正交轨线;等距变换;曲面上曲线的曲率; 杜邦（Dupin）指标线; 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率；曲面的基本方程和Christoffel符号；曲面的Riemann曲率张量和Causs-Codazzi-Mainardi公式.讲授内容曲面的概念 1.1 简单曲面及参数表示 1.2 光滑曲面 曲面切平面和法线 1.3 曲面上的曲线族

14、和曲线网曲面的第一基本形式 2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 2.2 曲面上两方向的夹角正交曲线族和正交轨线2.4 曲面域的面积2.5 等距变换2.6 保角变换曲面的第二基本形式 3.1 曲面的第二基本形式 3.2 曲面上曲线的曲率 3.3 杜邦（Dupin）指标线 3.4 曲面上的渐进方向和共轭方向 3.5 曲面上的主方向和曲率线 3.6 曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率 3.7 曲面在一点邻近的结构 3.8 高斯曲率的几何意义直纹面和可展曲面 4.1 直纹面 4.2 可展曲面曲面论的基本定理 5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔(Christoffel)符号 5.2 曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯科达奇迈因纳尔迪(Causs-Codazzi-Mainardi)公式 53 曲面论的基本定理三、使用教材及参考书1、指定教材梅向明 黄敬之编 微分几何 2003年12月第3版，高等教