高中数学必修二 第六章 6.2 6.2.4

1、6.2.4向量的数量积知识点一向量的夹角知识点二向量数量积的概念知识点三投影向量如图1，设a，b是两个非零向量，eq o(AB,sup16()a，eq o(CD,sup16()b，我们考虑如下的变换：过eq o(AB,sup16()的起点A和终点B，分别作eq o(CD,sup16()所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq o(A1B1,sup16()，我们称上述变换为向量a向向量beq o(,sup4(01)投影，eq o(A1B1,sup16()叫做向量a在向量b上的eq o(,sup4(02)投影向量如图2，我们可以在平面内任取一点O，作eq o(OM,sup16()a，eq o

2、(ON,sup16()b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq o(OM1,sup16()就是向量a在向量b上的投影向量知识点四向量的数量积的性质和运算律(1)向量的数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则aeeaeq o(,sup4(01)|a|cos.abeq o(,sup4(02)ab0.当a与b同向时，abeq o(,sup4(03)|a|b|.当a与b反向时，abeq o(,sup4(04)|a|b|.aaeq o(,sup4(05)|a|2或|a|eq r(aa)eq r(a2).coseq o(,sup4(06)eq f(ab,|a|b|

3、).|ab|eq o(,sup4(07)|a|b|.(2)向量数量积的运算律eq o(,sup4(08)abba(交换律)(a)beq o(,sup4(09)(ab)eq o(,sup4(10)a(b)(结合律)eq o(,sup4(11)(ab)cacbc(分配律)1对数量积的理解(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零向量的投影是一个数量，

4、不是向量，其值可为正，可为负，也可为零(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作ab，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“”代替，写成ab.2要灵活掌握向量数量积的性质(1)abab0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算(2)aaa2|a|2与|a|eq r(|a|2)eq r(a2)也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)用coseq f(ab,|a|b|)求两向量的夹角，且夹角的取值与ab的符号有关设两个非零向量a与b的夹角为，则当0时，cos1，ab|a

5、|b|；当为锐角时，cos0，ab0；当为钝角时，cos0，ab0；当为直角时，cos0，ab0；当时，cos1，ab|a|b|.(4)|ab|a|b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题(5)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.(ab)ca(bc)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若abac且a0，则bc.()(2)若ab0，则a0或b0.()(3)若ab，则ab0.()(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos|(是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)若向量a，b

6、的夹角为30，则向量a，b的夹角为()A60 B30 C120 D150(2)已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|eq r(3)，则向量a和向量b的数量积ab_.(3)已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，设b在a上的投影向量是c，则|c|_.(4)若向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.答案(1)B(2)3(3)1(4)7题型一 平面向量数量积的概念例1(1)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是()|ab|a|b|ab；a，b反向ab|a|b|；ab|ab|ab|；|a|b|ac|bc|.A1 B2 C3 D4(2)已知|a|

7、5，|b|2，若：ab；ab；a与b的夹角为30.分别求ab.解析(1)ab|a|b|cos，由|ab|a|b|及a，b均为非零向量可得|cos|1，0或，ab，且以上各步均可逆，故命题是真命题；若a，b反向，则a，b的夹角为，ab|a|b|cos|a|b|，且以上各步均可逆，故命题是真命题；当ab时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|ab|ab|.反过来，若|ab|ab|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，ab，因此命题也是真命题；当|a|b|但是a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|ac|bc|

8、.反过来，由|ac|bc|也推不出|a|b|，故命题是假命题故选C.(2)当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0，ab|a|b|cos052110；若a与b反向，则它们的夹角为180，ab|a|b|cos18052(1)10.当ab时，则它们的夹角为90，ab|a|b|cos905200.当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos3052eq f(r(3),2)5eq r(3).答案(1)C(2)见解析(1)求平面向量的数量积的一般步骤(2)a与b垂直当且仅当ab0.(3)非零向量a与b共线当且仅当ab|a|b|.(1)已知下列命题：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若

9、ab0，则|ac|bc|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角其中判断正确的是_(2)给出下列命题：在ABC中，若eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()0，则ABC是钝角三角形；ABC是直角三角形eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()0.其中，正确命题的序号是_答案(1)(2)解析(1)对于，a2b20，|a|2|b|20，|a|b|0，ab0，故正确；对于，ab0，a与b互为相反向量，设a与c的夹角为，则b与c的夹角为，则ac|a|c|cos，bc|b|c|cos()|b|c|cos，|ac|bc|，故正确；对于，由于|ab|a|b|cos|a|b|

10、，故错误；对于，由于aaa|a|2a，其结果为向量，故错误；对于，当a与b为同向的非零向量时，ab|a|b|cos0|a|b|0，但夹角不是锐角，故错误(2)利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()0，B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角所以推不出ABC是锐角三角形故命题是假命题eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()0，eq o(BA,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()0，B是钝角，因而ABC是钝角三角形故命题是真命

11、题若ABC是直角三角形，则直角可以是A，也可以是B，C. 而eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()0仅能保证B是直角故命题是假命题.题型二 投影向量例2如图，在等腰三角形ABC中，ABAC2，ABC30，D为BC的中点(1)求eq o(BA,sup16()在eq o(CD,sup16()上的投影向量；(2)求eq o(CD,sup16()在eq o(BA,sup16()上的投影向量解(1)如图，连接AD.D为BC的中点，ABAC，ADBC.设与eq o(CD,sup16()同方向的单位向量为e.又BDDCeq r(3)，且eq o(BA,sup16()与eq o(CD,s

12、up16()的夹角为150，eq o(BA,sup16()在eq o(CD,sup16()上的投影向量为|eq o(BA,sup16()|cos150eeq r(3)eeq r(3)eq f(o(CD,sup16(),|o(CD,sup16()|)eq o(CD,sup16()eq o(BD,sup16().(2)如图，延长CB至点M，使BMCD，过点M作AB延长线的垂线MN，并交AB的延长线于点N.易知eq o(BM,sup16()eq o(CD,sup16()，BNeq f(3,2).eq o(CD,sup16()在eq o(BA,sup16()上的投影向量即为eq o(BM,sup16(

13、)在eq o(BA,sup16()上的投影向量又MNBN，BNeq f(3,2)，eq o(BM,sup16()与eq o(BA,sup16()的夹角为150，故eq o(BM,sup16()在eq o(BA,sup16()上的投影向量为eq o(BN,sup16()eq f(3,4)eq o(BA,sup16()，即eq o(CD,sup16()在eq o(BA,sup16()上的投影向量为eq f(3,4)eq o(BA,sup16().求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角在ABC中，已知|eq o(AB,sup16()|eq o(

14、AC,sup16()|6，且eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()18，则eq o(BA,sup16()在eq o(BC,sup16()上的投影向量为_(用eq o(BC,sup16()表示)答案eq f(1,2)eq o(BC,sup16()解析设A，eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()|eq o(AB,sup16()|eq o(AC,sup16()|cos18，coseq f(1,2)，60.又|eq o(AB,sup16()|eq o(AC,sup16()|，ABC为等边三角形过点A作ADBC交BC于点D.则BDDC.故eq o(BA,sup

15、16()在eq o(BC,sup16()上的投影向量为eq o(BD,sup16()，即为eq f(1,2)eq o(BC,sup16(). 题型三 平面向量数量积的运算例3(1)已知|a|4，|b|5，且向量a与b的夹角为60，求(2a3b)(3a2b)；(2)在RtABC中，C90，AB5，AC4，求eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16().解(1)(2a3b)(3a2b)6a24ab9ab6b2642545cos606524.(2)eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()|eq o(AB,sup16()|eq o(AC,sup16()|cosBAC

16、54eq f(4,5)16.综合探究将本例改为：(1)已知|a|4，|b|5，且向量a，b的夹角为30，求(2a3b)(3a2b)；(2)在RtABC中，C90，AB5，AC4，求eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16().解(1)(2a3b)(3a2b)6a25ab6b2642554cos3065250eq r(3)54.(2)在RtABC中，C90，AB5，AC4，故BC3，且cosABCeq f(3,5)，eq o(AB,sup16()与eq o(BC,sup16()的夹角180ABC，故eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()|eq o(AB,su

17、p16()|eq o(BC,sup16()|cosABC53eq f(3,5)9.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq o(BA,sup16()eq o(CA,sup16()4，eq o(BF,sup16()eq o(CF,sup16()1，则eq o(BE,sup16()eq o(CE,sup16()的值是_答案eq f(7,8)解析解法一：设eq o(BD,su

18、p16()a，eq o(DF,sup16()b，则eq o(BA,sup16()eq o(CA,sup16()(a3b)(a3b)9|b|2|a|24，eq o(BF,sup16()eq o(CF,sup16()(ab)(ab)|b|2|a|21，解得|a|2eq f(13,8)，|b|2eq f(5,8)，则eq o(BE,sup16()eq o(CE,sup16()(a2b)(a2b)4|b|2|a|2eq f(7,8).解法二：设eq o(AB,sup16()a，eq o(AC,sup16()b，根据题意有eq blcrc (avs4alco1(o(BA,sup16()o(CA,sup1

19、6()ab4，,o(BF,sup16()o(CF,sup16()blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)bf(2,3)a)blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)af(2,3)b)1，,o(BE,sup16()o(CE,sup16()blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)bf(5,6)a)blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)af(5,6)b)，)整理得eq blcrc (avs4alco1(ab4，,2a2b25ab9，,o(BE,sup16()o(CE,sup16()f(5a2b226ab,36)，)于是eq o(BE,sup16()eq o(CE,su

20、p16()eq f(f(5,2)9f(27,2)4,36)eq f(7,8).题型四 与向量模有关的计算例4已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，若c2ab，da2b，求：(1)cd；(2)|c2d|.解因为向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，所以ab|a|b|cos601，因为c2ab，da2b.(1)cd(2ab)(a2b)2a23ab2b22|a|2312|b|222232129.(2)因为c2d(2ab)2(a2b)4a3b，(c2d)2(4a3b)216a224ab9b216|a|22419|b|216222419197，所以|c2d|297，所以|c2d|eq

21、r(97).求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|eq r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化已知|a|b|5，向量a与b的夹角为eq f(,3)，求|ab|，|ab|.解ab|a|b|coseq f(,3)55eq f(1,2)eq f(25,2).|ab| eq r(ab2) eq r(|a|22ab|b|2)eq r(252f(25,2)25)5eq r(3).|ab| eq r(ab2) eq r(|a|22ab|b|2)eq r(252f(25,2)25)5.题型五 两

22、向量的夹角问题例5已知|a|2，|b|1，a与b的夹角为60，求向量m2ab与向量na4b的夹角的余弦值解ab21cos601，|m|2|2ab|24|a|24ab|b|242241121，|n|2|a4b|2|a|28ab16|b|2228116112，|m|eq r(21)，|n|2eq r(3)，mn(2ab)(a4b)2|a|27ab4|b|222271413.设m，n的夹角为，mn|m|n|cos，3eq r(21)2eq r(3)cos，即coseq f(r(7),14).求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos

23、eq f(ab,|a|b|)，最后借助0，求出的值(2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos的值已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_答案eq f(,3)解析设a与b的夹角为，依题意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos6，所以coseq f(1,2)，因为0，故eq f(,3).题型六 两向量的垂直问题例6已知向量a，b不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab)证明|2ab|a2b|，(2ab)2(a2b)2，即4a24abb2a24ab4b2，a2b2.(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，a

24、b0，ab0，(ab)(ab)求(证明)两向量垂直的基本步骤(1)计算ab的值；(2)若为零，则ab，否则不垂直已知|a|1，|b|2，ab与a垂直，求当k为何值时，(kab)(a2b)?解因为ab与a垂直，所以(ab)a0，所以a2ab0，所以ab|a|21，要使得(kab)(a2b)，只要(kab)(a2b)0，即k|a|2(2k1)ab2|b|20，所以k(2k1)2220，所以k3.1已知非零向量a，b，若a2b与a2b互相垂直，则eq f(|a|,|b|)()A.eq f(1,4) B4 C.eq f(1,2) D2答案D解析(a2b)(a2b)a24b20，|a|2|b|，eq f

25、(|a|,|b|)2.2在ABC中，若eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()20，则eq o(BC,sup16()在eq o(BA,sup16()上的投影向量为()A.eq o(BA,sup16() B.eq f(1,2)eq o(AB,sup16() C.eq o(AC,sup16() D.eq f(1,2)eq o(CA,sup16()答案A解析0eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()2eq o(AB,sup16()(eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(