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1、坐标和动量的测不准关系 坐标和动量的测不准关系 （1）引由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值 Fn 与平均值 的偏差的大小。（1）测不准关系的严格推导证：II 测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：是算符或普通数最后有：对任意实数 均成立由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：两个不对易算符均方偏差关系式测不准关系均方偏差其中：表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。测不准

2、关系线性谐振子的零点能振子能量被积函数是x 的奇函数n 为实处 n =0于是：二均方偏差不能同时为零，故 E 最小值也不能是零。为求 E 的最小值，取式中等号。则：求极值：解得：因均方偏差不能小于零，故取正零点能就是测不准关系所要求的最小能量例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，Lx= Ly= 0证：由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即则测不准关系：平均值的平方为非负数欲保证不等式成立，必有：同理：例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系：解：由例1 可知：由对易关系：等式两边右乘 Lx 将上式两边在 Ylm 态下求平均：将上式两边在 Ylm 态下求平均：则测不准关系：定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例 1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：例 2：氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：例 3：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。K、J 的物理意义交换电荷密度直接能,静电库仑作用能量, 0交换能, 也是

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