北京大学2019年数学分析试题及解答

1、10. (20 分证明 f 如=J 宋 f(kr.北京大学2019年全国硕士研宄生招生考试数学分析试题及解答微信公众号：数学十五少2019.03.23(10分 i寸论数列0 +十的敛敗性.(10 分)/(x) C|a,6且 /() = f(b). it明存在 xn, ylt M,使将- y”)= 0 且 /(xn)=f(yn)yn N.w 1 二 1 TOC o 1-5 h z 3- (10 分)证咖等式-+OC+OC(10分)己知jfc穷乘枳n(l+n)收敛，坫E fln收敛？证明或毕出反例.n1n1(10 分)a/Cr = gx，*lm 求 A /(x) k._ t/ 0nl(20 分)/

2、(x)为(0, +oc)上二次可微函数.C存在，f(x)有界.证明= 0.(20 分)数列z, Yj 界.且 lim (+| -z) = 0, lim xn = Z, Tim xn = L,-ao I L + 3on + acn+ooVceM,都荇fr,的子列收敛于c.8. （20分）p0,讨论级数么狀十sin的绝对敛敌性和条件敛敗性.9. (20 分求 f(x)=,斤:. (tx = 0 处的 Taylor 展幵式，并求 C ln(l - IxcosG + x2)(W. 1 2X COS VJa1.因为i On 上埘第二5第二 组参考题第一题有些类似.这题你H要想到用夹通定理桂本上就能自己写

3、出來，上述证明中的放缩方式足 小小提出的.另外的放缩方式可以足用几M-铮术平均值不等式，如果连续用H次也可估计出来，不过用一 次就行门或者从内到外放缩，先注息到1彡 2,就有/n -1)+7 3.以此类推，W后可以得到1彡彡2.取 Xtl = yn = a,n 即可.注出题芑帅人怠/，我仔细ft f题F儿次.K肚汴没介添加其他求，说厣题介条件! # t/n的人纯屈胡扯， 这题是送分题.3-设(m,n,x)=亡( 二:：广则有川=(-1阳产=，(1 -扩 于是zm（l-z）dxfc-0/（l _ 工广 dx = B（n, m，1）=乙（-1 把 j, A=0注儿乎完仝一样的题S见 上埘笫334页

4、笫17题.4.取 ln(l + an) = 则 nn = e1 - L “” 尹=f 因此 g (fln -发散，而收敛，因此fa,.发似此时S ff(l +a,.)收敛.ns I n*ln = I注此题衬以行作足对数学分析习题讲义 卜埘第28.29负所述内容的一个补充.陈纪修等人编的数学 分析第二版下册第54 S第7题给了M外一个例子.rlnrT 111 X又因为在(01)上连续，悠5=0.，5.因为=一1，因此在|0.1上有上界A/.故I X注此题为北京大学1987年数学分析考研真题第叫题第二问，它与裴礼文的(数学分析中的典型问题与方法 第二版第529贞例5.2.52类似.g.因r（x）江

5、（0,+oc）冇界.故r（x）在（o，+oo）上一致迮浅.存在，说明 广rx有总义. 卜面证叫f（x） = 0.若0.则介在 0,对于任总的 z 0,3f 0,于足存在Z $调递増趋于i f（xn）0.山一致连续，对于上述0,3（0 0.当x-y 50时. ir（） - r（!/）l ro/2.从而有r（x）-fr（xn）fXn）drr叫-|厂+-r&这与厂fx） di-有息义的Cauchy收敛原理矛Jfi .注裴礼文的（数学分析屮的典吧M题与方法第二版第249贞例3.3.11与本题儿乎完全相间.那里灯另外一 种证明方法.我写的这个解法足源于一个很经典的题目，可以见数学分析习题课讲义匕册第39

6、6页命题12.4.1.陈纪修等人编為的数学分析第二版上册第379贝例8.2.9,怀淞妃、打企勤编的&学分析解题 指南第417页题7.11，K礼文数学分析中的典型问题与方法第二版第415页例4.5.24 .首先/与均是Xn的某个子列的极限.下向任取Kc c，结合lim xn=l. IiiH xn = L,知xn中有无W项小于等于亨，有无穷项 n-+oon*+o大于C.从而|xn+1-A|釘无力多项大于等于矛筋.芡似地，存在n2 n,使符 X2 C.以 此类推可取一个子列xn,- c 安，此吋 M 的极限为c.注儿乎完全一样的/8IIUL 1:册96页第E帝第二组餐考题第1（）题或?礼文的 1吋绝

7、对收敛.在o P +oo)yw此E二暮nP在（） 1/2时绝对收敛.沒上：nP 1时Ki级数绝对收敛.当1/2P 1时拟级数糸件收敛，当0 2.由数学妇纳法S知 an = 2sin(n6l)1n N.于；oc. f(x) = 2ysin(n)jn.z e (-1.1).记 /(x) = I ln(l 2xcob0 + x2)d,则 7(0) = 0 Jo当|xi 1 时、/(x) = ln(l - 2.rcos + x2)(W = Jo7ln(sin)df ln(2：2) + ln(l - 2c.(m0 4-= J ln(ir2)l = 2nln x./(-I)；(1) = ln(2-2cos

8、沒戸=2乂 In (2sin 容)cW = 2nln2 + 4lu(2 + 2 cos= 2 lii (2cos 芸)= 2nlu2 + 4 乂 hi (cos dO.2/i卯 71,1,27 ln(sin 9 dO o=j、lll(cos) (W.2 J0 丨咖鄉诏=+ ,i，h =/(l) = /(-l) = 0.0，|x| 1计算当|x| 1吋,I(x)的农达式的另一种方法:X对于固定的! (-1,1),由Weierstrass判别法知关于0的级数2xn在R上一致收敛到nsl2x sind1 - 2rcos + z2 因此 i-2n,w=2fJ:xsin(ne)ln(l - 2x cos

9、 a 十 t2) - 21n(l - x) = -2 d, = 0(_L1)5注此题前半部分与数学分析习题课讲义下册73页例题14.4.5几乎一模一样，差别在于多了一个常败2,也 4参考(数学分析中的典型问题与方法第二版第549页例5.3.14成者第G(M)页例5.4.16后乍部分足一 个很经典的枳分，可在汐种数7:分析教材和习题15的含参变笊积分部分找到，比如数7：分析屮的典喂问题 与方法第二版第600贞例5.4.17成荇第816贞练习题7.1.13中的b),张筑牛的数学分折新讲第三册第 337贞例2.怀源渠、力企勤编的数学分析解题措南第304页例2 .利用这里算出的ln(l - 2tcos

10、 + x2) 的姑级数展幵和Abel第二定理，我们还4以完成北京人学2018年数学分析倒数第二题的证明.10.因为1sin (n +2+COSX + CO82j： + - + CO8，T=m两边冋时对z在0，rrl积分待7T271 sin (n + !) T , dx 2 sin J厂十+ dJ+rrfsin(n+ 心. Jo XJo 21-sin 52/由Dirichlet列别法知dx ff在，W此lim 广斗+ W.|J= lhn气hr再由 Riemann-Lebesgue 引理知lim 广7 2湘=wc/。2xsin I 2因此疒1 -J sin2(xj/)d-JoxXdx-isin2(Tr/)sin2xy)JO_ y=/4-oc注前t部分足Dirichlet枳分，与北苡火学2006年数学分析第5题，201G年数学分析第7题-样，在