(2)多元函数积分学复习课

1、多元函数积分学复习课一、内容提要上页下页铃结束返回首页二、典型例题内容提要二重积分的定义 以闭区域D为底 曲面zf(x y)为顶的曲顶柱体的体积为 占有闭区域D 面密度为(x y)的平面薄片的质量为定理 连续函数在有界闭区域上的二重积分必定存在 内容提要二重积分的性质性质1 设c1、c2为常数 则 性质2 如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2 则 性质3 内容提要二重积分的性质性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有 性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x y)在闭区域D上连续 为D的面积 则在D上至少存在一点( )使得 性质4 如果在D上

2、 f(x y)g(x y) 则有不等式内容提要 如果D是X型区域: D=(x, y)|j1(x)yj2(x), axb, 则 化二重积分为二次积分 如果D是Y型区域: D=(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd, 则 内容提要对称性问题 设 D 关于 y 轴对称. (1)若 f(-x, y) = -f(x, y), 则 (2)若 f(-x, y) = f(x, y), 则 其中 D1 为 D 在 y 轴右半部分. 提示: 内容提要利用极坐标计算二重积分 坐标变换公式: 面积元素: 如果积分区域可表示为D: j1(q)j2(q), aqb, 则内容提要 设曲面 S: zf(x y) (x

3、 y)D, 则 S 的面积为曲面的面积内容提要三重积分的物理意义三重积分的定义 设物体占有空间区域, 体密度为r = f(x, y, z), 则物体的质量为三重积分的几何意义 的体积为 注：当计算二重积分时用极坐标, 则得柱面坐标的计算法.内容提要 设积分区域 : 则 求围定顶 三重积分计算之投影法内容提要 设积分区域为(x y z)|(x y)Dz c1zc2 则宜用截面法的题型 三重积分计算之截面法内容提要 特殊区域的球面坐标表示 直角坐标与球面坐标的关系 xrsincos yrsinsin zrcos 球面坐标系中的体积元素 dvr2sindrdd 提示: r |OP| rsin. 利用

4、球面坐标计算三重积分内容提要对弧长的曲线积分 设光滑曲线弧L的参数方程为xx(t) yy(t) (t) 则有对坐标的曲线积分 设 L: xx(t) yy(t), 起点和终点对应的参数分别为和 则有 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 格林公式 格林公式内容提要 设 P(x y), Q(x y)在单连通区域 D 内具有连续偏导数 则在 D 内下列条件等价: 格林公式的应用内容提要(2) 曲线积分 (3) 存在函数 u(x, y), 使 (1) 与路径无关; 函数 u(x, y) 的计算公式例1比较积分与的大

5、小,解在内有故于是因此典型例题知识点其中 D 是闭圆域:积分区域 D 在直线 x+y=3 的右上方, 解 积分区域如图示, 例2 计算 提示: 的计算较繁,考虑改换积分次序.表示为Y型区域:知识点 例3 改换下列二次积分的积分次序. 解 积分区域如图示, 表示为Y型区域:提示: 知识点 例4 改换下列二次积分的积分次序. 解 积分区域如图示, 分为D1和D2两部分,知识点 解 积分区域如图示, 表示为q 型区域:提示: 例5 化 为极坐标形式的二次积分,其中知识点例6 化 为极坐标形式的二次积分.提示:抛物线 y=x2+x 在点(0, 0)处的切线方程为解 积分区域如图知识点 例7 设区域 计

6、算 解 积分区域如图示, 记 D1 为 D 的右半部分, 则有 D1知识点解1 积分区域如图 例8 设 计算知识点记区域 例8 设 计算解2 积分区域如图知识点 在 xOy 面的投影区域 D 的边界曲线为 解 D 的底面 的顶面 例9 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围:求围定顶 知识点作图 在 zOx 面的投影区域为 解 Dzx 例9 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围: 讨论: 化为先 y 再 x 后 z 的三次积分.知识点 思考: 化为先 x 再 y 后 z 的三次积分. 解1 提示: 的后底 前顶 或在yOz面的投影区域如图示. 例9 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围:知识点

7、例9 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围: 思考: 化为先 x 再 y 后 z 的三次积分.水平截面法 解2 知识点提示 的上边界曲面为z=4 下边界曲面为zx2y2 用极坐标可表示为z2 所以 2z4 提示 在xOy面上的投影区域为x2y24, 用极坐标表示为: 02, 0q2. 解1 2z4 02 02 由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域 例10 闭区域可表示为 知识点闭区域可表示为 解2 由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域 例10 知识点 在 xOy 面的投影区域 D 解 例11 求由以下曲面所围立体W的体积:知识点作图 在 xOy 面的投影区域 D 解 例12 求由以下曲

8、面所围立体W的体积:知识点 例13 已知曲面S1与曲面S2, 它们的方程为 (1) 求两曲面所围成的立体W的体积V; (2) 求立体W的S1部分的表面积A. 在 xOy 面的投影区域为 解 知识点 例13 已知曲面S1与曲面S2, 它们的方程为 (1) 求两曲面所围成的立体W的体积V; (2) 求立体W的S1部分的表面积A. 解 知识点例14 已知 L 为圆周 x2+y2=2ax (a0), 计算 解1 利用圆的标准参数方程来计算. 知识点例14 已知 L 为圆周 x2+y2=2ax (a0), 计算 解2 利用圆的极坐标方程来计算. 知识点记 D 为圆域 x2+y22x, 解 由格林公式有

9、例15 设 L 是正向圆周 x2+y2 = 2x 计算 知识点例16 已知 L 为圆周 x2+y2=2y 上从原点 O 按逆时针方向到点 A(0,2) 的圆弧, 计算 解 知识点例17 已知 L 为上半圆周 x2+y2=2x 上从原点 O 到点 A(1,1) 的圆弧, 计算 解 记 所以曲线积分与路径无关. 知识点 例18 验证 在整个xOy面内 记 解 所以存在u(x,y), 使 是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 知识点 的侧面方程, 在 xOy 面的投影区域 D 的边界曲线. 围: 求围定顶 的顶面和底面, 顶: 所给曲面方程中含 z 的方程表示. 的顶面与底面的交线关于 xOy

10、面的投影柱面方程.所给曲面方程中不含 z 的方程;特殊区域的球面坐标表示 球体: 上半球体: 球体在第一卦限部分: 球顶锥体: 球面方程 特殊区域的球面坐标表示 球顶锥体: 球面方程 球体: 如图平面图形绕 z 轴旋转一周而成的区域: 例9 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围: 例9 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围: 例9 化 为三次积分,其中W由以下曲面所围: 例11 求由以下曲面所围立体W的体积: 例11 求由以下曲面所围立体W的体积: 例11 求由以下曲面所围立体W的体积:内容总结多元函数积分学复习课。性质1 设c1、c2为常数 则。性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小。性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x y)在闭区域D上连。注：当计算二重积分时用极坐标, 则得柱面坐标的计算法.。求围定顶。特殊区域的球面坐标表示 。dvr2sindrdd。其中L是D的取正向的边界曲线。例3 改换下列二次积分的积分次序.。例4 改换下列二次积分的积分次序.。作图。在xOy面上的投影