2021-2022学年福建省福安市一中高三下第一次测试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数满足，则（ ）ABCD2已知集合，则等于( )ABCD3盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则(

2、)A，B，C，D，4某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）A480种B360种C240种D120种5数列的通项公式为则“”是“为递增数列”的（ ）条件A必要而不充分B充要C充分而不必要D即不充分也不必要6已知菱形的边长为2，则（）A4B6CD7一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）ABCD8函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）ABCD9如

3、图，在三棱锥中，平面，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A0BCD110等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（ ） ABCD11已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）ABCD12已知，为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题序号为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知椭圆：的左、右焦点分别为，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是_.14已知双曲线的左右焦点为，过

4、作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_.15若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为_16某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该部门员工总人数为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为.（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物

5、更受欢迎，得到的数据如下所示：A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望；（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818（12分）已知，函数的最小值为.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的最大值.19（12分）已知与有两个不同的交点，其横坐标分别为（）.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.20（12分）在中，

6、角的对边分别为，且满足.（）求角的大小；（）若的面积为，求和的值.21（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值.22（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.()求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；()已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由

7、题意得,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.2B【解析】解不等式确定集合，然后由补集、并集定义求解【详解】由题意或，故选：B.【点睛】本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型3C【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，所以.表示取出两个球，其中一黑一白，表示取出两个球为黑球，表示取出两个球为白球，所以.所以，.故选：C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.4B【解析】将人脸识别方向

8、的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，共有360种.故选：B【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.5A【解析】根据递增数列的特点可知，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果.【详解】若“是递增数列”，则，即，化简得：，又，则是递增数列，是递增数列，“”是“为递增数列”的必要不充分条件故选：.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.6B【解析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积

9、公式，即可求出结果【详解】如图所示，菱形形的边长为2，且，故选B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.7A【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、，则，.因此，随机变量的数学期望为.故选：A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.8B【解析】根据特殊值及函数的单调性判断即可；【详解】解：当时，无意义，故排除A；又，则，故排除D；对于C，当时，所以不单调，故排除C；故选：B【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题

10、利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.9B【解析】根据题意可得平面，则即异面直线与所成的角，连接CG，在中，易得，所以，所以，故选B10A【解析】设E为BD中点，连接AE、CE，过A作于点O，连接DO，得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到即为直线AC与平面ABD所成角，进而求得其正弦值，得到结果.【详解】设E为BD中点，连接AE、CE，由题可知，所以平面，过A作于点O，连接DO，则平面，所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即点O与点C重合，此时有平面，过C作与点F，又，所以，所以平面，从而角即为直线AC与平面ABD

11、所成角，故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.11D【解析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.12C【解析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，则，故正确；若，平面可能相交，故错误；若，则可能平行，故错误；由线面垂直的性质可得，正确；故选：C【点睛】本题主要考

12、查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，设内切圆的圆心为，半径为，则，故有，解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.14【解析】由已知可得，结合双曲线的定义可知，结合 ，从而可求出离心率.【详解】解：,，又，则.，即解得，即.故答案为: .【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线

13、的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.15【解析】由焦点坐标得从而可求出，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.【详解】解：因为一个焦点坐标为，则，即，解得或 由表示的是椭圆，则，所以，则椭圆方程为 所以.故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略，从而未对 的两个值进行取舍.1660【解析】根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数.【详解】三组人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样

14、本，则三组抽取人数分别.设组有人，则组中甲、乙二人均被抽到的概率，解得.该部门员工总共有人.故答案为：60.【点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）没有（2）分布列见解析，（3）证明见解析【解析】（1）根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断.（2）根据题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.（3）因为至少8个的偶数个十字路口，所以，即.要证，即证，根据组合数公式，即证；易知有.成立.设个路口中有个路口种植杨树，

15、下面分类讨论当时，由论证.当时，由论证.当时，设，再论证当 时，取得最小值即可.【详解】（1）本次实验中，故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，故，01234故.（3），.要证，即证；首先证明：对任意，有.证明：因为，所以.设个路口中有个路口种植杨树，当时，因为，所以，于是.当时，同上可得当时，设，当时，显然，当即时，当即时，即；，因此，即.综上，即.【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合，还考查运算求解能力以及必然与或然思想，属于难题.18（1）见解析；（2）最大值为.【解析】（1）将函

16、数表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立；（2）由可得出，并将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可得出实数的最大值.【详解】（1）.当时，函数单调递减，则；当时，函数单调递增，则；当时，函数单调递增，则.综上所述，所以；（2）因为恒成立，且，所以恒成立，即.因为，当且仅当时等号成立，所以，实数的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19（1）；（2）见解析【解析】（1）利用导数研究的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；（2）构造函数，可证得：，分析直线

17、，与从左到右交点的横坐标，在，处的切线即得解.【详解】（1）设函数，令，令故在单调递减，在单调递增，时；时.（2）过点，的直线为，则令，.过点，的直线为，则，在上单调递增.设直线，与从左到右交点的横坐标依次为，由图知.在，处的切线分别为，同理可以证得，.记直线与两切线和从左到右交点的横坐标依次为，.【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.20（）；（），.【解析】（）运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简，即可求出角的大小；（）通过面积公式和 ，可以求出，这样用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根据同角的三角函数关系，可以求

18、出，这样可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【详解】（）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（），由余弦定理可知：,.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系，考查了运算能力.21（1）（2）最大值为【解析】（1）利用消去参数，求得曲线的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出两点的坐标，求得的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】（1）由消去得曲线的普通方程为.所以的极坐标方程为，即.（2）不妨设，则当时，取得最大值，最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.22（1）(x1)2y24,直线l的直角坐标方程为xy20；（2）3.【解析】(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方