柱锥台的体积-完整版PPT

1、7.2柱、锥、台的体积问题引航1.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？它们各具有什么特点？2.由柱体的体积公式能得到锥体的体积公式吗？由锥体的体积公式能得到台体的体积公式吗？柱、锥、台体的体积公式名称体积公式柱体V柱体=_(S为底面面积，h为高)，V圆柱=_(r为底面半径)锥体V锥体= (S为底面面积，h为高)，V圆锥=(r为底面半径)Shr2h名称体积公式台体V台体= (S，S分别为上、下底面面积，h为高)V圆台= (r，r分别为上、下底面半径)1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求.()(2)锥体的体积是柱体体积的 .()(3)圆台的体积可由

2、两圆锥的体积差得出.()【解析】(1)正确.根据三棱锥的特征，可知三棱锥的每一个侧面都可以看作底面.(2)错误.锥体体积是与其等底面积、等高的柱体体积的 .(3)正确.由平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分即可得圆台，因此圆台的体积可由大圆锥的体积减去小圆锥的体积得出.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)正方体的表面积为a2，则它的体积为_.(2)圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是_.(3)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_.【解析】(1)设正方体的棱长为x，则6x2=a2，所以x= a，故V=x3

3、= a3.答案： a3(2)设圆柱的底面半径为r，则Sr2，所以r ，则圆柱的母线长l2r2 ，即圆柱的高h2 ，所以V圆柱Sh2S .答案：2S (3)上底面面积为6 ，下底面面积为24 ，则棱台的体积为答案：【要点探究】知识点 柱体、锥体、台体的体积公式1.对柱体、锥体、台体体积公式的三点说明(1)等底面积、等高的两个柱体(或锥体)的体积相等.柱体的体积只与底面积和高有关，与其具体形状无关.(2)如果柱体与锥体的底面积相等，高也相等，则V柱=3V锥.(3)台体可以看作由一个平行于底面的平面去截一个锥体，即台体的体积可以由大锥体的体积减去小锥体的体积得出.2.柱、锥、台体的体积计算公式间的关

4、系解读从柱、锥、台的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱.因此只要分别令S=S和S=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式.(S，S分别为上下底面面积，h为高；r，r分别为圆台上底、下底半径)3.求柱、锥、台体的体积时的关注点(1)体积问题主要是求底面积和高，对于数学方法要注意将空间问题转化为平面问题.(2)对圆柱、圆锥、圆台要特别注意应用它们的轴截面，轴截面是联系底面半径、母线、高的有效工具.【知识拓展】1.等底同高的柱体与锥体体积关系的推导，如图将三棱柱BCD-ACD分割成三个三棱锥：A-BCD，：A-DCD，：A-CCD.下面证明V=

5、V=V，把C看成三棱锥、的公共顶点，因为有等底DBA，ADD和等高，得V=V.再把A看作三棱锥、的公共顶点；它们有等底DCD，CDC和等高，所以V=V，因此V=V=V= V三棱柱.注意：在上述推导过程中对于V=V=V的关系式的推导方法很重要，在解决棱锥的体积问题时常常会用到这种转化思想.2.台体体积的推导设任意台体(棱台或圆台)的上、下底面的面积分别是S，S，高是h.截得台体时去掉的锥体的高是x，去掉的锥体和原来的锥体的体积分别是V，V(如图)这时，V Sx，V S(h+x)，所以台体的体积V台体VV S(h+x) Sx Sh+(SS)x因为台体上、下底面相似，所以代入上式得，V台体则 (r，

6、R分别为圆台上底、下底半径).【微思考】(1)如果两个柱体的体积相等，则其表面积是否一定相等？提示：不一定，因为柱体体积只是与其底面积、高有关，而其表面积与底面积、侧面展开图的面积有关.(2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积是否相等？提示：不一定相等，由体积公式可知，底面积不一定相等.(3)如果给出一个不规则的几何体，如何求其体积？提示：可以考虑将其分割成若干个规则的几何体或通过添加规则的几何体将其补成一个规则的几何体求解.【即时练】1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的体积为_.2.已知圆台上、下底面半径分别为1，2，高为3，则圆台体积为_.3.(2

7、014南昌高一检测)已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P，Q分别在侧棱A1A和C1C上，且AP=C1Q，则四棱锥B-APQC的体积是_.【解析】1.设圆锥的高为h，底面半径为r，其轴截面如图：因为ABC为等边三角形，所以h r，又 2rh ，所以r r ，所以r1，h ，所以答案：2.由已知圆台上、下底面面积分别为S上，S下4.则答案：73.答案： V【题型示范】类型一 多面体的体积【典例1】(1)(2014宿州高一检测)若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则该多面体的体积是()(2)已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2cm2，2 cm2，侧棱长为2cm，则其体积为

8、_.(3)一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为 ，这个三棱锥的体积为_.【解题探究】1.题(1)中由三视图可知该几何体的结构特征是什么？2.题(2)中直四棱柱的对角面是什么图形？菱形的面积与其对角线存在什么关系？3.题(3)中正三棱锥的顶点在底面的射影落在底面三角形的什么位置？正三角形的中心有何特征？【探究提示】1.该几何体是一个棱长为1cm的正方体截去一个角(以上底一半为底面，高为正方体棱长的三棱锥)后的几何体.2.直四棱柱的对角面是以底面对角线长为长，侧棱长为高的矩形；菱形的面积是其对角线的乘积的一半.3.正三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，即可得到三棱锥的高；正三角形的中心既是

9、三角形的外心，又是三角形的内心，还是三角形的重心，也就是三心合一.三角形的重心分中线所成的比是 .【自主解答】(1)选C.由三视图可知几何体如图，该几何体是正方体去掉一个角后的几何体，体积为1- 111=1- = (cm3).(2)如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为x cm，y cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有 解得底面菱形的面积S xy (cm2)，所以该棱柱的体积为VSh 2 (cm3)答案： cm3(3)如图所示，正三棱锥S-ABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AHBC.因为A

10、BC是边长为6的正三角形，所以AE 6 .则AH AE在ABC中，SABC BCAE 在RtSHA中，SA ，AH ，所以所以V正三棱锥 SABCSH答案：9【方法技巧】1.求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解.(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求棱柱体积的技巧柱体的体积仅与它的底面积和高有关，与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积转化成求直棱

11、柱的体积.【变式训练】(2014山东高考)一个六棱锥的体积为2 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.【解题指南】本题考查了空间几何体的表面积与体积，利用体积求得六棱锥的高，再求出斜高即可求出表面积.【解析】设六棱锥的高为h，斜高为h，则由体积得h=1，h=所以侧面积为 2h6=12.答案：12【补偿训练】如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，ACBD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD.(1)求证：平面AOC平面BCD.(2)若三棱锥A-BCD的体积为 ，求AC的长.【解析】(1)因为四边形ABCD是正方形，所以BDAO，BDCO.在折

12、叠后的ABD和BCD中，仍有BDAO，BDCO.因为AOCO=O，AO 平面AOC，CO 平面AOC，所以BD平面AOC.因为BD 平面BCD，所以平面AOC平面BCD.(2)设三棱锥A-BCD的高为h，由于三棱锥A-BCD的体积为 ，所以 SBCDh= .因为SBCD= BCCD= 22=2，所以h= .以下分两种情形求AC的长：当AOC为钝角时，如图，过点A作CO的垂线AH交CO的延长线于点H，又平面AOC平面BCD，交线为CO，所以AH平面BCD.所以AH为三棱锥A-BCD的高，即AH .在RtAOH中，因为AO ，所以在RtACH中，因为CO ，所以CHCO+OH所以AC当AOC为锐角

13、时，如图，过点A作CO的垂线AH交CO于点H，又平面AOC平面BCD，交线为CO.所以AH平面BCD.所以AH为三棱锥A-BCD的高，即AH .在RtAOH中，因为AO ，所以OH在RtACH中，因为CO ，所以CHCOOH 所以综上可知，AC的长为 或类型二 旋转体的体积【典例2】(1)(2013陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其体积为_.(2)(2013潍坊高一检测)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【解题探究】1.求圆锥的体积的关键点是什么？题(1)中由三视图可知该几何体的特征是什么？2.题(2)中圆台

14、的上下底面的半径与高如何确定？【探究提示】1.求圆锥的体积的关键是确定圆锥的底面半径与高；由三视图可知该几何体是一个以半径为1，高为2的半圆锥.2.在轴截面中利用直角三角形知识求解.【自主解答】(1)由三视图还原为实物图为半个圆锥，则V答案：(2)由题意轴截面为A1ABB1，设上、下底面半径、母线长分别为r，R，l，作A1DAB于点D.则A1D3，A1AB60，又AA1B90，所以BA1D60， 即R-r=3 ，所以R-r= ，BD=A1Dtan 60，即R+r=3 ，所以R+r=3 ，所以R=2 ，r= ，而h=3，所以V圆台 h(R2+Rr+r2)=所以圆台的体积为21.【延伸探究】题(2

15、)条件不变，圆台可看作大圆锥截去一个小圆锥后的几何体，求截去的圆锥的体积.【解析】如图，由题(2)知圆台的上底面为大圆锥的中截面，所以截去的小圆锥的高为3，又r= ，所以小圆锥的体积为 ( )23=3.【方法技巧】有关旋转体体积计算的技巧要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答.(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解.(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键.【变式训练】(2014湖北高考)算数书竹简

16、于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式V L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()【解题指南】考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力.根据近似公式V L2h，建立方程，即可求得结论.【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为r，依题意，L=2r，所以即的近似值为【补偿训练】体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的

17、体积为()A.54 cm3B.54cm3C.58 cm3D.58cm3【解析】选A.由底面积之比为19知，体积之比为127，截得小圆锥与圆台体积比为126，所以小圆锥体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54 cm3.【拓展类型】体积问题在实际生活中的应用【备选例题】(1)一密闭正三棱柱容器内装有液体，该三棱柱容器内底面正三角形边长为2，棱柱的内高为3，将一侧面置于水平桌面上，测得液体高度为 ，现将容器底面放于水平桌面上，则容器内液面高度为( )(2)(2014上海高一检测)如图，ABC中，ACB=90，ABC=30，BC= ，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点

18、C，M，与BC交于点N)，将ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.求该几何体中间一个空心球的表面积的大小.求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.【解析】(1)选C.由题意可知，侧面置水平桌面上时，容器内的液体是一个四棱柱，高为3，底面是一梯形，梯形的下底是2，高是 ，可求得上底长为1，故体积设直立正放于桌面上时，液面高度为x，则 解得x(2)连接OM，则OMAB，设OM=r，则OB= -r，在BMO中，sinABC=所以r= ，所以S=4r2= .因为ABC中，ACB=90，ABC=30，BC= ，所以AC=1，所以V=V圆锥-V球= AC2BC- r3= 12 =【易错误区】求几何体体积时考虑不周而致误【典例】如图，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为_.【解析】方法一(割)：如图(1)，过点C作CHDG于H，连接EH，这样