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文档简介

1、 1. 指数函数 2. 对数函数 3. 乘幂与幂函数 4. 三角函数和双曲函数 5. 反三角函数与反双曲函数23 初等函数第1页第1页 23 初等函数本节将微积分初等函数推广到复变函数情形，给出基本初等函数定义，研究这些基本初等函数性质，并阐明它解析性。由此能够得到初等函数相关性质。第2页第2页1. 指数函数指数函数性质定义 2.3.1指数函数概念第3页第3页(3) 当I m (z)=0，即z=x R时，注 此性质表明复指数函数是实指数函数推广，因此我们能够简记注 由此性质可得到Euler公式：第4页第4页例1例2例3 周期性质是实变指数函数所没有。第5页第5页2. 对数函数定义2.3.2 指

2、数函数反函数称为对数函数。即，对数概念注 由定义知Ln z与 互为反函数。另一方面由周期性可知Ln z是多值函数 。对数表示式第6页第6页证实对数主值支 对于多值函数，通常研究办法是将其分支化，引入主值概念。第7页第7页 对数函数性质注 由此性质可知，对数主值 是实对数推广。 各个分支与主值 相差常数2i整数倍，因此只须将 性质弄清楚，就掌握了 各个分支性质。下面仅讨论 性质。第8页第8页 对于多值函数，复对数函数 保持实对数一些运算性质：值得注意是下列式子并不成立:例4负数在复变函数中能够求对数,但是零不能求对数第9页第9页3. 乘幂与幂函数 乘幂定义2.3.3 多值普通为多值第10页第10

3、页 q个值例第11页第11页解第12页第12页 (2) 当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a n次根意义一致。 (1) 当b=n(正整数)时，乘幂ab与a n次幂意义一致。第13页第13页 幂函数定义2.3.4幂函数性质 w=zn 在整个复平面上或去掉原点复平面是单值解析函数.单值性和多值性第14页第14页w=zn反函数解析性第15页第15页4. 三角函数和双曲函数定义2.3.5 定义三角函数下列： 定义双曲函数下列：第16页第16页正弦与余弦函数性质第17页第17页 用定义能够验证上述加法定理以及其它三角恒等式，如倍角公式、诱导公式等等，并由此能够得到下列性质。第18页第18页双曲正弦与双曲余弦函数性质双曲函数含有完全类似于三角函数性质。第19页第19页 正弦函数和余弦函数不再含有有界性。实双曲函数不含有周期性。第20页第20页5. 反三角函数和反双曲函数 以反余弦函数为例进行讨论，其余反函数研究方式完全类似。反余弦函数概念定义2.3.6反余弦函数表示式 三角函数和双曲函数含有周期性，因此它们反函数一定是多值函数。第21页第21页其它反三角函数和反双曲函数第22页第22页 以上给出了5类基本初等函数。由基本初等函数、常数通过有限次四则运算和有限次复合运算，由一个数学式子表示函数称为初等函数。初等函数 单值初等函数在其定义域内连续；多

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