中考数学培优满分专题突破 专题2 图形变式与拓展-人教版初中九年级全册数学试题

1、word专 图变与展常类分专类突类 1 关三角的式展题【例 1】在图 1 至图 3 中直线 MN 与线 AB 相交点 ，1245.(1)如图 1，若 ，写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系；(2)将图 1 中 MN 绕 O 顺针转得到图 2其中 AOOB.证：AC，AC BD； (3)将图 2 中 OB 拉为 AO 的 得到图 3，求【路析通过观察可以猜想 AO 与 BD 等且互相垂直；在后面的问题中，通过添加 BD 的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决【解】(1)AOBD，AOBD.(2)证明：如图 1，点 B 作 BECA DO 于 ，延长 AC 交 DB 的长线于

2、点 F.1 / 20wordACO又AOOB，AOCBOE，AOC BOE. ACBE.又145，ACOBEO135.DEB2，BEBD，EBD90.ACBD. BE，AFDACBD.(3)如图 2，过点 B 作 BECA 交 DO 于点 E，BEO又BOEAOC，BOE AOC.又OBkAO，由2)的方法易得 BEBD.满技图拓展类问题的解答往需要借助几何直观、转化、类比的思想方法在原图形中具备的位置和数量关系，在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系，可通过类比进行推理、验证，所用方法和1)问所用方法相似，可借鉴原结论方法，并进 行拓展，只要沿着这样的思路进行即可解决满变必AB

3、C 中，AB，BC点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动同时点 Q 从点 出发线段 的延长线移动，点 P，Q 移的度相同，PQ 与线 BC 相交于点 D.(1)如图 1，过点 P 作 PFAQ 交 BC 于点 F，求证：PDF eq oac(,；)QDC(2)如图 2，当点 P 为 AB 的中时，求 CD 的长；(3)如图 3过点 P 作 PE 于 E在点 点 B 向点 A 移的过程中线 DE 的度是 否保持不变？若保持不变，请求出 的长，若改变，请说明理由2 / 20word解：(1)ABAC，ACB.PFAC，PFBACB. PFB.BPFP. 由题意，得 BPCQ，FPCQ.PFAC，

4、DPFPDFQDCPDF (2)如图，过点 P 作 交 BC 于点 F.点 P 为 AB 的点，(3)线段 DE 的长保持不变如图，过点 P 作 PFAC 交 于点 F.2.如 1，ABC 中，45，AHBC 于点 ，点 在 AH 上且 DHCH，连接 (1)求证：AC；(2)将 绕 H 顺针旋转得 EHF(点 B，D 别与点 E，F 对应)，连接 AE.如图 ，当点 F 落 AC 上( 不与 重合，若 BC4，tanC3，求 AE 的长；如图 ，当EHF 是BHD 绕 逆时旋转 得到时，设射线 CF 与 AE 相于点 G，3 / 20word连接 GH，试探究线段 GH 与 EF 之间足的等

5、量关系，并说明理由 解：(1)在 Rt 中ABC，AHBH.在 和 中 eq oac(,) eq oac(,)AHC(SAS) BDAC.(2)在 RtAHC 中tanC3，设 CHx， BHAH3x.，3xx4.xAH3，CH由旋转，知EHFBHDAHC90，EHAH3，FHCH， eq oac(,) eq oac(,)FHC. EAHC.tanEAHtanC3.如图，过点 H 作 HPAE 于点 P，HP3AP，AE2AP.在 RtAHP 中，HPAH，AP(3AP)9.EF理由如下：设 与 CG 交点 Q，由知，AEH 和FHC 都等三角形又旋转角为 30，FHD30.120.HCGGA

6、H eq oac(,) eq oac(,)CHQ. AGQ又GQHAQC， eq oac(,) AQC.4 / 20word3.教材改编题(1)问发现：图 1，ACB 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE，则AEB 的数_线段 AD，BE 之的关系_；(2)拓展探究如图 2 eq oac(,，)ACB 和DCE 为等腰直角三角形ACBDCE点 A， E 在一直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE.请判断 的数，并说明由；当 CM5 时，AC 比 BE 的长多 时， AE 的长解：(1)60 相(2)AEB90.理由如下：ACB 和 均等腰直角三角形，CA，C

7、DCE，ACBDCE90.ACDBCE. 在 和BCE 中， eq oac(,) eq oac(,)BCE(SAS)AD，ADCDCE 为等腰直角三角形，CDECED点 A，D，E 在同一直线上，ADC，135.5 / 20wordAEBBECCED90.在等腰 eq oac(,Rt) 中DCE，CMDE则有 DMCMME5.在 RtACM 中，CMAC.设 BEADx，则 AC6x.(x56)，得 x7.AEADDMME17.类 2 关四边的式展题【例 2 1ABC 中 D 分别是 AB 的中得到 DE (不 需要证明【探究】如图 2，在四边形 ABCD ，点 E，F，H 别是 AB，BC，

8、CD，DA 的中点，判断 四边形 EFGH 的形状，并加以证明【应用(1)【究的条件下四边形 ABCD 满足什么条件时四边形 EFGH 是形？ 你添加的条件是.(只添加一个条)(2)如图 3，在四边形 ABCD 中点 ，F，G，H 别是 ，BC，CD，DA 的中点，对角线 AC， BD 相交于点 O.若 AOOC，四边 面积为 ，则阴影部分图形的面积和.【路析探】用三角形的中位线定理可得出 EFHGGH继而可判断出四边形 EFGH 的形状用】(1)同探究】的方法判断出即可判断出 EFFG，可得出结论；(2)先判断出 4S 同理S 4S ，进而得出 eq oac(,S) 再判断出 OMON，进而

9、得出解：【探究】四边形 EFGH 是平行四边形6 / 20word证明：如图 1，连接 AC.E 是 AB 的中， 是 BC 的点，EF，综上，EFHG，EFHG.故四边形 EFGH 是行四边形【应用】添加 ACBD.理由：连接 AC，BD，AC，EFFG.又四边形 EFGH 是行四边形， EFGH 菱形 故答案为：BD.(2)如图 2，由【探究四边形 是平行四边形 F 分是 BC，CD 的中点，4S eq oac(,.)同理， 4S eq oac(,S) eq oac(,.)四边形 ABCD 面为 5，设 与 ，EH 相于点 M，N，EF 相交点 P.OAOC，OMON.7 / 20word

10、易知，四边形 ENOP 是积相等的平行四边形满技题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定似三角形的判定和性质探关键是判断出解【应用】的关键是判断出是一道基础题目满变必1.阅下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题图 1，我们把一个四边形 ABCD 的边中点 E， G，H 依连接起来得到的四边 EFGH 是行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接 结合小敏的思路作答：(1)若只改变图 1 中四边形 的形(如图 2)则四边形 EFGH 还是平行四边形吗？说明 理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题；(2)如图 2，在(的件下，若连接 AC，BD.当 与

11、 BD 满什么条件时，四边形 EFGH 菱形，写出结论并证明；当 与 BD 满什么条件时，四边形 EFGH 矩形，直接写出结论解：(1)四边形 EFGH 是平四边形，理由如下： 如图，连接 AC，8 / 20wordE 是 AB 的中， 是 BC 的点，EFHG，EFHG.故四边形 EFGH 是行四边形(2)当 AC 时，四边形 EFGH 为菱理由如下：由1)知，四边形 EFGH 是平四形，当 ACBD 时，FG 是菱形当 ACBD 时，四边形 EFGH 为形2.如 1，将一 X 矩形纸片 ABCD 沿着角线 上折叠，顶点 C 落到点 E 处 交 AD 于 点 (1)求证：BDF 是腰三角形；

12、(2)如图 2，过点 D 作 DGBE， BC 点 ，连接 FG 交 BD 于点 O.判断四边形 的状，并明理由；若 AB68，求 的长解：(1)证明：根据折叠的性质得DBCDBE.又 ADBC，DBCADB，DBEADBDFBF， BDF 是腰三角形(2)四边形 ABCD 是形，ADFDBG.又DGBE，即 ，四边形 BFDG 是行四边形9 / 20wordDF，四边形 是形AB6，AD，假设 DFBFx，AFDF8在 eq oac(,Rt)ABF 中，AB，即 (8x)x.3.如 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 别是边 BC，AB 的点，且 CEBF.连接 DE，过点 E 作 EG

13、DE，使 EGDE，连接 FG，FC.(1)请判断： 与 CE 的量关系是，位置关系是；(2)如图 2，若点 E 分是边 延长线上的点，其他条件不变(1)中结论是否仍然 成立？请作出判断并给予证明；(3)如图 3，若点 E 分是边 延长线上的点，其他条件不变(1)中结论是否仍然 成立？请直接写出你的判断解：CE FGCE (2)成立10 / word证明：如图，过点 G 作 GHCB 延长线于点 ， EG，GEHDEC90.GEHHGE，DECHGE. 在 与 中 eq oac(,) eq oac(,)CED(AAS) GH，HECD.CE，GHBF.GH，四边形 是行四边形FG，FGFGCE

14、.四边形 ABCD 是方形，CDHEBC.HEEBEB.BHEC.FGEC.(3)仍然成立类 3 关圆的式展题【例 3】如图 1 至图 4 中两平行线 AB，CD 间的距离均为 6，点 M 为 AB 上一点 思如图 1，圆心为 的圆形纸片在 AB，CD 之间包括 AB，CD)其直径 MN 在 AB 上，MN， 点 P 为圆上一点，设MOP.度时，点 P 到 CD 的离最小，最小值.探一在图 1 的基上，以点 M 为旋转心，在 AB 之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再 转动为止，如图 2，得到最大旋角BMO度，此时点 到 CD 的离.探二11 / word将图 1 中扇形纸片 NOP 按下面的

15、要求剪掉，使扇形纸片 MOP 绕 M 在 AB，CD 之间 时针旋转(1)如图 3当60时求在转过程中 P 到 CD 的最距离并请指出旋转角 的最大值；(2)如图 4，在扇形纸片 MOP 旋转程中，要保证点 P 落在直线 CD 上请确定的取值 X 围【思路分析在思考”的图 1 中，当 OPCD ，点 到 CD 的离最小；在“探究一”的图 2 中半圆形纸片不能再转动时， 与 切于点 Y；在“探究二”的图 3 中当 PMAB 时点 P 到 CD 的离最小当中，当弦 MP6 时，取最小值当与 AB 相切时，旋转角 的数最大图 4与 相于点 P 时，即半径 OPCD 于 P时，取最大值解：思考：根据两

16、平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当 度，点 P 到 CD 的 离最小MN，OP点 P 到 CD 的离最小值为 4故答案为：90,2.探究一：以点 M 为旋中心， AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动 为止，如图 1，MN，MO，OY4.UO2.得到最大旋转角BMO 度此时点 CD 的离是 2.12 / word故答案为：30,2.图 1探究二：由已知得 M 与 P 的离为 ，当 MPAB 时点 P 到 AB 的大距离为 ，从而点 的小距离为 62.扇形MOP 在 AB 之旋转到不能转时， 90.(2)如图 2，由探究一可知，点 P 是即 OPCD.此时延长 交 AB 于

17、， 最大值为与 AB 相，此时旋转角最大， 的大值为与 的切时，达到最大，图 2OMHOHM3090120.如图 3，当点 P 在 CD 上且 AB 距最小时，MPCD，达到最小，连接 MP作 OHMP 点 H由垂径定理，得 3，在 eq oac(,Rt) 中MO4MOH图 32MOH98，最小 98.的取值 X 围 98120.满技 在拓变化的图形中求最值(比最(小)距离的最大小度数段的最大(小长度等，关键是确定相关图形的特殊位置；确定几何图形中角度的取值 围要考查它的最大角度和最小角度两种极端情况外何直观与生活经验的积累与训练也是不容忽视的，本题中很多结论如果用纯粹的数学原理严格论证起来，

18、是很困难的，比如“思考”中，为什么 OPAB 时点 P 到 CD 的离最小？“探究一”中，怎样说明半圆形纸片不能再转动时， 与 CD 相于点 P？探究二(1)中，为什么 MPAB 时点 P 到 CD 的离最小？为什么当与 CD 相于点 P 时旋转角BMO 的数最大(2)，为什么当弦MP6 时取最小值；为什么半径 CD 于 ，取最大值？对于这些问题，在13 / word考场上是没有时间、也没有必要深究的，其结论的得出主要依靠几何直观与生活经验 满变必1.如 1，水平放置一个三角板一个量角器，三角板的AB 和量器的直径 DE 在条直线上，ACB90，BAC30，OD3cm，始的时候 1cm，现在三

19、角板以 2cm/s 的速度向右移动(1)当点 B 与 O 重时，求三角板运动的时间；(2)三角板继续向右运动，当 B 点 点重合时AC 半圆相切于点 F，连接 EF，如图 2 所 示求证： 平分AEC；求 EF 的解：(1)当点 B 与 O 重时BOODBD4(cm) 三角板运动的时间为 2s.(2)证明：如图，连接点 O 与点 F，则 OFAC.ACE90，ECAC.CE.OFECEF.OF，OFEOEF.CEF即 EF 平分AEC. 由知，AC.AFO 是角三角形BAC30，OFOD3cm，14 / word2.如所示，点 A 为半 O 直 在直线上一点，射线 AB 垂直于 ，足为 A，半

20、圆绕 M 点时针转动，转过的角度记作；设半圆O 的径为 R 的长度为 m，回答下列问 题：探究：(1)若 R，m，如图 ，当旋转 30，圆心 到射线 AB 的离是.如图 2，当时半圆 O 与线 AB 相切(2)如图 3，(的件下，为了使得半圆 O 动 30能与射线 AB 相切在保持线段 AM 长度不变的条件下，调整半径 R 的大小，请你求出满足要求的 R，并说明理由；发现：(3)如 4，在 090，为了对任意旋转角都保证半圆 O 与射 AB 能相切，小明探究了 cos R，m 个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系cos ； (用含有 R，m 的代数式表示)拓展(4)如 5，若 Rm，当圆弧线

21、与射线 AB 有两个交点时，的取值 X 围是并求出 在这个变化过程中阴影部(弓)面积的最大值用 m 示解(1)如图 1，作 OEAB 于 ，MFO 于点 ，则四边形 AMFE 是形EFAM1. 在 eq oac(,Rt)MFO，MOF30，MO2，如图 2，设切点为 F，连接 OF作 EOA 点 E 则四边形 OEAF 是矩AEF2.AM，EM1.(2)如图 3，设切点为 ，接 OP作 ，则四边形 APQM 是形15 / word在 eq oac(,Rt)OMQ 中，OM，MOQ30(3)如图 4，设切点为 ，接 OP作 MQ，则四边形 APQM 是形 在 eq oac(,Rt)OQM 中，O

22、QRcos，QPOPR，RcosR.(4)如图 5，半圆与射线 AB 相时，此时，之后开始出现两个交点；当 N落在AB 上，为半圆与 AB 有两个交的最后时刻，此时，2AM，60.半圆弧线与射线 AB 有两个交点时，的取值 围是 90 故答案为：90120.当 N落在 上时阴影部分面积最大，3.如 1 至 5，O 均作无滑滚动，O 、O 、O 、O 均示O 与线段 AB 或 BC 相切于端点时刻的位置， 的长为 C.阅读理解：(1)如图 1， 从O 的置出发，沿 AB 动到O 的置，当 c 时， 恰自转 1 周；(2)如图 2，ABC 相的补角是 nO 在 外部沿 BC 滚动，在点 B 处必须由O 的置旋转到 的位，O 点 旋转角O BO n，O 在点 B 处 16 / word实应：(1)在阅读理解的(1)中，若 AB2c，则O 自转；若 l，则 自转在阅读理解的2)中，若120，O 在 B 处自转周；若ABC60，则O 在点 B 处转 周；(2)如图 3，ABC90， O 的位出发，在ABC 外部沿 AB 滚动到 的位，O 自转周拓联：(1)如图 4，ABC 的长为 l，O 与 AB 相切点 的置出发， ABC 外，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切点 D 位置，O 自转了多少周？请说明理由；(2)如图 5，多边形的周长为 l， 从与某边相切于点