曲面方程与曲线方程市公开课获奖课件

1、第五节 曲面及其方程一、曲面方程概念二、旋转曲面三、柱面与二次曲面四、小结第1页第1页水桶表面、台灯罩子面等曲面在空间解析几何中被当作是点几何轨迹曲面方程定义：曲面实例：一、曲面方程概念第2页第2页1、平面第3页第3页例2. 研究方程解: 配方得此方程表示:阐明:下列形式三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它图形.其图形也许是曲面. 表示如何半径为球面.球心为 一个球面, 或点, 或虚轨迹.2.球面第4页第4页引例. 分析方程表示如何曲面 .坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴一切直线所形成曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意 z ,平行 z 轴直线

2、 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点坐标都满足此方程,3、柱面与旋转曲面 第5页第5页定义.平行定直线并沿定曲线 C 移动直线 l 形成轨迹叫做柱面.C 叫做准线, l 叫做母线.（1）柱面1、母线l一定是直线.且母线l与准线C垂直2、特殊柱面：1）平面：母线与准线皆是直线z 轴平面.例3表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)第6页第6页2）母线l平行于坐标轴柱面方程平行于 z 轴;柱面,准线 xoy 面上曲线 l1.母线例4 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上抛物线. z 轴椭圆柱面.例5表示母线平行于第7页第7页柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;准线

3、xoz 面上曲线 l3.母线准线 yoz 面上曲线 l2. 母线类似地，第8页第8页斜率为1直线平面解析几何中空间解析几何中方 程y 轴yoz 面平行于 z 轴平面思考：指出下列方程图形:圆心在(0,0)半径为 10 圆以 z 轴为中心轴圆柱面第9页第9页定义2. 一条平面曲线（2）旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .比如 :第10页第10页我们这里只讨论坐标面上曲线绕坐标轴旋转旋转曲面方程:例6 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到第11页第11

4、页例7. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 方程为绕z 轴旋转时,圆锥面方程为两边平方第12页第12页思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？第13页第13页例8. 求坐标面 xoz 上双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为第14页第14页4、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们原则方程,下面仅 就几种常见原则型特点进行简介 .研究二次曲面特性基本办法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面图形通常为二

5、次曲面. (二次项系数不全为 0 )第15页第15页第16页第16页1） 椭球面(1)范围：(2)与坐标面交线：椭圆第17页第17页与交线为椭圆：(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)第18页第18页2） 抛物面(1) 椭圆抛物面(2) 双曲抛物面（马鞍面）第19页第19页3） 双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上截痕情况:双曲线: 第20页第20页虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线: 双曲线: 第21页第21页(2) 双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲

6、面与双叶双曲面区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面图形第22页第22页4） 椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上截痕为过原点两直线 .能够证实, 椭圆上任一点与原点连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向伸缩变换第23页第23页第四节 空间曲线及其方程一、空间曲线普通方程二、空间曲线参数方程三、空间曲线在坐标面上投影四、小结 练习题第24页第24页空间曲线普通方程 曲线上点都满足方程，满足方程点都在曲线上，不在曲线上点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面交线.特点：一、空间曲线普通方程第25页第25页例1 方程组 表示如何曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.

7、第26页第26页例2 方程组 表示如何曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.第27页第27页空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程第28页第28页 动点从A点出发，通过t时间，运动到M点 螺旋线参数方程取时间t为参数，解第29页第29页螺旋线参数方程还能够写为螺旋线主要性质：上升高度与转过角度成正比即上升高度螺距第30页第30页如图:投影曲线研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面第31页第31页消去变量z后得：曲线关于 投影柱面设空间曲线普通方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影坐标面.投影柱面特性：三、空间曲线在坐标面上投影第32页第32页类似地：可定义空间曲线在其它坐标面上投影面上投影曲线,面上投影曲线,空间曲线在 面上投影曲线第33页第33页例4 求曲线 在坐标面上投影.解（1）消去变量z后得在 面上投影为第34页第34页因此在 面上投影为线段.（3）同理在 面上投影也为线段.（2）由于曲线在平面 上，第35页第35页截线方程为解如图,