换元积分法课件

1、关于换元积分法第一张，PPT共五十页，创作于2022年6月 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的. 现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法. 它是在积分运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分是比较容易积出的.第二张，PPT共五十页，创作于2022年6月引例(因为 d(3x) = 3dx).一、第一换元法(或称凑微分法）令 u = 3x，则上式变为第三张，PPT共五十页，创作于2022年6月那么，也就是说上述结果正确.一般地，能否把公式定理 1 回答这个问题.第四张，PPT

2、共五十页，创作于2022年6月第一换元法且 u = j (x) 为可微函数，证已知 F (u) = f (u)， u = j (x)，则所以则第五张，PPT共五十页，创作于2022年6月第一换元法可以分为以下三个步骤：（1）凑微分：将被积表达式凑成 的形式，（2）代换：令（3）还原：用于是：求不定积分还原， 即第六张，PPT共五十页，创作于2022年6月用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法 式就是把已知的积分中的 x 所以说把基本积分表中的积分变量换成可微函数 j (x) 后仍成立 .其中 u = j (x) 可微.换成了可微函数 j (x) .第七张，PPT共五十页，创作于202

3、2年6月例 1求解对照基本积分表，如果把 dx 写成了 d(3x + 2)，那么就可用定理 1 及为此将 dx 写成代入式中，那么令 3x + 2 = u 则a, b 均为常数，且 a 0.第八张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 2求解上式与基本积分表中相似，为此将 dx 写成那么令 4x + 5 = u，第九张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 3求解上式与基本积分表中为此将 dx = d(x + 1) 代入式中，那么第十张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 4求(a 0 常数).解上式与基本积分表第十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 5求(a 0 常数).解

4、第十二张，PPT共五十页，创作于2022年6月等等.第十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 6求解将被积分式中的 xdx 因子凑微分，则经求导验算，结果正确 .即即第十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 7求解凑微分，即则第十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 8求解解例 9求第十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 10求解第十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月3.利用三角函数的恒等式.例 12 求解第十八张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 13求解第十九张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 14求解第二十张，PPT共五十页，创作于

5、2022年6月例 15求解第二十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 16求解4.利用代数恒等式第二十二张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 17求(a 0 常数).解第二十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 18求解第二十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 19求解第二十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 20求解第二十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 21求解第二十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 22求解第二十八张，PPT共五十页，创作于2022年6月二、第二换元法引例为了将被积函数中的根式去掉，应将其作为一个整体，因此

6、令因此，将其代入原积分式中，第二十九张，PPT共五十页，创作于2022年6月第三十张，PPT共五十页，创作于2022年6月1.简单根式代换例 22求解为了去掉被积函数中的根号，则 dx = 2tdt ，于是有第三十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月回代变量，得第三十二张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 23求解被积函数含根式为了去掉根号，于是有则 dx = 4t3 dt，第三十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月回代变量，得第三十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 24求解为了去掉被积函数中的根号，于是有第三十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月第三十六张

7、，PPT共五十页，创作于2022年6月2.三角代换例 25求于是有解则 dx = acost dt，第三十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月 把变量 t 换为 x . 为简便起见， 画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.于是有xat第三十八张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 26求解则 dx = asec2 tdt ，于是有第三十九张，PPT共五十页，创作于2022年6月作辅助三角形，得axt其中 C = C1 - lna .第四十张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 27求解令 x = a sec t，则 dx = a sec t tan t dt，于是有第四十一张

8、，PPT共五十页，创作于2022年6月作辅助三角形，axt得其中 C = C1 lna .第四十二张，PPT共五十页，创作于2022年6月作三角代换 x = a sin t 或 x = a cos t；作三角代换 x = a tan t 或 x = a cot t；作三角代换 x = a sec t 或 x = a csc t.第四十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月例 28求解法一三角代换法.令 x = tan t，于是得则 dx = sec2 tdt，第四十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月根据 tan t = x，作辅助三角形，得1xt= ln |csc t cot t | + C第四十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月解法二凑微分法.于是有第四十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月解