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文档简介

1、多元函数的偏导数第1页第1页 对一元函数：导数描述了函数在处瞬时改变率，它几何意义就是函数曲线上点处切线斜率。 对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处瞬时改变率问题，以二元函数 为例，我们分别讨论：相对于以及相对于瞬时改变率偏导数 偏导数定义第2页第2页时改变率。沿 轴方向改变率，即当沿 轴方向改变率，即当时改变率。考察处在斜率斜率第3页第3页 偏导数定义设函数在点某一邻域内有定义，若存在，则称此极限为或若存在，则称此极限为函数在点处对 偏导数，记作函数在点处对 偏导数，记作或第4页第4页假如函数在区域 D 内每一点处对 和对 偏导数都存在，那么我们就说函数在 D 内可导，它在 D 内偏导数仍是

2、和二元函数，称为偏导函数，简称偏导数，记为或求偏导办法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可。 偏导数定义第5页第5页例1 求下列多元函数偏导数解 解 第6页第6页例1 求下列多元函数偏导数解 第7页第7页例1 求下列多元函数偏导数解 第8页第8页例2 讨论 在点处连续性和可导性。解 令则 极限与相关，故极限不存在，即函数在点处不连续。但即函数在点处可导。由此知，偏导存在未必连续。第9页第9页但：连续偏导数存在。连续偏导数存在。连续，可导对比一元函数，我们有：可导连续，不 同 ！ 第10页第10页例3 求曲线 在点处切线与 轴正方向所成倾角是多少？解所求倾角 偏导数几何意义（演示） 第1

3、1页第11页 高阶偏导数 由于二元函数偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏导数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶等高阶偏导数。例4 求下列二元函数所有二阶偏导数解 第12页第12页例4 求下列二元函数所有二阶偏导数若二元函数两个混合偏导在区域 D 上连续，则它们必相等。解 第13页第13页 全微分相关概念如同一元函数，为处理函数增量近似计算问题，引入全微分。设二元函数为 全增量：称 为函数在点 处全增量。 关于x偏增量：称 为函数在点 处关于x偏增量。 关于y偏增量：称 为函数在点 处关于y偏增量。 第14页第14页 全微分则称函数在 处可微，并称为函数在 处全微分，记为：显然有：又能够表示成 若二元函数 在点 处全增量只要特取 即能够推出第15页第15页 全微分、偏导数、连续性之间关系 连续可微偏导存在全微分存在第16页第16页例1（1）求：解第17页第17页例2 求函数 全微分 解 由于

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