高中数学常用公式及定理

1、- .高中数学常用公式及定理1熟识这些解题小结论,启发解题思路、探求解题佳径,防止解题易误点的产生,对提升数学成果将会起到很大的作用；2全部定义、概念、公式、解题方法都须熟记,且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记；1.元素与集合的关系：xAxC A, UxC A UxA. 2.德摩根公式：C UAB C AC B C UAB C AC B . 3.包含关系ABAABBABC BC AAC BC ABR4.容斥原理card ABcardAcardBcard ABn 1 个；非空card ABCcardAcardBcardCcard AB5集合a a 2,card ABcard BCcard CAca

2、rdABC . ,a n的子集个数共有 2n 个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2的真子集有 2n 2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式1一般式 f x ax 2bx c a 0；2顶点式 f x a x h 2k a 0；3两根式 f x a x x 1 x x 2 a 0 . 7.解连不等式 N f x M 常有以下转化形式：N f x M f M f N 0；8.方程 f x 0 在 k 1k 2 上有且只有一个实根 ,与 f k 1 f k 2 0 不等价 ,前者是后者的一个必要而不是充分条件 .特殊地 , 方程 ax 2bx c 0 a 0 有且只有一个实根在 k 1k

3、2 ,等价于“f k 1 f k 2 0或“f k 1 0 且 k 1 b k 1 k 2或“f k 2 0 且 k 1 k 2 b k 22 a 2 2 2 a- .word.zl.- .9.闭区间上的二次函数的最值二次函数fx 2 axbxc a0在闭区间p,q上的最值只能在xb处及区间的两2a端点处取得,详细如下：1当 a0 时,假设xb. p ,q,那么f x minfb,f maxmaxfp,f q ；. ,2 a2 a假设xbp,q,f x maxmaxf p ,f q ,f x minminf p,f q 2a2当 a0 1fxfxa,那么fx的周期Ta；1 0,那么f x 的周

4、2 f xaf x 或fxaf1fx 0或f xa x f x 期T2a；x 2| 2 a ,3f xa11,f x 1,那么fx的周期T3 a；f x 4fx 1x 2fx 1x 1fx2且f a 1 f x 1f x 21,0|x 11ffx 2那么fx的周期T4a；5f xa f f xa ,那么f x的周期T6 a. 30.分数指数幂- .word.zl.1amnm aa0,m nN ,且n1- am1a.0,m nN ,且n1. n；2nman31根式的性质1 n ana .2当 n为奇数时,nn aa ；当 n为偶数时,nan|a|a a00. a a32有理指数幂的运算性质1ar

5、asr asa0, , r sQ ；2r as arsa0, , r s Q ；3 ab rr ra b a0, b0,rQ 33.指数式与对数式的互化式logaNbabN a0,a1,N0.34.对数的换底公式logaNlogmNa0,且a1,ma0,且m1,N0. 1,n1,N0. logma推论logambnnlogaba0,且1,m n0,且mm35对数的四那么运算法那么假设 a0,a 1,M0,N0,那么1log MNlogaMlogaN ;2 logaMlogaMlogaN;3logaMnnlogaM nR . N36.设函数fxlogmax2bxca0,记b24ac.假设fx的定

6、义域为 R ,那么a0,且a0,且a0 ；假设fx的值域为 R ,那么0 .【对于0的情形,需要单独检验 .】37.平均增长率的问题假如原先产值的根底数为N ,平均增长率为p ,那么对于时间x 的总产值y ,有yN1p x. S 1,S nn,12. 38.数列的通项公式a 与前 n 项的和S 的关系a nS n1n.word.zl.39.等差数列的通项公式：ana 1n1 ddna 1d nN*；- - a 11d n. .其前 n 项和S 公式为：S nn a 12a nna 1n n1dd n 222240.等比数列的通项公式：ana qn1a 1qnnN*；1. q其前 n 项的和公式

7、为：S na 11qn ,q1或S na 1a q q q1q1na q1na q141.等比差数列a n:a n1qa nd a 1b q0的通项公式为bn1 , d q1a nbqndb qn1d q1【用待定系数法来求】；q142常见三角不等式1假设x0,2,那么 sinx2xtanx；2 假设x0,2,那么 1sinx. cosx2. 3 | sinx| cosx| 1. sin2 cos1, tan=sin, tancot143.同角三角函数的根本关系式：cos44.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变,符号看象限；sinnn,n 为偶数,cosn 1n,n 为偶数 1 sin2cos2

8、n1sn 为奇数2 1n1n 为奇数 12co2sin45.和角与差角公式sinsincoscossin;coscoscossinsin; b.tantan. tan1tantanasinbcos=a2b2 sin帮助角所在象限由点 , a b 的象限打算 ,tana46.二倍角公式sin 22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan 22 tan2. 1tan47. 三倍角公式- .word.zl.sin 33sin4sin34sinsin33- 3；.sin3cos34cos33cos4coscoscos. ；3tan3 tantan3tantan3 tan3

9、13tan248.三角函数的周期公式函数ysinx及函数ycosx的周期T2；函数ytanx的周期 T. ABC 的外接圆半径 . 49.正弦定理：a sinbc2R R 为AsinBsinC50.余弦定理a22 bc22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC . 51.面积定理1S1ah a1bh b1 2ch h a、h b、h c分别表示 a、b、c 边上的高 . 2. 222S1absinC1bcsinA1casinB ；3SOAB1|OA| |OB|2 OA OB222252.三角形内角和定理在 ABC 中,有ABCCABC2A2B2C22AB . 25

10、3. 简洁的三角方程的通解sinxaxkkk 1 arcsin a k,|Z,|a| 1. co xax2arccos a kZa| 1. tanxaxkarctan a kZ aR . 特殊地 ,有sinssink2 kk 1kkZ . cocoskZ . tantankZ . 54.实数与向量的积的运算律：设 、 为实数,那么- .word.zl.- .1 结合律： a= a; 2第一安排律： +a=a+a；3其次安排律： a+b=a+b. 55.向量的数量积的运算律： 三个向量的数量积不满意结合律1 ab= ba 交换律 ; a b= a b；3a+b c= a c +b c.2ab=

11、a b=56.平面对量根本定理 假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只 有一对实数 1、2,使得 a=1e1+2e2不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组 基底 57向量平行的坐标表示设 a=x 1,y ,b=x 2,y 2,那么 a bx y 2x y 10.53. a 与 b 的数量积 或内积 a b=| a| b|cos 58. a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 | a| 与 b 在 a 的方向上的投影 | b|cos 的乘积59.平面对量的坐标运算1设 a=x 1,y 1,b=x 2,y 2,那么

12、a+b=x 1x 2,y 1y 2. y 1. 2设 a=x 1,y 1,b=x 2,y 2,那么 a-b=x 1x 2,y 1y 2. 3设 Ax y 1,Bx 2,y 2,那么ABOBOAx 2x 1,y 24设 a= , ,R ,那么a= x,y . y y 2. 5设 a=x y 1,b=x 2,y 2,那么 a b=x x 260.两向量的夹角 公式cos2 x 1x x 1 2y y 122 y 2a=x y 1,b=x 2,y 2. 2 y 12 x 261.平面两点间的距离公式- .word.zl.dA B= |AB|AB ABx2x 12y2- y 12Ax y 1 1.,B

13、x 2,y 2. 62.向量的平行与垂直设 a=x 1,y ,b= 1x 2,y 2,那么；aba b=0 x x 2y y20. a bb=a x y 2x y 1063.线段的定比分公式设P x y ,1 1 1P x 2 2,y 2,P x y 是线段PP 的分点 , 1 2是实数,且PPPP ,那么xx 1x2OPOP 1OP 2OPtOP 11t OP 2t11. 1y1y 1y2164.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为Ax ,y 、Bx ,y 、Cx ,y ,那么 ABC 的重心的坐标是Gx 1x 2x 3,y 1y 2y3. 3365.点的平移公式xxhxx h

14、OPOP PP. F 上的对应点为 P x y,且 PP 的坐标为yykyyk注:图形 F 上的任意一点 Px,y在平移后图形 , h k . 66.“ 按向量平移的几个结论1点 P x y 按向量 a= , h k 平移后得到点 P x h y k . 2 函数 y f x 的图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象 C ,那么 C 的函数解析式为y f x h k . 3 图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象 C ,假设 C 的解析式 y f x ,那么 C 的函数解析式为 y f x h k . 4 曲 线 C : f x y 0 按 向 量 a= , h k 平

15、 移 后 得 到 图 象 C , 那 么 C 的 方 程 为f x h y k 0 . - .word.zl.- .5 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为 m= , x y . 67. 三角形四“ 心向量形式的充要条件,设 O 为 ABC 所在平面上一点,那么2 2 21 O 为 ABC 的外心 OA OB OC . 2 O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0 . 3 O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . 4 O 为 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0 . , , a b c 为角 A B C 所对边长 68.常用不

16、等式：1a bRa2b22 ab 当且仅当 ab 时取“=号 2bxc 同号,2 ,a bRa2bab当且仅当 ab 时取“=号33 a3 bc33 abc a0,b0,c0.4柯西不等式2 a2 bc2d2 acbd2 , , , , a b c dR .5ababab. 69.x,y都是正数,那么有1假设积 xy 是定值 p ,那么当xy时和xy有最小值2p；2假设和xy是定值 s,那么当xy时积 xy 有最大值1 s . 470.一元二次不等式2 axbxc0 或0 a0,2 b4 ac0,假如 a与ax那么其解集在两根之外；假如a与ax2bxc 异号,那么其解集在两根之间.简言之：同号

17、两根之外,异号两根之间. 0 x 1x 2. x 1xx 2xx 1xx 20 x 1x 2；xx 1,或xx 2xx 1xx 271.含有肯定值的不等式当 a0 时,有xax2a2axa ；xax2a2xa 或 xa . 72.无理不等式- .word.zl.1f x g x f x 0- f x g x .02或f x 0；f x g x 0；2g x 0g x 03f x g x f x g x . f x f x 0g x 0f x g x 273.指数不等式与对数不等式1当a1时,afxag x f x g x ；logaf x logag x f x 0g x 0；2当 0a1时,

18、af ag x f x g x ；logaf x logag x f x g x f x 0g x 074.斜率公式：ky2f x g x y 1P x y 1、P x 2,y 2. x2x 175.直线的五种方程1点斜式yy 1k xx 1直线 l 过点P x y ,且斜率为 k 2斜截式ykxb b 为直线 l 在 y 轴上的截距 . 3两点式yy 1xx 1y 1y 2P x 1 1,y 、1P x 2 2,y 2x 1x . 2y 2y 1x 2x 14 截距式xy1 a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0ab5一般式AxByC0其中 A、B 不同时为 0. 76.两条直线的平行和垂直

19、1假设l1:yk xb ,l2:yk xb 21. .word.zl. 1|l2k 1k2,b 1b；l 1l2k k 22假设l1:A xB yC 10, 2:A xB yC 20,且 A2、B2 、C2都不为零 , l 1|l2A 1B 1C 1；l 1l2A A 1 2B B 1 20；A 2B2C277.夹角公式：tan|k2k 1|. 1:yk xb ,l2:yk xb ,k k21 1k k 2 1- 78. 直线l 1l 时,直线 l1 与 l2的夹角是- b ,1l2:yk x 2.k k 121 2. 1l 到2l 的角公式：tank2k1. 1:yk x 1b , 21k

20、k 1直线l 1l 时,直线 l1 到 l2的角是2. 79四种常用直线系方程1定点直线系方程：经过定点P x 0 0,y 0的直线系方程为yy 0k xx 0除直线xx ,其中 0k 是待定的系数；经过定点P x 0 0,y 0的直线系方程为A xx 0B yy 00,其中A B 是待定的系数2共点直线系方程：经过两直线 l 1 : A x B y C 1 0 , 2 : A x B y C 2 0 的交点的直线系方程为 A x B y C 1 A x B y C 2 0 除 2l ,其中 是待定的系数3平行直线系方程： 直线 y kx b 中当斜率 k 肯定而 b 变动时,表示平行直线系方

21、程 与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By 0 C , 是参变量4垂 直 直 线 系 方 程 ： 与 直 线 Ax By C 0 A 0 , B 0垂 直 的 直 线 系 方 程 是Bx Ay 0 , 是参变量80.点到直线的距离：d | Ax 02 By 02 C | 点 P x 0 , y 0 ,直线 l ：Ax By C 0 . A B81. Ax By C 0 或 0 所表示的平面区域设直线 l : Ax By C 0,那么 Ax By C 0 或 0所表示的平面区域是：假设 B 0,当 B 与 Ax By C 同号时,表示直线 l 的上方的区域；当 B 与 Ax

22、By C 异号时,表示直线 l 的下方的区域 .简言之 ,同号在上 ,异号在下. 假设B0,当 A 与 AxByC 同号时,表示直线 l 的右方的区域；当 A 与 AxByC 异号时,表示直线l 的左方的区域 . 简言之 ,同号在右 ,异号在左.- .word.zl.- .82. 圆的四种方程1圆的标准方程xxa 2yb 22 r . 2yE24F 0. A x y 1 1、2圆的一般方程2 xy2DxEyF0D3圆的参数方程xarcos. ybrsinyy 1y20【圆的直径的端点是4圆的直径式方程x 1xx 2B x 2,y 2】. 83. 圆系方程2 21 过 直 线l: Ax By C

23、 0 与 圆C: x y Dx Ey F 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是2 2x y Dx Ey F Ax By C 0 , 是待定的系数2过圆 C : x 2y 2D x E y F 1 0 与圆 C : x 2y 2D x E y F 2 0 的交点的圆系方程是 x 2y 2D x E y F 1 x 2y 2D x E y F 2 0 , 是待定的系数84.点与圆的位置关系,点 P x 0 , y 0 与圆 x a 2 y b 2r 2 的位置关系有三种：2 2假设 d a x 0 b y 0 ,那么d r 点 P 在圆外； d r 点 P 在圆上； d r 点 P 在圆内 .

24、85.直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆xa2yb 22r2的位置关系有三种 : O 1O 2ddr相离0；dr相切0；dr相交0. 其中dAa2BbC. AB2O1,O2,半径分别为 r1,r2,86.两圆位置关系的判定方法,设两圆圆心分别为dr 1r2外离4 条公切线；dr 1r外切3 条公切线; r 1r2dr 1r2相交2 条公切线；dr 1r2内切1 条公切线；0dr 1r 2内含无公切线. .word.zl.- - .87.圆的切线方程1圆x22 yDxEyF0表示过两个切点的切点弦方假设切点x 0,y 0在圆上,那么切线只有一条,其方程是x xy yD x 0 x E y 0

25、y F0. 22当x 0,y 0圆外时 , x xy yD x 0 xE y 0yF022程过圆外一点的切线方程可设为 y y 0 k x x 0 ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线2 2 22圆 x y r 过圆上的 P x 0 , y 0 点的切线方程为 x x 0 y y 0 r ；2斜率为 k 的圆的切线方程为 y kx r 1 k . 288.椭圆 x 22 y2 21 a b 0 的参数方程是 x a cos. a b y b sin2 289.椭圆 x2 y2

26、1 a b 0 焦半径公式：PF 1 a ex ,PF 2 a ex . a b90椭圆的的内外部1点P x 0,y 0在椭圆x2y21 ab0的内部2 x 0y21. 0a2b2a2b22点P x 0,y 0在椭圆x2y21 ab0的外部2 x 0y21. 0a2b2a2b291. 椭圆的切线方程1椭圆x2xy21 ab0上一点P x 0,y 0处的切线方程是x xy y1. x xy y1. 22a2b2aby21 ab0外一点P x 0,y 0所引两条切线的切点弦方程是22过椭圆a2b2a2b2- .word.zl.3椭圆x2yy21 a0,b0- C0.22 2B b. 2 c .相切

27、的条件是2 A a22与直线AxByab92.双曲线x a221 ab0的焦半径公式：PF 1|aex 0|,PF 2|aex 0|2b293.双曲线的方程与渐近线方程的关系1假设双曲线方程为x2by21渐近线方程：x2y20ybx. a2b2a2b2a2假设渐近线方程为x2y2. xxy0双曲线可设为yaba2b2a3假设双曲线与x2y21有公共渐近线,可设为x2y20,焦点在 x 轴上；a2b2a2b20,焦点在 y 轴上 . 94. 双曲线的切线方程2 21双曲线 x2 y2 1 a 0, b 0 上一点 P x 0 , y 0 处的切线方程是 x x2 y y2 1 . a b a b

28、2 2 2 过 双 曲 线 x2 y2 1 a 0, b 0 外 一 点 P x 0 , y 0 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是a bx x2 y y2 1a b2 23双曲线 x2 y2 1 a 0, b 0 与直线 Ax By C 0 相切的条件是 A a 2 2B b 2 2c . 2a b95. 抛物线 y 2 2 px 的焦半径公式抛物线 y 22 px p 0 焦半径 CF x 0 p. 2过焦点弦长 CD x 1 px 2 p x 1 x 2 p . 2 2296.抛物线 y 22 px 上的动点可设为 P y, y 或 P 2 pt 2, 2 pt 或 P

29、x y ,其中 y 22 px . 2 p297.二次函数 y ax 2bx c a x b 2 4 ac b a 0 的图象是抛物线： 1顶点坐标为2 a 4 a2 2 2 b, 4 ac b；2焦点的坐标为 b, 4 ac b 1；3准线方程是 y 4 ac b 1 . 2 a 4 a 2 a 4 a 4 a- .word.zl.- .98.抛物线的内外部1点P x 0,y 0在抛物线y22px p0的内部y22px p0. 点P x 0,y 0在抛物线y22px p0的外部y22px p0. 2点P x 0,y 0在抛物线y22px p0的内部y22px p0. 点P x 0,y 0在抛

30、物线y22px p0的外部y22px p0. 3点P x 0,y 0在抛物线x 22py p0的内部x 22py p0. 点P x 0,y 0在抛物线2 x2py p0的外部2 x2py p0. 4点P x 0,y 0在抛物线2 x2py p0的内部2 x2py p0. 点P x 0,y 0在抛物线x22py p0的外部2 x2py p0. 96. 抛物线的切线方程1抛物线y2y22px上一点P x 0,y 0处的切线方程是y yp xx 0. y yp xx . 2过抛物线2px外一点P x 0,y 0所引两条切线的切点弦方程是3抛物线y22px p0与直线AxByC0相切的条件是pB22A

31、C . 97.两个常见的曲线系方程1过曲线 f x y 1 , 0 , f 2 , 0 的交点的曲线系方程是 f x y , f 2 , 0 为参数 2 22共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程 2 x2 y1 ,其中 k max a 2, b 2；a k b k当 k min a b 2 2 时 ,表示椭圆；当 min a 2, b 2 k max a 2, b 2 时,表示双曲线 . 2 298.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB x 1 x 2 y 1 y 2 或AB 1 k2 x 2 x 1 2| x 1 x 2 | 1 tan2| y 1 y 2 | 1 co t2弦端点 A x 1

32、, y 1 , B x 2 , y 2 ,【为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率】 . 99.圆锥曲线的两类对称问题1曲线F x y0关于点P x 0,y 0成中心对称的曲线是F2x 0 x ,2y 0y 0. 2曲线F x y0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是.word.zl.- F x2 A AxByC,y2 B AxBy- 0. .C2 AB2A2B2100.“ 四线一方程对于一般的二次曲线2 AxBxyCy2DxEyF0,用x x 代2 x ,用y y 代2 y ,用x y2xy 代 xy ,用x 02x 代 x,用y 0y 代 y 即得方程2Ax xBx y2xy 0Cy

33、yDx 02xEy 02yF0,曲线的切线,切点弦,中点弦, 弦中点方程均可由此方程得到. 101证明直线与直线的平行的摸索途径1转化为判定共面两直线无交点； 2转化为两条直线同时与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5转化为面面平行 . 102证明直线与平面的平行的摸索途径1转化为直线与平面无公共点； 2转化为线线平行； 3转化为面面平行 . 103证明平面与平面平行的摸索途径1转化为判定两平面无公共点； 2转化为线面平行； 3转化为线面垂直 . 104证明直线与直线的垂直的摸索途径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3转化为该线与另一线的射影垂直；4转化为该线与形成射影的斜

34、线垂直 . 105证明直线与平面垂直的摸索途径直；1转化为该直线与平面内任始终线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂3转化为该直线与平面的一条垂线平行； 4转化为该直线垂直于另一个平行平面；5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 106证明平面与平面的垂直的摸索途径1转化为判定二面角是直二面角； 2转化为线面垂直 . - .word.zl.- .107.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律1加法交换律： ab=ba2加法结合律： abc=abc3数乘安排律： ab=ab108.平面对量加法的平行四边形法那么向空间的推广始点一样且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行

35、六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量 . 109.共线向量定理对空间任意两个向量 a、bb 0 ,a b 存在实数 使a=bP、 、B 三点共线 AP | AB AP t AB OP 1 t OA tOB. AB | CD AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 AB tCD 且 AB、CD 不共线 . 110.共面对量定理向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,x y ,使 p xa yb 推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 x y ,使 MP xMA yMB ,或对空间任肯定点 O,有序实数对 x y ,使 OP OM xMA yMB

36、 . 111.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满意 OP xOA yOB zOC x y z k ,那么当 k 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面； 当 k 1 时,假设 O 平面 ABC,那么 P、A、B、C 四点共面；假设 O 面平面 ABC,那么 P、A、B、C 四点不共A、 、 、D 四点共面AD 与 AB 、 AC 共面ADxAByACOD1xy OAxOByOC O平面 ABC. 112.空间向量根本定理假如三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯独的有序实数组x,y,z,使 pxaybzc- .word.zl.- .P

37、,都存在唯独的三个有序推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点,那么对空间任一点实数 x,y,z,使 OPxOAyOBzOC . 113.射影公式向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量 .作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B 点在 l 上的射影 B ,那么 A B | AB | cosa,e=a e 114.向量的直角坐标运算设 a a a 2,a 3,bb b b 3那么a 1b a 1 2b a 2 3b 3；z . 11aba 1b a 1 2b a 2 3b 3；2ab3aa 1,a 2,a 3 R；4aba b 1 1a b 2a b ；y 2y z

38、 1 2115.设 Ax y z ,B 1 1 1x 2,y 2,z 2,那么 ABOBOA = x 2x 1,116空间的线线平行或垂直设ax y z ,bx 2,y 2,z 2,那么ba b0 x x 2y y 2z z 20. a bab b0 x 1x 2y 2； ay 1z 1z 2117.夹角公式设 a a a 2,a 3,bb b b 3,那么 cosa,b=2 a 1a b 1 1a b22 b 1a b 32 b 3. a2 2a2 32 b 2推论a b 1 1a b 2a b 322 a 12 a 22 a 32 b 12 b 22 b 3,此即三维柯西不等式 . 118

39、异面直线所成角cos | cos a b | =| |a a b| | b | x 1 2 |y x x1 12 2z 1 2 y y 1 2x 2 2 z z 1 2y 2 |2z 2 2其中 0 90 为异面直线 a b , 所成角,a b 分别表示异面直线 a b , 的方向向量AB m119.直线 AB 与平面所成角 arc sin m为平面 的法向量 . | AB | m |- .word.zl.120.二面角l的平面角arccos|m n|或- arccos|m n., 的法向量 m ,n 为平面 |m nm n121.三余弦定理 设 AC 是 内的任一条直线,且 BCAC,垂足为

40、 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 1,AB 与 AC 所成的角为 2,AO 与 AC 所成的角为那么 cos cos 1 cos 2 . 122.空间两点间的距离公式dA B假设 Ax y z ,B 1 1 1x 2,y 2,z 2,那么2z 2z 12. = |AB|AB ABx 2x 12y 2y 1123.异面直线间的距离d|CD n| 1 l l 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、D分别是l l 上任一点, d 为 1 l l 间|n|的距离 . 124.点 B 到平面的距离的一条斜线, AE. F的大小 . d|AB n| n 为平面的法向量, AB 是经过面|n|125

41、.异面直线上两点距离公式：dh2m2n22mncos为二面角 AA两条异面直线 a、b 所成的角为 ,其公垂线段F, A Em , AFn ,EFd . AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、126.三个向量和的平方公式：abc 2a22 bc22 a b2 b c2 c a2 . 127. 长度为l的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为l1、 、 ,夹角分别为1、2、3,那么有l22 l 1l2l22 cos12 cos22 cos31sin21sin22sin2323128. 面积射影定理：SS. cos平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ,它们所在平面所成锐二

42、面角的为. 129.的半径是 R,那么其体积V4R ,其外表积S42 R 3- .word.zl.- .130.球的组合体1球与长方体的组合体 : 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 .2球与正方体的组合体 :正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 3 球与正四周体的组合体: 棱长为 a的正四周体的内切球的半径为6a,外接球的半径为126 4a131.体、锥体的体积V 柱体V 锥体Sh S 是柱体的底面积、h是柱体的高1Sh S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高3132.分类加法原理 加法原理 Nm 1m 2m . 133.分步计数原理 乘法

43、原理 Nm 1m 2m . n134.排列数公式m A =nn1nm1 =nn！.n, mNm ！*,且 mn 注:规定.01. 135.排列恒等式1m A nm nA n1；2n nA n.n A n1n A ；3m A n1m A nm mA n1；114 1.2 2.3 3.n nn1. 1. 136.组合数公式Cm=m A n=nn11 nm1 =m！n！m nN ！*, mN ,且 mn . nm A mn2m137.组合数的两个性质1m C =Cnm;2 m C +m C n1=Cm1；注 :规定C01. .word.zl.nnn- - .138.组合恒等式1CmnCm1； 2rn

44、0Cr=n 2 ； 3CrC1Cr12Cr3Cr nnCr1；1；nmn1nrrr2n141 C nC35 C nC0C2C42n1； 52C3 CnCn2nnnnnnnnn6C02C12C22Cn2Cn；nnnn2n139.排列数与组合数的关系：m A nm Cm. n140“ 错位问题及其推广贝努利装错笺问题 :信 n封信与 n个信封全部错位的组合数为f n n.111n 111 1个. 个. Cnbn; 2.3.4.n .141不定方程x 1+ x 2+ x nm的解的个数1方程x 1+ x 2+ x nm ,n mN 的正整数解有Cnm2 方程x x 2+ x nm , n mN 的非

45、负整数解有Cn11n m142.二项式定理ab nC0anC1an1bC2an2b2Cranrbrnnnnn二项绽开式的通项公式Tr1Cr nanrbrr0,n. 143.等可能性大事的概率P A m n. 144.互斥大事 A,B 分别发生的概率的和PAB=PAPB145.n个互斥大事分别发生的概率的和 PA1A2 An=PA1PA2 PAn146.独立大事 A,B 同时发生的概率 PA B= PAPB. 147.n个独立大事同时发生的概率 PA1A2 An=PA1PA2 PAnk k n k148.n次独立重复试验中某大事恰好发生 k 次的概率 P k C P 1 P .149.离散型随机

46、变量的分布列的两个性质： 1iP 0 i 1,2, ；2P 1 P 2 1 . 150.数学期望 E x P 1 x P 2 x P n151.数学期望的性质1E abaE b .2假设B n p ,那么 Enp . .word.zl.- 3 假设听从几何分布 ,且P2k- qk1.E1. g k pp ,那么p152.方差Dx 1E2p 1x 22pnEp2xnE153.标准差=D. 154.方差的性质1D ab2 a D；2假设B n p ,那么Dnp1p . . 0是参数,k g k p qk1p ,那么Dq3 假设听从几何分布 ,且P2 p155.方差与期望的关系DE2E2. x215

47、6.正态分布密度函数fx1e262,x,式中的实数 ,2 6分别表示个体的平均数与标准差；当N0 时得到标准正态分布密度函数：fxx1ex 2,x,. . 22 6157.对于 ,2,取值小于 x 的概率FxF x 2. x2x 1Px 1x0 x 2Pxx 2Pxx 1F x 1158.特殊数列的极限0|q| 1a qn1|q| 1的和】 . 1lim nqn1q1. 不存在|q| 1 或q12Slim na 11qn1a 1q【 S 无穷等比数列1q159. 函数的极限定理：x lim xf 0 alim x x 0f x lim x x 0f x a . 160.几个常用极限1lim n