高中数学公式定理总结归纳

1、精品训练 高中公式定理 必修 1 1.元素与集合的关系 x A x CU A; x CU A x A 2.德摩根公式 CU A B CU A CU A;CU A B CU A CU A A CU B 3.包含关系（ U为全集时） CU B CU A A B A A B B A B 4.容斥原就 card A B cardA cardB card A B card A B C cardA cardB cardC card A B card B C card C A card A B C 5.集合 a1, a2 ,., an 的子集个数共有 2 个；真子集有 2 n n1 个；非空子 集 2 n

2、1；非空真子集有 2 n 2 个； 6. 二次函数解析式的三种形式 （ 1）一般式 f x 2 ax bx ca 0; 0. a x h2 k a 0; （ 2）顶点式 f x （ 3）零点式 f x a x x1 x x2 a 7. 指数运算性质 （ 1） ar asar s a 0, r , s Q Q （ 2） ar s a rs a 0,r , s Q （ 3） ab rar br a 0,b 0, r 8.对数运算性质 - 可编辑 - 第 1 页,共 37 页精品训练 假如 a 0, 且 a 1, M 0, N 0, 那么 （ 1） log a M . N log a Mlog a

3、N0, 且1; c 0, 且1; N 0. M（ 2） loga N （ 3） log a M n loga M loga N n log a M n R （ 4）换底公式 log Nlog c N b log c b b c （ 5）常用推论 logc a . log a c 1log a b . log b c . log c a 1log am bnnlog bm9.函数零点的存在性定理 一般地,我们有： y f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条 曲线,并且有 f a . f b 0 ,那么,函数 y f x 在区间 a, b 内有零点, 即存在 c a,b, 使得 f c

4、0 ,这个 c 也就是方程 y f x 的根； 必修 2 1.圆柱,圆锥,圆台表面积 底面面积 圆柱 圆锥 圆台 s 底 r 2 s 底 r 2 s 上2 r1 底 s 下2 r2 底 侧面面积 ss2rl ssrl l ssl r1 r2 lr 2 表面积 侧r （ r l 侧r （ r 侧2（ r1 2 r2 lr1 2表表表- 可编辑 - 第 2 页,共 37 页精品训练 2.柱体,椎体,台体的体积 柱体： V 柱体 S h； V 圆柱 r2h V 圆12 hr1 2 r2 r1 r2 椎体： V 锥1S 底 h；V 圆12 r h 3体 3锥S 下） h； 圆台： S 上底 S 下V

5、台 体 1（ S 上 3 底 底 3底 台 3.平面的基本性质 （ 1）公理 a.假如一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面 内； b.过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面； c.假如两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条 过该点公共直线； d.平行于同始终线的两条直线相互平行； （ 2）三个推论 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面； 经过两条相交直线,有且只有一个平面； 经过两条平行直线,有且只有一个平面； 4.等角定理 空间中假如两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互 补； 5.异面直线判定定理 连接平面内一点与平面外一点的直线, 和

6、这个平面内不经过此点 - 可编辑 - 第 3 页,共 37 页精品训练 的直线是异面直线； 6.直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 就该直线与此平面平 行； 7.平面与平面平行判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 就这两个平面平 行； 8.面面平行判定的推论 假如一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条 相交直线,就这两个平面平行； 9.直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行, 就过这条直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行； 11.平面与平面平行性质定理 假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么他们的交线平 行； 12

7、.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 就该直线与此平 面垂直； 13.平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,就这两个直线垂直； 14.直线与平面垂直的性质定理 - 可编辑 - 第 4 页,共 37 页精品训练 垂直于同一个平面的两条直线平行； 15.面面垂直性质定理： 两个平面垂直,就平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直； 16.两直线平行与垂直的判定 平行： l1 / l 2 k1 k2 1垂直： l1 l2 k1k2 17.直线方程 点斜式： y 斜截式： y 截距式： x ay0 k x x0 kx by b1两点式： y y2 y1x

8、 x1 y1 x2 x1 一般式： Ax By C018.距离公式 d两点间距离公式： p p 2 x 2 x y 2 y Ax By C 2 0点到直线距离公式： dAx0 by0 CA 2 B 2 C1 0两平行直线间距离公式： Ax By C1 C2 A2 B2 19.圆的方程 2 x a 2 x b r220.点与圆的位置关系 圆上 2 x a 2 x b r2- 可编辑 - 第 5 页,共 37 页精品训练 圆内 x 2 a 2 x b r2圆外 x 2 a 2 x b r221.直线与圆位置关系 相交 dr相切 dr相离 dr必修 3 1.古典概型： （ 1）试验中全部可能显现的基

9、本件只有有限个； （ 2）每个基本事件显现的可能性事 （ 3）相等； 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概 型； 2.数据的数字特点： （ 1）众数：一组数据中,显现次数最多的数据叫作众数； （ 2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的次序依次排 列,当数据有奇数个时, 处在最中间的那个数是这组数据的中位 数；当数据有偶数个时,处在最中间的两个数的 平均数是这组数 据的中位数； （ 3）平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数, 记作： x 1x1 x2 xn ； n- 可编辑 - 第 6 页,共 37 页精品训练 （ 4）标准差： s 1x1 x

10、2x2 x 2xn 2 x ； n（ 5）方差： s s 2 211 nnxx 11 2 2xx xx 22 2 2xx xx nn 2 2xx ； 3.三种抽样方式： （ 1）简洁随机抽样的特点： 总体个数 N 是有限的； 每个个体被抽到的可能性相同,都是 n； N样本是从总体中逐个抽取的,即一个一个的抽取； 是一种不放回抽样,即不行能先后抽取到同一个个体； （ 2）系统抽样的特点： 适用于总体容量 N 较大的情形； 剔除余外个体,在第 1 段抽样用简洁随机抽样； 等可能抽样, 每个个体被抽到的可能性都是 n（ n 为样本容量）； N（ 3）分层抽样： 特点： a. 适用于总体由差异明显的几

11、部分组成的情形； b. 利用大事先把握的信息,更充分的反映了总体情形； c. 等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都相等； 步骤： a. 分层求抽样比：确定抽样比 k n； ni Ni k ； Nb. 求各层抽样数：按比例确定每层抽取个体的个数 c. 各层抽样：各层分别用简洁随机抽样或系统抽样抽取个体； d.组成样本：综合每层抽取的个体,组成样本； - 可编辑 - 第 7 页,共 37 页精品训练 4.几何概型： 在几何概型中,大事 A 的概率的运算公式如下： P A 构成大事 A 的区域长度（面积或积） ； 积） 试验的全部结果所构成 体 的区域长度（面积或体 5.概率的基本性质： （ 1）概

12、 率 P A 的 取 值 范 围 ： 任 何 事 件 的 概 率 在 0 1 之 间 , 即 0 P A 1 ； （ 2）概 率 的 加 法 公 式 ： 如 果 事 件 A 与 事 件 B 互 斥 , 就 P A B P A P B ； （ 3）对立大事的概率公式：如大事 P A P B 1 ； 6.回来方程： A 与大事 B 为对立大事,就 （ 1）回来直线：假如散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 邻近,就称这两个变量 之间具有线性相关关系,这条直线叫作回来 直线； （ 2）利用回来方程对总体进行估量：利用回来直线,我们可以进行 推测；如回来方程为 y bx a ,就在 x x0 处的

13、估量值为 y bx0 a ； 必修 4 1.三角恒等变换： （ 1） sin sin 2 sin 2cos 2； （ 2） sin sin 2 cos 2sin 2； （ 3） cos cos 2 cos 2cos 2； - 可编辑 - 第 8 页,共 37 页精品训练 （ 4） cos cos 2sin 2sin 2； （ 5） sin cos 1 2 1 2sin sin ； sin sin ； （ 6） cos sin （ 7） cos cos 1 2cos cos ； （ 8） sin sin 1 2cos cos ； （ 9） sin （ 10） cos （ 11） tan 2 ta

14、n 2； 2 1 tan22 1 tan 2 1 tan 2 ； 22 tan 2； 1 tan 222.和,差,倍,半角的三角函数： （ 1）和（差）角公式： sin sin cos cos sin ； cos cos cos sin sin ； tan tan tan ； 1 tan tan （ 2）倍角公式： sin 2 2 sin cos ； 2 2 cos 112 2sin ； cos 2 2 cos 2 sin tan 2 2 tan 1 tan 2； （ 3）半角公式： - 可编辑 - 第 9 页,共 37 页精品训练 tan 21 cos sin ； sin 1 cos sin

15、 2 tan 2； 2 1 tan 2； cos 1tan 222 1 tan 23.平面对量的数量积： （ 1）交换律： a . b b . a ； x 2 y2 ； （ 2）结合律： a . b a.b a . b； （ 3）支配率： a b .c a . c b.c ； （ 4） cos a.b , a . b 0 ； a . b （ 5） a . b a . b ； （ 6）如 a x, y ,就有 a22 x 2 y ,或 a4.同角三角函数的基本关系： （ 1）平方关系： sin 2cos21 ； 22 1 sin , sin cos tan , sin cos ； （ 2）商的关

16、系： tan （ 3）其他形式： sin 21 cos2, coscos sin ； tan 5.三角函数的诱导公式： （ 1）公式一：当 k Z 时, 2k cos ； tan 2k tan ； ； cos sin 2k sin （ 2）公式二： sin sin ； cos cos ； tan tan ； - 可编辑 - 第 10 页,共 37 页精品训练 （ 3）公式三： sin sin ； cos cos ； tan tan ； （ 4）公式四： sin sin ； cos cos ； tan tan ； （ 5）公式五： sin 2cos ； cos 2sin ； （ 6）公式六： s

17、in 2cos ； cos 2sin ； 6.平面对量的坐标运算： （ 1）加减法： ab x1 x2, y1 y2 ； （ 2）数乘向量： a x1, y1 x1, y1 ； （ 3）数量积： a . b a . b cos x1x2 y1 y2 ； 2（ 4）模： a a x 2y 2； （ 5）夹角： cos a . b a .b x1 2 x1x2 y1 2 y1 y2 x2 2y2 2； 7.函数 y Asin x 图像的基本变换： （ 1）先平移后伸缩： 函数 y sin x 的图像 向左（右）平移 个单位 函数 y sin x 的图像 横坐标变为原先的 1 倍,纵坐标不变 函数

18、y sin x 的图像 纵坐标变为原先的 A 倍,横坐标不函数 y Asin x 的图像； 变 （ 2）先伸缩后平移： - 可编辑 - 第 11 页,共 37 页精品训练 横坐标变为原先的 1 倍,纵坐标不变 x 的图像 函数 y sin x 的图像 函数 y sin 向左（右）平移 个单位 函数 y sin x 的图像 纵坐标变为原先的 A 倍,横坐标不函数 y Asin x 的图像； 变 8.向量的有关概念： （ 1）向量的长度或模：向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度（或 称模）,记作 AB ； （ 2）零向量：长度为 0 的向量叫作零向量,记作 0 ； （ 3）单位向量：长度等

19、于 1 个单位的向量,叫作单位向量； （ 4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量； 向量 a 与 b 相等,记作 a b ； （ 5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量； 向量 a 与 b 平行,记作 a / b ； 我们规定： 零向量与任一向量平行, 即对于任意 向量 a ,都有 0 / a ； （ 6）共线向量：任一组平行向量都可以移动到同始终线上,因此, 平行向量也叫作共线向 量； 9.弧长公式,扇形的面积公式： la r , S 扇形 1 lr 21a r 2 ；其中 l 为弧长, 为圆的半径, a 为圆心 2角的弧度数； 必修 5 1.数列的通项公式与前 n

20、项和的关系 : an = s ,n 1 数列 an 的前 n 项和为 sn a1 a2 an . sn sn 1 ,n 2 - 可编辑 - 第 12 页,共 37 页精品训练 2.等差数列的通项公式： an a1 n 1 d ； 其前 n 项和公式为： s n na1 2 an na nn 1 d2 d n 2 2 a 1 1 d 2 n . 3.等比数列的通项公式 : an a1q n 1 a1 q . q n n N q 0; a 1 qn 1 ,q 1, a 1 a q n ,q 1, 其前 n 项和公式为： s 1 q 或 s 1 q na1,q 1 na1,q 1. 4.如 m, n

21、, p, q N , 且 m n p q, 那么,当数列 an 是等差数列时, 有 am an ap aq ; 当数列 an 是等比数列时,有 am an a p aq. 5.等差数列 an 中,如 sn 10,s3n 30, s3 n 60. 6.等比数列 an 中,如 sn 10, s2n 30, 就 s3 n 70; 7.正弦定理及正弦定理与外接圆半径的关系： a sin A b sin B c sin C 2R; 2Rsin C ; 1 2bcsin A 1 2acsin B, a2Rsin A,b 2 Rsin B, c sin A a 2R ,sin B b 2 R , sin C

22、 2 R ;a : b : c sin A : sin B : sin C; sABC 1 2absinC sin A abc 2R; sin B sin C 正弦定理与面积公式： 8.余弦定理： a2b22 c 2bc cos A, b 2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 2ac cos B, 2ab cosC. - 可编辑 - 第 13 页,共 37 页精品训练 cos A b22 c a2, 2bc cos B a2 c2 b 2 , 2ac cos C a2b22 c . 2ab 选修 1-1 1.四种命题的真假性之间的关系： （ 1）两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；

23、 （ 2）两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 2.如 p q ,就 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件 pq ； 如 p q ,就 p 是 q 的充要条件（充分必要条件） 3.规律联结词： 且 and ：命题形式 pq；或（ or）：命题形式非（ not）：命题形式 p. pqpqpqp真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4.椭圆的几何性质： 焦点的位 置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 - 可编辑 - 第 14 页,共 37 页精品训练 图形 标准方程 2 x 2 y 1 a b02 y 2 x 1 a b 0 a

24、2b2a2b2范畴 ax a 且 by bbx b 且 ay a顶点 1a,0 , 2a,0 10, a, 20, a 轴长 10, b, 20,b 1b,0 , 2b,0 短轴的长 2b 长轴的长 2a 焦点 F1 c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2 0,c 焦距 F1 F2 2 2c c a2b2对称性 关于 x 轴, y 轴,原点对称 离心率 ec 1b20e1aa25,双曲线的几何性质： 焦点的位 置 焦点在 轴上 x 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 2 x 2 y 1a0, b 02 y 2 x 1 a 0, b 0a22 ba2b2- 可编辑 - 第 15 页,共

25、 37 页精品训练 范畴 x a 或 x a , y Ry a 或 y a , x R顶点 1a,0 , 2a,0 10, a, 20, a 轴长 F1 虚轴的长 2b 实轴的长 2a 焦点 c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2 0,c 焦距 F1 F2 2 2c c a2b2对称性 关于 x 轴, y 轴对称,关于原点中心对称 离心率 ec 1b2e1aa2渐近线方 y bx y ax 程 ab5.抛物线的几何性质： 标准方 2 y 2 px 2 y p2 px 2 x p2 py 2 x p2 py 程 p0000图形 顶点 0,0 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F p, 0

26、 F x p 2, 0 F 0, pF 0, p222准线方 x ppy py p程 2222- 可编辑 - 第 16 页,共 37 页精品训练 离心率 e1范畴 x 0 x 0y 0y 06.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 , 两点的线段 ,称为抛物线的“通径” ,即 2 p 7.焦半径公式： 如点 如点 8.函数 f x x0 , y0 在抛物线 2 y 2 px p0上,焦点为 F ,就 F x0 p； 2x0 , y0 2 在抛物线 x 2 py p0 上,焦点为 ,就 F y0 p； 2从 x1 到 x2 的平均变化率： f x2 f x1 x2 x1 9.导数： f x

27、在点 x0 处的导数记作 y x x 0 f x 0lim x 0 f x 0 x f x x 10.函 数 y x0 , f x0 f x 在 点 处 的 导 数 的 几 何 意 义是 曲 线 y f x 在 点 处的切线的斜率 11.常见函数的导数公式： C 0； xn n nx 1 ； sin x cos x ； cos x sin x ； ax a x ln a ； ex ex ； log a x 1； ln x 1 x x ln a 12.导数运算法就： 1f x g x f x g x ； ； 2f x g x f x g x f x g x - 可编辑 - 第 17 页,共 37

28、 页精品训练 3f x f x g x f x g x g x 0 gx g x 213.在某个区间 a, b 内,如 f x 0 ,就函数 y f x 在这个区间内单调 递增； 如 f x 0 ,就函数 y f x 在这个区间内单调递减 必修 1-2 1 线性回来方程： y bx a （最小二乘法） n xi yi nx y i1 其中, b n 2 2 xi nx i 1 a y bx 留意：线性回来直线经过定点 x, y . n xi x yi y 2.相关系数（判定两个变量线性相关性） ： r ni 1 n2 2xi x yi y i 1 i 1 注： 0 时,变量 x, y 正相 r

29、 0 时,变量 x, y 负相关； 关； | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强； | r | 接近 于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系； 3.条件概率 对于任何两个大事 A 和 B,在已知 B 发生的条件下, A 发生的概 率称为 B 发生时 A 发生的条件概率 . 记为 PA| B , 其公式为 PA| B P（ AB） P（ A） 4 相互独立大事 - 可编辑 - 第 18 页,共 37 页精品训练 1一般地,对于两个大事 A,B,假如 _ PAB PAPB ,就称 A, B 相互独立 2假如 A1,A2, , A n 相互独立,就有 PA1A2 An_ PA1P

30、A2 PAn. 3假如 A,B 相互独立, 就 A 与B ,A 与 B,A 与 B 也相互独立 5独立性检验（分类变量关系） ： 122列联表 设 A, B 为两个变量,每一个变量 都可以取两个值,变量 A: A1 , A2 A1 ; 变量 B : B1 , B2 B1 ; 通过观看得到右表所示数据： 并将形如此表的表格称为 22 列联 表 2独立性检验 依据 22 列联表中的数据判定 两个变量 A,B 是否独立的问题叫 22 列联表的独立性检验 3统计量 2的运算公式 n（ ad bc） 2 2= （ab）（ cd）（ ac）（ bd） 6.复数相关结论 .1 z= a+ bi R b=0

31、a,b R z= zz2 0； - 可编辑 - 第 19 页,共 37 页精品训练 2 z= a+bi 是虚数 b 0a,bR； 3 z= a+bi 是纯虚数 a=0 且 b 0a,b R z z 0（ z 0） z20； 4 a+ bi= c+ di a= c 且 c= da,b,c,d ；R 7复数的代数形式及其运算 设 z1= a+ bi , z2 = c + di a,b,c,d ,R就：1 z 1z2 = a + b c + di； 2z1 z2= a+ bi c+ di（ ac-bd）+ ad+ bci； 3 z1 z2 = a bi c di ac bd bc ad iz2 0

32、; c di c di 2 c d22 c d28几个重要的结论 1 1 i 22i ； 1i1 i ; 1ii; 4n 3 1,i i ； i 4 n i4n 1 i4 2 i4 n 3 0; 1ii2 i 性质： T=4 ； i 4n4n 1 1,i 4 n i, i 23 z 1zz 1z 1 ； z mn mz ; 3z1z2 m mz1 z2 m, n N; 9运算律：（1） z mn z m n mnz ; 2z 选修 2-1 1.假如闭区间 a, b 上函数 f x 的图像是连续曲线, 且中意 f a f b 0 , 那么 f x 在开区间 a,b 内至少存在一个零点； 2.假如

33、一条直线垂直于一个平面内两天相交直线,那么这条直线垂直 于这个平面； 3.假如两个平面平行,那么一个平面内的任何一条直线平行于另一个 平面； 4.如向量 a, b 中意 a b 0,就 a b. - 可编辑 - 第 20 页,共 37 页精品训练 5. 结合律： a b c 交换律： a b bc a b; a; 6.设 , 为实数,那么 1 a a R; b, a aa R, R; 2 a b a3 a a R, R. 7.空间两个向量 8.空间向量的数量积与平面对量的数量积具有同样的运算律： 1交换律 a b b a; 2支配律 a b c a b a c; 3 a b a b R. 1

34、a a a ; 2a b a b 0; a b 3 cos a,b a 0, b 0. a b a 与 b 的数量9. 积： a b a b cos 为 a 与 b 的夹角. 10.平面对量的坐标运算： 1设 a x1 , y1 , b x2 , y2 , 就 a b x1 x2 , y1 y2 ; y1 ; 2设 a x1 , y1, b x2 , y2 ,就 a b x1x2 , y1 y2 ; x1 , y1, B x2 , y2 , 就 AB R, 就ax, y OB OA x2 x1 , y2 3设 A x, y, ; 4 设 a x1 , y1, b x2 , y 2 , 就 a

35、b x1x2 y1 y2 ; 5 设a 11.点到直线的距离： d2 PA 2 PA SO . 点到平面的距离 : d PA n0 . 选修 2-2 1推理与证明 - 可编辑 - 第 21 页,共 37 页精品训练 （ 1）合情推理与类比推理： 依据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的全部 对象都具有这种性质的 推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般 的过程,它属于合情推理； 依据两类不同事物之间具有某些类似（或一样）性,估量其中 一类事物具有与另外一类 事物类似的性质的推理,叫做类比推理； （ 2）类比推理的一般步骤 : 找出两类事物的相像性或一样性； 用一类事物的性质去估量另一类

36、事物的性质,得出一个明确的 命题（猜想）； 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制 约的 .假如两个事物在 某些性质上相同或相像,那么他们在另一写 性质上也可能相同或类似,类比的结论可是 真的； 一般情形下,假如类比的相像性越多,相像的性质与估量的性 质之间越相关,那么类比得出的命题越牢靠； （ 3）演绎推理（俗称三段论）：由一般性的命题推出特殊命题的过程, 这种推理称为演绎推 理； （ 4）数学归纳法： 它是一个递推的数学论证方法； 步骤 : a. 命题在 n 1（或 n0 ）时成立,这是递推的基础； b. 假设在 n k 时命题成立； - 可编辑 - 第 22 页,共 37

37、 页精品训练 c. 证明 n k 1 时命题也成 立； 完成这三步,就可以确定对任何自然数（或 nn0 ,且 n N ）结论 都成立； （ 5）反证法 : 反证法的证题模式可以简要的概括为“否定 推理 否 定”；即从否定结论 开头,经过正确无误的推理导致规律冲突, 达到 新的否定,可以认为反证法的基本思想 就是“否定之否定”； 盾 应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛 结论成立； （ 6）分析法 : 所谓分析法,是指“执果索因”的思维方法,即从结论动身, 不断地去查找需知,直 至达到已知事实为止的方法； 分析法的思维全貌可概括为： 结论 需知 1 需知 2 已 知； （ 7）综合法

38、: 所谓综合法,是指“由因导果”的思维方法,即从已知条件出 发,不断地开放摸索, 去探究结论的方法； 综合法的思维过程的全貌可概括为：已知 可知 1可知 2结论； 2导数及其运算 （1）导数的物理意义： 瞬时速率； 一般的, 函数 y f x 在 x x0 处 f x0 处 的瞬时变化率是 lim x 0 f x0 x f x0 ,我们称它为函数 y x 在 x x - 可编辑 - 第 23 页,共 37 页精品训练 的导数,记作 f x 或 y x x 0,即 f x lim x 0 f x0 x f x0 ； x （2）导数的几何意义：曲线的切线；通过图像,我们可以看出当 点 Pn 趋近于

39、 P 时,直 线 PT 与曲线相切； 简洁知道, 割线 PPn 的斜率是 k n f xn f x0 ,当点 Pn 趋近于 P 时, 函数 y f x 在 x x0 处的导数就是 xn x0 切线 PT 的斜率 k ,即 k lim x 0 f xn x n x f x0 0 f x0 ； （3）导函数：当 x 变化时, f x 便是 x 的一个函数,我们称它为 f x 的导函数； y f x 的导函数有时也记作 y ,即 f x lim x 0 f x x f x ； x （4）基本初等函数的导数公式 : 如 f x c（ c 为常数）,就 f x 0 ； 如 f x x ,就 f x a

40、1 x ； 如 f x sin x ,就 f x cos x ； 如 f x cos x,就 f x sin x ； 如 f x x ,就 f x x ln ； 如 f x e x ,就 f x ex ； 如 f x x log ,就 f x 1； xln 如 f x ln x ,就 f x 1 ； x （5）导数的运算法就： f x g x f x g x ； ,称就 y 可以表示成为 x 的 f x g x f x g x f x g x ； f x f x g x x f x g x ； gx g2（6）复合函数求导： y f u和 u g x f u g x f g x g x ； 函

41、数 ,即 y f g x 为一个复合函数, y - 可编辑 - 第 24 页,共 37 页精品训练 3导数在争论函数中的应用 （1）函数的单调性与导数 : 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 a,b 内 假如 f x 0 ,那么函数 y f x 在这个区间单调递增； 假如 f x 0 ,那么函数 y f x 在这个区间单调递减； （2）函数的极值与导数： 极值反映的是函数在某一点邻近的大小 情形； 求函数 y f x 的极值的方法是 : f x 0 ,那么 f x0 是极大 假如在 x0 邻近的左侧 f x 0 ,右侧 值； 假如在 x0 邻近的左侧 f x 0 ,右侧

42、f x 0 ,那么 f x0 是微小 值； （3）函数的最大 小值与导数： 求函数 y f x 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤： 比较,其 求函数 y f x 在 a, b 内的极值； 将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a , f b中最大的是一个 最大值,最小的是最小值； 4数系的扩充和复数的概念 （ 1）复数：形如 a bi （ a R,b R ）的数叫做复数, a 和 b 分别叫 它的实部和虚部； （ 2）分类：复数 abi （ a R,b R ）中, - 可编辑 - 第 25 页,共 37 页精品训练 当 b 0 ,就是实数； b 0 ,叫做虚数； 当 a 0,

43、b 0 时,叫做纯虚数； （3）复数相等： 假如两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复 数相等； （4）共轭复数：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两 个复数互为共轭复数； （5）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴除 去原点的部分叫做虚轴； （6）两个实数可以比较大小, 但两个复数假如不全是实数就不能 比较大小； 5复数的运算：设 z1 abi , z2 c di （ a, b, c,d R ） （1） z1 z2 a c bd i ； 0）； （2） z1 . z2 ac bd ad bc i ； （3） z1 z2 ac bd ad bc i

44、（ z 22 c d26几个重要的结论： （1） z1 z2 2z1 z2 22 z1 2z2 2； （2） z . z 2 z 2 z ； 2 z ； 2（3）如 z 为虚数 ,就 z 7,乘法运算律： （1） z m. z nm n z m；（ 2） z nmn 1 z ；（ 3） z . z 2nn nz . z （ m, n R）； 8,关于虚数单位 i 的一些固定结论： - 可编辑 - 第 26 页,共 37 页精品训练 （1） i 21；（ 2） i 3i；（ 3） i 41；（4） inin 1 in 2 in 3 0 ； 选修 2 3 1计数原理： （1）分类加法计数原理：做一

45、件事情,完成它有 N 类方法,在第 一类方法中有 M 1 种 不同的方法,在其次类方法中有 M 2 种不同的方 法, ,在第 N 类方法中有 M N 种 不同的方法,那么完成这件事 情共有 M 1 M 2 M N 种不同的方法； （2）分步乘法计数原理：做一件事情,完成它有 N 类方法,在第 一类方法中有 M 1 种 不同的方法,在其次类方法中有 M 2 种不同的方 法, ,在第 N 类方法中有 M N 种 不同的方法,那么完成这件事 情共有 M 1M 2 M 种不同的方法； （4）排列：从 n 个不同的元素中任取 m （ m n）个元素,按照一 定顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出

46、 m 个元素的一个排 列； （5）排列数： Am n n 1nm1nn. （ m n, m, n N） ； m . （6）组合：从 n 个不同的元素中任取 m（ m n ）个元素并成一组, 叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合； （7）组合数： Cm nm An n n 1nm1n. ； m . m Am m. m. n m Cn ； n m Cn m1 Cn m Cn m Cn 1 ； - 可编辑 - 第 27 页,共 37 页精品训练 （8）二项式定理： abn0 n Cn a 1 n 1 2 n 2 Cna b Cn a b2 r n r rCn a b 1 n Cnb

47、； （9）二项式通项公式： T r1C n r a n r br （ r 0,1, , n）； 2随机变量及其分布 （1）随机变量： 假如随机试验可能显现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是 随着试验的结果的不同而变化, 那么这样的变量 叫做随机变量；随机变量常用大写字母 表示； X ,Y 等或希腊字母 , 等 （2）离散型随机变量：在上面的射击,产品检验等例子中,对于 随机变量 X 可能取的 值 ,我们可以按确定次序一一列出, 这样的随机 变量叫做离散型随机变量； （3）离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的 值为 X1 , X 2 , , X i , X

48、n , X 取每一个值 Xi （ i 1,2, ）的概率 P X i Pi ,就称表为离 散型随机变量 X 的概率分布,简称分布列； （4）分布列性质： Pi 0 , i 1,2, ； P1 P2 Pn 1 ； （5）二点分布：假如随机变量 X 的分布列为： 其中 0 p 1 , q 1p ,就称离散型随机变量 X 听从参数 P 的二点 分布； （6）超几何分布：一般地,设总数为 N 件的两类物品,其中一类 - 可编辑 - 第 28 页,共 37 页精品训练 有 M 件,从全部物 品中任取 n （ n N）件,这 n 件中所含这类 物品件数 X 是一个离散型随机变量,就 它取值为 k 时的概率

49、为 P X k k n k CM CN n M（ k CN 0,1,2, ,m ）,其中* N ； mmin M ,n ,且 n N , M N , n, M , N （7）条件概率：对任意大事 A 和大事 B ,在已知大事 A 发生的条 件下大事 B 发生的 概率,叫做条件概率 .记作 P B A ,读作 A 发生 的 条件下 B 的概率； （8）条件概率公式： P B A P AB , P A 0 ； P A （9）相互独立大事：大事 A 或 B 是否发生对大事 B 或 A 发生的 概率没有影响 ,这 样的两个大事叫做相互独立大事； P AB P A P B ； （10）n 次独立重复大事

50、： 在同等条件下进行的, 各次之间相互独 立的一种试验； （11）二项分布：设在 n次独立重复试验中某个大事 A 发生的次数, A 发生次数 是 一个随机变量；假如在一次试验中某大事发生的概 率是 p ,大事 A 不发生的概率q1 p ,那么在 n 次独立重复试验 为 p）； 中 P k Cn p q k k n k , （其中 k 0,1, , n , q 1于是可得随机变量 的概率分布如下： 这样的随机变量 听从二项分布,记作 数； - 可编辑 - B n, p ,其中 n , p 为参 第 29 页,共 37 页精品训练 （12）数学期望：一般地,如离散型随机变量 的概率分布为 就称 E

51、 x1 p1 x2 p2 xi pi 为 的数学期望或平均数,均值, 数学期望又简 称为期望,是离散型随机变量； x nE 2pn叫随机变 （13）方差 : Dx 1E 2p 1x 2E 2p2量 的均方差,简称方差； （14）集中分布的期望与方差一览： 两点分布 期望 DDqE 方差 ppE ppq, q 1二项分布 B n, p E np qnp, q 1（ 15） 正 态 分 布 ： 如 概 率 密 度 曲 线 就 是 或 近 似 地 是 函 数 x 2f x 2 1 e 2 2, x R的图像,其中解析式中的实数 , （ 0 ）是参数,分别表示 总体的平均数与标 准差；就其分布叫正态分

52、布记作： N , , f x 的图象称为正态曲线； （16）基本性质： 曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交； 曲线关于直线 x 对称,且在 x 时位于最 高点； 当 x 时,曲线上升； 当 x 时,曲线下降, - 可编辑 - 第 30 页,共 37 页精品训练 并且当曲 线向左,右两边无限延长时,以 靠近； x 轴为渐近线,向它无限 当 确定时,曲线的形状由 确定； 越大,曲线越“矮胖” , 表示总体的分布越分散； 分布越集中； 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的 当 相同时,正态分布曲线的位置由期望值 来准备； 正态曲线下的总面积等于 1； （17） 3 原就： 从上表看到, 正态总体在

53、 2 , 2 以外取值的概率只有 4.6%, 在 3 , 3 以外取值的概率只有 0.3%,由于这些概率很小,通 常称这些情形发生 为小概率大事； 也就是说, 通常认为这些情形在 一次试验中几乎是不行能发生的； 3统计案例 （ 1）独立性检验： 假设有两个分类变量 X 和 Y ,它们的值域分别为 x1, x2 和 y1 , y2 , 其样本频数列联表为： x1 y1 y2 总计 ababx2 c dc d总计 a c bdab c d可以利用独立性检验来考察两个变量 - 可编辑 - X 和 Y 是否有关系,并且能 第 31 页,共 37 页精品训练 较精确地给出这种判定的牢靠程度； 具体的做法

54、是, 由表中的数据算 2出随机变量 K 的值： 2K 2 n ad bc ,其中 n ab c d 为样本容量, K 的 2ab c d a c b d值越大,说明“ X 和 Y 有关系”成立的可能性越大； K 2 时, X 和 Y 无关； K 2时, X 和 Y 有 95%可能性有 K 2 时, X 和 关； Y 有 99%可能性有关； （ 2）回来分析： 回来直线方程 y ab x , nx y , a y b x ； ny n其中 bi 1 xi x yi 2xi yi i12 nx nxi x n2 xi i 1 i 1 选修 4-1 几何证明选讲 1.平行线分线段成比例定理：三条平行

55、线截两条直线,截得的对应线 段成比例 . 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） , 截得的对应线段成比例 . 3.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线 段与这个角的两边对应线段成比例 . 4.直角三角形的射影定理：直角三角形的每一条直角边是它在斜边上 的射影与斜边的比例中项, 斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的 比例中项 . 5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,圆 - 可编辑 - 第 32 页,共 37 页精品训练 周角的角度等于它所对的弧的度数的一半 . 6.推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,相等的

56、圆周角所对的弧也相等 . 7.推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90 0 的圆周角所对的 弧是半圆 . 8.切线的判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线 . 9.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 . 10.推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点 . 11.推论 2：经过切点且垂直于切线的直线经过圆心 . 12.切线长定理：过 圆外一点作圆的两条切线,这两条切线长相等 . 13.弦切角定理： 弦切角 等于它所夹弧所对的圆心角； 弦切角的度数 等于它所夹弧的度数的一半 . 14.切割线定理：过 圆外一点作圆的一条切线和一条割线,切线长是 割线上从

57、这点到两个交点的线段长的比例中项 . 15.推论： 过圆外一点作圆的两条割线,在一条割线上从这点到两个 交点的线段长的积,等于另一条割线上对应线段长的积 . 16.相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 相等 . 17.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补 . . 18.推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 19.定理：假如一个四边形的内对角互补,那么这个四边形四个顶角 - 可编辑 - 第 33 页,共 37 页精品训练 共圆 . 20.推论：假如一个四边形的一个外角等于其内对角,那么这个四边 形的四个顶点共圆 . 21.* 托勒密定理： 圆的内接四边形两对边乘积之和等于两条对角线的 乘积 . 选修 4-4 坐标系与参数方程 1.