2022届广东省三校数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1组合数恒等于（ ）ABCD2变量与的回归模型中，它们对应的相关系数的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）模型12340.480.150.960.30A模型1B模型2C模型3D模型43已知向量，则与的夹角为（ ）A0BCD4由曲线和直线，（）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )ABCD5若，则“成等比数列”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6在用反证法证明命题“三个正数a，b，c满足，则a，b，c中至少有一个不大于2”时，下

3、列假设正确的是（ ）A假设a，b，c都大于2B假设a，b，c都不大于2C假设a，b，c至多有一个不大于2D假设a，b，c至少有一个大于27如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A，是的极大值点B，是的极小值点C，不是的极值点D，是是的极值点8是虚数单位，复数满足，则ABCD9若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为（ ）ABCD10的值是（）ABCD11在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ）附：若XN(,2)，则PA1193B1359C2718D34

4、1312若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设集合，则_14如图，正方体中，E为线段的中点，则AE与所成角的余弦值为_15棱长为的正四面体的高为_.16将集合中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中，从小到大第50个数为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为.认为作业量大认为作业量不大合计男

5、生18女生17合计50（）请完成上面的列联表；（）根据列联表的数据，能否有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？（）若视频率为概率，在全校随机抽取4人，其中“认为作业量大”的人数记为，求的分布列及数学期望.附表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：18（12分）如图，在以为顶点的多面体中，面， （）请在图中作出平面，使得平面，并说明理由；（）证明：平面.19（12分）如图，在矩形ABC中，E在线段AD上，现沿BE将ABE折起，使A至位置，F在线段上，且. （1）求证：平面；（2）若在平面BCDE上的射影O在直线BC上，求

6、直线与平面所成角的正弦值.20（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.21（12分）已知（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.22（10分）在中，三个内角的对边分别为（1）若是的等差中项，是的等比中项，求证：为等边三角形；（2）若为锐角三角形，求证：参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据组合数的公式得到和，再比较选项得到答案.【详

7、解】，可知 故选：D【点睛】本题考查组合数的计算公式，意在考查基本公式，属于基础题型.2、C【解析】分析：根据相关系数的性质，最大，则其拟合效果最好，进行判断即可详解：线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大；越小，相关程度越小，模型3的相关系数最大，模拟效果最好，故选：A点睛：本题主要考查线性回归系数的性质，在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大；越小，相关程度越小3、C【解析】由题设，故，应选答案C4、C【解析】利用定积分求出阴影部分区域面积关于的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果【详解】设阴影部分区域的面积为，则，其中，令，得，当时，；当时，.

8、所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，且最小值为，因此，阴影部分区域面积的最小值为，故选C【点睛】本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题5、B【解析】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论详解：由题意得，例如，此时构成等比数列，而不成立，反之当时，若，则，所以构成等比数列，所以当时，构成等比数列是构成的等比数列的必要不充分条件，故选B点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的

9、关键，着重考查了推理与论证能力6、A【解析】否定结论，同时“至少有一个”改为“全部”【详解】因为“a，b，c至少有一个不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故选A.【点睛】本题考查反证法，在反证法中假设命题反面成立时，结论需要否定的同时，“至少”，“至多”，“都”等词语需要改变7、B【解析】由图判断函数的单调性，结合为在点P处的切线方程，则有，由此可判断极值情况.【详解】由题得，当时，单调递减，当时，单调递增，又，则有是的极小值点，故选B.【点睛】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解.8、D【解析】运用复数除法的运算法则可以直接求出复数的表达式.【详解】，故

10、本题选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.9、B【解析】区域是正方形，面积为，根据定积分定理可得直线与曲线围成区域的面积为，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为，故选B10、B【解析】试题分析：设，结合定积分的几何意义可知定积分值为圆在第一象限的面积的值是考点：定积分的几何意义11、B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积S=0.9545-0.6827则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充

11、分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.12、D【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求，再

12、求.【详解】, 故答案为：【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型.14、；【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与CD1所成角的余弦值【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），（0，2，1），（0，2，2），设AE与CD1所成角为，则cos，AE与CD1所成角的余弦值为故答案为【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

13、求解能力，是中档题15、【解析】利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径，再利用公式可得出正四面体的高.【详解】设正四面体底面三角形的外接圆的半径为，由正弦定理得，因此，正四面体的高为，故答案为.【点睛】本题考查正四面体高的计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.16、1040【解析】用表示，下表的规律为：，则第行的第个数，故答案为.【方法点睛】本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的

14、归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）见解析（）有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关（）见解析【解析】分析：（1）先设认为作业量大的共有个人，再求出x的值，完成列联表.(2)先求出，再判断是否有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关.（3）利用二项分布求的分布列及数学期望.详解：（）设认为作业量大的共有个人，则 ，解得或（舍

15、去）；认为作业量大认为作业量不大合计男生18826女生71724合计252550（）根据列联表中的数据，得.因此有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关.（）的可能取值为0，1，2，3，4.由（）可知，在全校随机抽取1人，“认为作业量大”的概率为.由题意可知.所以 .所以的分布列为01234 （或）.点睛：（1）本题主要考查二乘二列联表，考查独立性检验和随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 随机变量服从二项分布，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)18、（）见解析；（）见解析【解析】（）取中点，连接，则平面即为所求平面；根据长

16、度关系和平行关系可知四边形是平行四边形，得；又，利用线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面平面，根据面面平行性质可证得结论；（）易知是边长为的正三角形，从而根据角度关系可求得，结合，可利用线面垂直判定定理证得结论.【详解】（）如图，取中点，连接，则平面即为所求平面理由如下：， 且四边形是平行四边形 平面，平面 平面，平面，平面 平面平面，平面，且 平面平面平面 平面（）由（）四边形是平行四边形，则， 是边长为的正三角形， ，即平面，平面 平面，平面，平面【点睛】本题考查线面平行和面面平行判定定理与性质定理的应用、线面垂直关系的证明问题，考查学生对于基础定理的掌握情况，属于常考题型.19、

17、（1）见解析（2）【解析】（1）取,再根据平几知识证,最后根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理及其性质得结果；（2）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求出平面法向量，根据向量夹角公式求夹角，最后根据向量夹角与线面角关系得结果.【详解】（1）取,因为，所以平面，平面，所以平面，因为四边形为平行四边形，即平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系, 设，因为设平面法向量为，则即即令因为,所以因此直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面平行判定定理以及利用空间向量求线面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.20、（1

18、）见解析；（2）【解析】（1）由得平面PAE，进而可得证；（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接，因为，为线段的中点，所以.又，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：设，则，因为，所以，同理可证，所以平面.如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.易知为二面角的平面角，所以，从而.由，得.又由，知，.设平面的法向量为，由，得，不妨设，得.又，所以.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】用向量法求解空间

19、线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21、 (1)见解析；(2)见解析【解析】(1)由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；(2)先将原方程化简，然后换元转化成只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a的取值.【详解】（1）当时，令解得 递减极小值递增 （2）设，令，设，由得，在单调递增，即在单调递增，当，即时，时，在单调递增,又，此时在当时，关于的方程有且只有一个实数解. 当，即时，又故，当时，单调递减，又，故当时，在