2021年考研数学高等数学复习讲义(详细版)

1、 12/122021年考研数学高等数学复习讲义(详细版) 2019年考研数学高等数学复习讲义 第一章 函数、极限、连续 1.1 函数 （甲）内容要点 一、函数的概念 1.函数的定义 设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集 |(),Z y y f x x D = 称为函数的值域。 2.分段函数 如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这

2、类函数称为分段函数。 例如 211x x y f x x x x x +-? =? 是一个分段函数，它有两个分段点，x 1和x 1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。 3.隐函数 形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。 4.反函数 如果y =f (x )可以解出()x

3、 y ?=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()x f y -=。有时也用1()y f x -=表示。 二、基本初等函数 1.常值函数 y C （常数） 2.幂函数 y x =（常数） 3.指数函数 x y a =（a 0，a 1常数） x y e =（e 2.7182，无理数） 4.对数函数 log a y x =（a 0，a 1常数） 常用对数 10log lg y x x = 自然对数 log ln e y x x = 5.三角函数 sin ;cos ;tan .y x y x y x = cot ;sec ;csc .y x y x y x = 6.反三角函数 a

4、rcsin ;cos ;y x y arc x = arctan ;cot .y x y arc x = 基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经常会用lim arctan x x + ；lim arctan x x - ；10 lim x x e + ；10 lim x x e - ；0 lim ln x x +等等，就需要对 arctan y x =，x y e =，ln y x =的图像很清晰。 三、复合函数与初等函数 1.复合函数 设()y f u = 定义域U ()u g x = 定义域X ，值域U* 如果*U U ?，则()y f g x =是定义在X 上的一

5、个复合函数，其中u 称为中间变量。 2.初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。 四、函数的几种性质 1.有界性：设函数y =f (x )在X 内有定义，若存在正数M ，使x X 都有 ()f x M ，则称f (x )在X 上是有界的。 2. 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对x X ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 在X 上是奇函数；若对x X ，都有()()f x f x -=，则称()f x 在X 上是偶函数。奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称。 3. 单调性：设()f x 在X 上有定义，若

6、对任意1212x X x X x x ?，则称()f x 在X 上是单调增加的?单调减少的；若对任意1212x X x X x x ， 2100 x -要有定义，210010 x x ， 因此，()f x 的定义域为(10e ， 【例2】 求1 ln 5 y x x x =-+ -的定义域。 解 x x -要有定义，1x 和0 x = 1 ln 5 x -要有定义，546x x x ， 因此，定义域为)()()()01445566+， ， 【例3】 设()f x 的定义域为()0a a a -，求()21f x -的定义域。 解 要求21a x a -，则211a x a -+， 当1a 时，

7、10a -，21x a +，则1x a + 当01a ，11a x a -+ 也即11a x a -+或11a x a -+- 【例4】 设()102224x g x x ，且1y 所以原来函数的值域为(0,1)(1,)+。 三、求复合函数有关表达式 1.已知f (x )和g (x )，求f g (x ). 【例1】 已知()1 x f x x = -，求1()1f f x ? ? -? . 解 1 ()1 111 x f x x x -=-=-， 11()1x f x =- （1x ） 于是，111 (1)()1(1)12x x f f x f x x x ?-=-=? （1,2x x ）

8、【例2】 设2 ()1x f x x = +，求()()n f f f x f x =. n 重复合 解 2 222 2 2()()()1111() 12f x x x x f x f f x x x f x x = = +=+， 若 2 ()1k x f x kx = +，则2 12 2 2()()1111() k k k f x x x f x kx kx f x += = +=+ 2 1(1)x k x + 根据数学归纳法可知，对正整数n ，2 ()1n x f x nx =+ 2.已知g (x )和f g (x )，求f (x ). 【例1】 设2(1)x x x f e e e x

9、+=+，求f (x ). 解 令1x e u +=，ln(1)x u =- 22()(1)(1)ln(1)ln(1)f u u u u u u u =-+-+-=-+- 于是 2 () l n (1) f x x x x =-+- 【例2】 已知()x x f e xe -=，且(1)0f =，求f (x ). 解 令,ln x e t x t =，因此ln ()()x t f e f t t = ， 221 1 ln 11 ()(1)ln ln 22x x t f x f dt t x t -=? (1)0f =，21 ()ln 2 f x x = 四、有关四种性质 【例1】 设()()F

10、x f x =，则下列结论正确的是（ ）. （A ）若f (x )为奇函数，则F (x )为偶函数 （B ）若f (x )为偶函数，则F (x )为奇函数 （C ）若f (x )为周期函数，则F (x )为周期函数 （D ）若f (x )为单调函数，则F (x )为单调函数 解 (B)不成立，反例3 2 (),()13 x f x x F x =+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2()2,()(,)f x x F x x =-+在内 (A)成立。 证明 0 ()(0)(),x F x F f t d t f =+?为奇函数

11、， 00 ()(0)()(0)()()x x F x F f t dt F f u d u -=+=+-? ? (0)()()x F f u du F x =+=? ()F x 为偶函数。 【例2】 求1 521 ()ln(1).x x I x x e e x x dx -=+-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函数， 2112()(),()ln(1)x x f x e e f x f x x x -=-=-=+是奇函数， 222 22 (1)()ln(1)ln 1 x x f x x x x x +-=-+=+ 22ln1ln(1)()x x f x =-+=- 因此2()l

12、n(1)x x x e e x x -+是奇函数。 于是 1 1 6 6102 027 I x dx x dx -=+= ?。 【例3】 两个周期函数之和是否仍是周期函数？ 解 不一定 （1）()sin cos 23x x f x =+ 1()sin 2x f x = 周期为4 2()os 3 x f x c = 周期为6 4和6的最小公倍数为12 ()f x 是以12为周期的函数 （2）()sin 2cos f x x x =+ 1()sin 2f x x = 周期为 2()os f x c x = 周期为2 和2没有最小公倍数 ()f x 不是周期函数 （3）()sin 2(1sin 2)

13、f x x x =+- 1()sin 2f x x = 周期为 2()1sin 2f x x =- 周期为 虽然1()f x ，2()f x 不但都是周期函数，而且它们的周期有最小公倍数。 但是12()()()1f x f x f x =+=，却不是周期函数。（因为没有最小正周 期。） 【例4】 设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且 ()()()()0f x g x f x g x - (B)()()()()f x g a f a g x (C)()()()()f x g x f b g b (D)()()()()f x g x f a g a 解 2 ()1()()()()0

14、()() f x f x g x f x g x g x g x ?=-，故(A)成立。 1.2 极限 （甲）内容要点 一、极限的概念与基本性质 1.极限的定义 （1）lim n n x A = （称数列n x 收敛于A ） 任给0，存在正整数N ，当nN 时，就有n x A -，存在正整数X ，当xX 时，就有()f x A -，存在正整数X ，当xX 时，就有()f x A -，存在正整数X ，当|x|X 时，就有()f x A -，存在正数，当00 x x ，存在正数，当00 x x ，存在正数，当00 x x -，则x 变化一定以后，有()()f x g x （注：当()00g x B

15、 =，情形也称为极限的保号性） 定理3 （极限的局部有界性）设()lim f x A =，则当x 变化一定以后，()f x 有界的。 定理4 设()lim f x A =，()lim g x B = 则 （1）()()lim f x g x A B +=+? （2）()()lim f x g x A B -=-? （3）()()lim f x g x A B =? （4）()()lim f x A g x B = ()0B （5）()() lim g x B f x A =? ()0A 二、无穷小量 1. 无穷小量定义：若()lim 0f x =，则称()f x 为无穷小量 （注：无穷小量与x

16、 的变化过程有关，1lim 0 x x =，当x 时1 x 为无穷小量，而0 x x 或其他时， 1 x 不是无穷小量） 2. 无穷大量定义：任給0M ，当x 变化一定以后，总有()f x M ，则称()f x 为无穷大量，记()lim f x =。 3. 无穷小量与无穷大量的关系：在x 的同一个变化过程中，若()f x 为无穷大量，则 ()1f x 为无穷小量，若()f x 为无穷小量且()0f x ，则() 1 f x 为无穷大量。 4. 无穷小量与极限的关系 ()()()lim f x A f x A a x =?=+ 其中()lim 0a x = 5. 两个无穷小量的比较 设()()l

17、im 0lim 0f x g x =，且() () lim f x l g x = (1)0l =，称()f x 是比()g x 高阶的无穷小量，记以()()f x o g x =? 称()g x 是比()f x 低阶的无穷小量， (2) 0l ，称()f x 与()g x 是同阶无穷小量。 (3)1l =，称()f x 与()g x 是等价无穷小量，记以()()f x g x 6. 常见的等价无穷小量 当0 x 时 sin tan arcsin arctan x x x x x x x x ， ()()211cos 1ln 1112 a x x x e x x x x ax -+-，（a 为

18、实常数） 。 7. 无穷小量的重要性质 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。 三、求极限的方法 1. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2. 两个准则 准则1 单调有界数列极限一定存在。 （1）若1n n x x +（n 为正整数），又n x m （n 为正整数） 则lim n n x A =存在且A m （2）若1n n x x +（n 为正整数），又n x m （n 为正整数） 则lim n n x A =存在且A m 准则2 （夹逼定理）设()()()g x f x h x 若()()lim lim g x A h x A =，则()lim f x A = 3. 两个重要公式 公式1 0s

19、in lim 1x x x = 公式2 1lim 1n n e n ?+= ?；1lim 1u u e u ? += ? ；()1 0lim 1v v v e += 4. 用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 5. 用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻） 当0 x 时()2 12! ! n x n x x e x o x n =+ + ()()()35 21 21sin 13!5!21!n n n x x x x x o x n +=-+ +-+ ()()()24 22cos 112!4! 2! n n n x x x x o x n =-+- +-+ ()() ()23 1 ln 1123n

20、n n x x x x x o x n +=-+- +-+ ()()35 21 21arctan 135 21n n n x x x x x o x n +=-+- +-+ () () () ()()2 111112! ! n n n x x x x o x n ?-?+=+ + + +（为实 常数） 6.洛必达法则 法则1 00? ? 型设（1）()lim 0f x =，()lim 0g x = （2）x 变化过程中，()f x ，()g x 皆存在 （3）() () lim f x A g x = （或） 则 () () lim f x A g x = （或） (注：如果()()lim f

21、 x g x 不存在且不是无穷大量情形，则不能得出() () lim f x g x 不存在且不是无穷大量情形) 法则2 ? ? 型设（1）()lim f x =，()lim g x = （2）x 变化过程中，()f x ，()g x 皆存在 （3）() () lim f x A g x = （或） 则 () ()lim f x A g x = （或） 7.利用导数定义求极限 基本公式：()() ()0000lim x f x x f x f x x ?+?-=? ?如果存在 8.利用定积分定义求极限 基本公式：()1 11lim 0n n k k f f x dx n n =? = ? ?

22、?如果存在 9.其他综合方法 10.求极限的反问题有关方法 （乙）典型例题 一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限 【例1】 设n 0 b 0m a ，求1110 1110lim m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b -+ 解 1110 1110l i m m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b -+ 1 11101 1110lim m n m m m m n n x n n x a a x a x a x b b x b x b x -?+? ?=+ + 0 m n m n a m n

23、b m n ? 当时 当时 当时 【例2】 设0a ，1r ，求1lim()n n a ar ar - + +. 解 1 1l i m ()l i m 11n n n n r a a ar ar a r r - -+=- 特例：（1）求23 12222lim (1)3333n n n +? -+- +-? ? ? ? ? ? ? 解 例2中取23a =，23r =-，可知原式 2 2325 13=?- ? （2）111242 2lim 3311123 3n n n ?+ ? ?=? + ? 【例3】 求1132lim 23 n n n n n +-+. 解 分子、分母用3n 除之， 原式233lim 3