2023届高三数学一轮大题专练12-导数（有解问题2）

1、2023届高三数学一轮大题专练12导数（有解问题2）1已知函数，（1）当时，求证：；（2）若函数有两个零点，求的取值范围解：（1）证明：当时，则，因为，所以，因此，所以在，上单调递增，于是，因此在，上单调递增，所以 （2）由（1）知，当时，当且仅当时取等号，此时函数仅有1个零点，当时，因为，所以，当，时，单调递增，当，时，因为，所以，所以单调递增，又，因此在，上存在唯一的零点，且当时，所以单调递减，当，时，所以单调递增，又，因此在，上存在唯一的零点，且，当时，所以单调递减，当，时，所以单调递增，又 ， ，所以在，上存在唯一零点，因此在，上有两个零点，综上，的取值范围是，2已知函数（1）当时，求

2、曲线在点，处的切线方程；（2）若有两个零点，求实数的取值范围解：（1）当时，因为，所以曲线在点，处的切线方程为（2）因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，即关于的方程有两个不同的解，当时，方程不成立，所以，令，则与的图象有两个交点，且，令，得或，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值（1），因为，且当时，所以的取值范围是3已知函数（1）若，讨论的单调性；（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围解：（1）依题可得，定义域为，所以当时，由，得，由，得，则的单调递减区间为，单调递增区间为当时，由，得，由，得或，则的单调递减区间为，单调递增区间为和当

3、时，恒成立，则的单调递增区间为当时，由，得，由，得或，则的单调递减区间为，单调递增区间为和（2）方程在有且只有两个解，即关于方程在上有两个不相等的实数根令，则令，则，因为在上恒成立，故在上单调递增因为（1），所以当时，有，即，所以单调递减；当，时，有，即，所以单调递增因为，（1），所以的取值范围是4已知实数，设函数，（）若，讨论的单调性；（）若方程有唯一实根，求实数的取值范围解：（）若，则，令，令，解得或，令，解得，函数在，单调递增，在单调递减；（）当时，显然只有一个零点，即方程有唯一实根；当时，令，则，即有唯一实数解，当时，则，而，显然无解；当时，若，则，而，显然无解，则，令，则它们的图象有

4、且仅有一个交点，注意到，且在处取得等号，考虑的情况，可得，即直线与函数，分别交于点和，（A）若，则；（B）若，则，时，则存在唯一交点；（C）若，则（a）（a），由零点存在性定理可知，存在唯一交点；综上所述，实数的取值范围为，5已知函数和（）若曲线和在处的切线斜率都为，求和；（）若方程在区间，上有解，求的取值范围解：（）函数的导数为，所以曲线在处的切线的斜率为，的导数为，所以曲线在处的切线的斜率为，由，解得，；（）方程在区间，上有解，则在区间，上有解，设，则，当时，递增；当时，递减所以的最大值为（1），所以，所以令，则，由的导数为，可得在递增，递减，则的最小值为（1），即有恒成立，所以，所以，所

5、以在，递减，在，递增，所以在处取得最小值1，因为与相交有解，（e），（e），所以（1），所以，所以的取值范围为6已知函数，其中，令（1）求证：当时，无极值点；（2）若函数，是否存在实数，使得在处取得极小值？并说明理由解：（1）证明：，则，显然，当时，在上为增函数，无极值点；（2）存在，使得在处取得极小值理由如下：，则，显然是的极小值点的必要条件为，解得，此时，显然当时，；当时，故，令，则，故在上为减函数，故当时，即，令，则，当时，故在单调递增，故当时，即，故当时，因此，当时，是的极小值点，即充分性也成立综上，存在，使得在处取得极小值7已知函数，（1）若时，函数有极小值，试确定的取值范围；（2）当时，函数在，上的最大值为，若存在，使得成立，求实数的取值范围解：（1）函数的定义域为，当时，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时无极小值；当时，令，解得或，当时，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极小值，符合题意；当时，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时无极