北京市西城区市级名校2021-2022学年高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在各项都为正数的等差数列an中，若a1+a2+a10=30，则a5a6的最大值等于（）A3 B6 C9 D362定义在（0，+）上的函数f（x）的导数满足x21，则下列不等式中一定

2、成立的是（）Af（）+1f（）f（）1Bf（）+1f（）f（）1Cf（）1f（）f（）+1Df（）1f（）f（）+13已知分别为内角的对边，且成等比数列，且，则=（ ）ABCD4给定空间中的直线及平面，条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件5已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD6箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为( )A1662

3、5B96625C6247将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（ ）A40B28C24D168某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动。若甲，乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每个人只参加一个社团，则不同的报名方案数为A2160B1320C2400D43209某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如图：现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )零件个数x (个)102030加工时间y (分钟)213039A112分钟B102分钟C94分钟D84分

4、钟10若，则（ ）ABCD11已知函数，则函数满足（ ）A最小正周期为B图像关于点对称C在区间上为减函数D图像关于直线对称12将函数图象上所有的点向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则下列各式正确的是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13边长为2的等边三角形绕着旋转一周，所得到的几何体体积为_.14已知，且，则的最小值是_15选修4-5：不等式选讲设函数，（）求不等式的解集；（）若，恒成立，求实数的取值范围16 _三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参

5、数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切； （1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.18（12分）已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.19（12分）已知函数 (是自然对数的底数).(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；(2)当时，记，其中为的导函数.证明：对任意，.20（12分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）（1

6、）全体排成一行，其中男生甲不在最左边；（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起；（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻.21（12分）已知点是椭圆的一个焦点,点 在椭圆上. （）求椭圆的方程；（）若直线与椭圆交于不同的两点,且 (为坐标原点),求直线斜率的取值范围.22（10分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名观众进行调查，其中有名男观众和名女观众，将这名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在分钟以上（包括分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在分钟以下（不包括分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和

7、“非朗读爱好者”中随机抽取名，再从这名观众中任选名，求至少选到名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：由题设，所以，又因为等差数列各项都为正数，所以，当且仅当时等号成立，所以a5a6的最大值等于9，故选C考点：1、等差数列；2、基本不等式2、D【解析】构造函数g（x）f（x），利用导数可知函数在（0，+）上是减函数，则答案可求【详解】由x2f（x）1，得

8、f（x），即得f（x）0，令g（x）f（x），则g（x）f（x）0，g（x）f（x）在（0，+）上为单调减函数，f（）+2f（）+3f（）+4，则f（）f（）+1，即f（）1f（）；f（）f（）+1综上，f（）1f（）f（）+1故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题3、C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.4、B【解析】分析：利用直线与平面平行的定义判断即可.详解：直线上有两个不

9、同的点到平面的距离相等，如果两点在平面同侧，则 ；如果两点在平面异侧，则与相交：反之，直线与平面平行，则直线上有两个不同的点到平面的距离相等.故条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的必要非充分条件.故选B.点睛：明确：则是的充分条件，则是的必要条件准确理解线面平行的定义和判定定理的含义，才能准确答题5、B【解析】对任意的，恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，参变分离得到恒成立，再根据对勾函数的性质求出在上的最小值即可【详解】解：对任意的，即恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，恒成立，又由对勾函数的性质可知在上单调递增，即故选：【点睛】本题考查了导数的应用

10、，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题6、B【解析】获奖的概率为p=6C62=25 ，记获奖的人数为 ， B(4,7、B【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数.详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分

11、析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.8、B【解析】依题意，分和两组，先分组，后排列，最后求和即可.【详解】依题意，6名同学可分为两组，第一组为，利用间接法，有种，第二组为，利用间接法，有,所以分类计数原理，可得种，故选B.【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理，着重考查了分类讨论思想和转化思想的应用，以及推理与运算能力，其中解答中合理分类，做到先分组后排列的方式是解答的关键.9、B【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，取求得值即可。【详解】解：所以样本的中心坐标为（20，30），代入，得，取，可得，故选：B。【点睛

12、】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题10、A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为，所以，解得，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11、D【解析】函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosxsinx）sinx=sin2x=（sin2x+cos2

13、x）=sin（2x+）+，故它的最小正周期为，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+（，），f（x）=sin（2x+）+ 为增函数，故C不正确，故选D12、C【解析】根据平移得到，函数关于点中心对称，得到答案.【详解】根据题意：，故，取，故.故函数关于点中心对称，由，则故，则正确，其他选项不正确.故选：.【点睛】本题考查了三角函数平移，中心对称，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题

14、意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥,利用圆锥的体积公式求解即可.【详解】根据题意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥,等边三角形的高为,底面半径为,所以所得到的几何体体积为.故答案为【点睛】本题考查了按平面图形一边旋转所形成的空间图形的体积问题,考查了空间想象能力,考查了数学运算能力.14、1【解析】直接将代数式4x+y与相乘，利用基本不等式可求出的最小值【详解】由基本不等式可得，当且仅当，等号成立，因此的最小值为1，故答案为：1【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定

15、值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15、（1）；（2）.【解析】试题分析：（I）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为；（II）由（I）值，函数的最小值为，即，由此解得.试题解析：（I），当，当，当，综上所述.（II）易得，若，恒成立，则只需，综上所述.考点：不等式选讲16、【解析】分析：根据，即可求出原函数，再根据定积分的计算法则计算即可.详解：，故答案为：.点睛：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解析】（1）求出直线l的直角坐标方

16、程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r2，曲线C的普通方程为（x）2+（y1）24，由此能求出曲线C的极坐标方程（2）设M（1，），N（2，），（10，20），由2sin（2），由此能求出MON面积的最大值【详解】（1）直线l的极坐标方程为，由题意可知直线l的直角坐标方程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r2，曲线C的参数方程为（r0，为参数），曲线C的普通方程为（x）2+（y1）24，所以曲线C的极坐标方程为22cos2sin0，即（2）由（）不妨设M（1，），N（2，），（10，20）， 4sin（）sin（）2sin

17、cos+2 sin22sin（2），当时，故所以MON面积的最大值为2【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18、（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由，得，解得（2）由f（x）log2（a3）x+2a51得log2（a）log2（a3）x+2a51即l

18、og2（a）log2（a3）x+2a5，即a（a3）x+2a51，则（a3）x2+（a5）x11，即（x+1）（a3）x11，当a3时，方程的解为x1，代入，成立当a3时，方程的解为x1，代入，成立当a3且a3时，方程的解为x1或x，若x1是方程的解，则aa11，即a1，若x是方程的解，则a2a31，即a2，则要使方程有且仅有一个解，则1a2综上，若方程f（x）log2（a3）x+2a51的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1a2，或a3或a3（3）函数f（x）在区间t，t+1上单调递减，由题意得f（t）f（t+1）1，即log2（a）log2（a）1，即a2（a），即a设1tr，则1r，

19、当r1时，1，当1r时，yr在（1，）上递减，r，实数a的取值范围是a【一题多解】（3）还可采用：当时，所以在上单调递减则函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得故的取值范围为19、（1）；（2）见解析【解析】(1)求得，由，得，令，利用导数求得，进而求得参数的取值范围； (2) 当时，得，令，利用导数求解函数的单调性和最值，得，进而证得结论【详解】(1)由得，由得.令，则令的，当时，递减；当时，递增.则的取值范围取值范围是. (2) 当时，令，所以令得.因此当时，单调递增；当时，单调递减.即又时，故)，则，即对任意，【点睛】本题主

20、要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用20、（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种；（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种；（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种；【解析】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置。

21、（2）相邻问题用捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列。（3）不相邻问题用插空法，先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位。【详解】（1）先排最左边，除去甲外有种，余下的6个位置全排有种，则符合条件的排法共有种. （2）将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有576种；（3）先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有种.答：（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种；（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种；（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种.【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注