2021-2022学年山西省晋中市经纬机械集团有限公司中学高三数学理期末试卷含解析

1、2021-2022学年山西省晋中市经纬机械集团有限公司中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=（2a）（x1）2lnx，g（x）=xe1x（aR，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A（，B（，C（，2）D，）参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】根据若对任意给定的x0（0，e，在区间（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，

2、2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e上不单调，从而求得a的取值范围【解答】解：g（x）=（1x）e1x，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2e0，g（x）在（0，e上的值域为（0，1，当时，f（x）=0，f（x）在处取得最小值，由题意知，f（x）在（0，e上不单调，所以，解得，所以对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足条件且f（e）1因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）1解得综上所述，a的取值范围是故选：A2.

3、如图，在边长为2的菱形中，为的中点，则的值为( )A1 B C D参考答案：A略3. 已知等比数列的首项公比，则( )A.50 B.35 C.55 D.46参考答案：C4. 等比数列中，已知，则前5项和 A. B. C. D. 参考答案：A略5. 两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是（ ）A B C. D参考答案：B连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件的总数为，向上的点数之差的绝对值为包含的基本事件有：共8个，所以向上的点数之差的绝对值为的概率为，故选B.6. （5分）（2015?嘉兴二模）已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值为（） A 6 B 4 C 2

4、 D 4参考答案：C【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，4），此时z=124=2，故选：C【点评】： 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法7. 若复数在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数A1B1CD参考答案：C，所以，故选C8. 下列函数中，既是奇函数又是增函数

5、的为()A B C D参考答案：D【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A不是奇函数，B不是增函数，C不是增函数，只有D既是奇函数又是增函数故答案为：D9. 函数在区间上的最大值的最小值是（ ） A B C1 D2参考答案：答案：B 10. 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限参考答案：D，所以对应点位，在第四象限，选D.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在极坐标系中，圆C1的方程为=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=

6、参考答案：或5考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程 专题：直线与圆分析：先根据2=x2+y2，x=cos ，y=sin ，将圆C1的方程化成直角坐标方程，再利用同角三角函数关系消去，可得圆C2的直角坐标方程，最后根据圆C1与圆C2相切，分为外切的内切两种情况讨论，利用圆心距与半径之间的关系建立方程，求实数a的值解答：解：圆C1的方程为=4cos（），C1的方程化为=4cos +4sin ，则2=4cos +4sin ，由2=x2+y2，x=cos ，y=sin ，得x2+y24x4y=0，圆心C1坐标为（2，2），半径r1=2，圆C2的参数方程是，其普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a

7、2，以C2的坐标是（1，1），r2=|a|，两圆相切，当外切时|C1C2|=|a|+2=3，解得a=，内切时|C1C2|=|a|2=3，解得a=5a=或5故答案为：或5点评：本题考查参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用解题时要认真审题，把极坐标方程合理地转化为普通方程12. 设定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于 参考答案：5考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；数形结合；分类讨论分析：根据已知中函数的解析式，我们可以画出函数的图

8、象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1，x2，x3时，x1，x2，x3的值，进而求出x12+x22+x32的值解答：解：函数的图象如图所示：由图易得函数的值域为（0，+）令t=f（x）则方程f2（x）+bf（x）+c=0可化为t2+bt+c=0，若此方程无正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0无根若此方程有一个非1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有两根；若此方程有一个等 1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有三根；此时t=f（x）=1，x1=0，x2=1，x3=2，x12+x22+x32=5若此方程有两个非1的正根，

9、则方程f2（x）+bf（x）+c=0有四根；若此方程有一个非1，一个等1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有五根；综上x12+x22+x32=5故答案为：5点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1，x2，x3时，所满足的条件是解答醒本题的关键13. 已知某圆的极坐标方程为，若点在该圆上，则的最大值是_参考答案：略14. 如图，已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点A在双曲线的右支上，线段AF1与双曲线左支相交于点B，F2AB的内切圆与BF

10、2相切于点E，若|AF2|=2|BF1|，则|BE|=参考答案：【考点】双曲线的简单性质【分析】设|BF1|=m，则|AF2|=2m，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+2m，|BF2|=m+2a，|EF2|=m+2a|BE|，再由内切圆的性质，求得a解得|BE|=2a=2【解答】解：设|BF1|=m，则|AF2|=2m，由双曲线的定义有|AF1|=|AF2|+2a=2a+2m，|BF2|=m+2a，|EF2|=m+2a|BE|AB|=|AF2|EF2|+|BE|=2m（m+2a|BE|）+|BE|AF1|=|AB|+|BF1|即有2a+2m=2m（m+2a|BE|）+|BE|+m，解得|BE

11、|=2a=2故答案为：215. 已知函数是以2为周期的偶函数，且当时，则的值_.参考答案：16. 若函数有最小值，则实数的取值范围为 。参考答案：【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】-3，3 f（x）=|3x-1|+ax+3=函数f（x）有最小值的充要条件为，即-3a3，故实数a的取值范围是-3，3故答案为：-3，3【思路点拨】化简函数f（x）的解析式f（x）=|3x-1|+ax+3=，f（x）有最小值的充要条件为，由此求得实数a的取值范围17. 已知实数若x、y满足，则的最小值是_参考答案：5【分析】将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】，所以，当且

12、仅当时，即当时，等号成立.因此，的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（ab0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=与C1，C2各有一个交点，当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合（）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；（）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，

13、l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（） 曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在x轴上的椭圆当=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由此能求出a，b（） C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和，当时，射线l与C1的交点A1的横坐标为，与C2的交点B1的横坐标为，当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对

14、称，由此能求出直线A1 A2 和B1B2的极坐标方程【解答】（本题满分10分）【选修44 坐标系统与参数方程】解：（）曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C2的参数方程为（ab0，为参数），曲线C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在x轴上的椭圆当=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），这两点间的距离为2，a=3当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），这两点重合，b=1（） C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和当时，解方程组，得A1（，），即射线l与C

15、1的交点A1的横坐标为，解方程组，得B1（，），与C2的交点B1的横坐标为当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称因此，直线A1 A2、B1B2垂直于极轴，故直线A1 A2 和B1B2的极坐标方程分别为，19. 如图，已知斜三棱柱ABC一A1B1C1，BCA=90，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1AC1（）求证：AC1平面A1BC；（）求二面角AA1BC的平面角的余弦值参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）推导出BCAC，BCAC1，BA1AC1，由

16、此能证明AC1平面A1BC（2）推导出平面A1AB平面BCF，过C作CHBF于H，则CH面A1AB，求出CH=，过H作HGA1B于G，连CG，则CGA1B，从而CGH为二面角AA1BC的平面角，由此能求出二面角AA1BC的平面角的余弦值【解答】证明：（1）因为A1D平面ABC，所以，平面AA1C1C平面ABC，又BCAC，所以，BC平面AA1C1C，得BCAC1，又BA1AC1，所以，AC1平面A1BC解：（2）因为AC1A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，故AA1=AC=2，又D为AC中点，知A1AC=60，取AA1的中点F，则AA1平面BCF，从而，平面A1AB平面BCF，过C作CHBF

17、于H，则CH面A1AB，在RtBCF，BC=2，CF=，故CH=，过H作HGA1B于G，连CG，则CGA1B，从而CGH为二面角AA1BC的平面角，在RtA1BC中，A1C=BC=2，所以，CG=，在RtCGH中，sinCGH=，cosCGH=故二面角AA1BC的平面角的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20. 已知点，点A是直线上的动点，过A作直线，线段AF的垂直平分线与交于点P.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点M、N是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线PF的斜率为k，求的取值范围.参考答案：（1

18、）；（2）【分析】（1）根据题意得到：点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，再利用抛物线的定义即可得到曲线的方程.（2）首先设，点，点，求出直线的方程，根据圆心到直线的距离为，得到，同理得到，即是关于的方程的两根，再根据韦达定理得到，再求的范围即可.【详解】（1）因为点，点是直线上的动点，过作直线，线段的垂直平分线与交于点，所以点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）设，点，点，直线的方程为：，化简得，因为的内切圆的方程为，所以圆心(0,0)到直线的距离为1，即，整理得：，由题意得，所以上式化简得，同理，有.所以是关于的方程的两根，.所以，因，所以，直线的斜率，则，所以，因为函数在单调递增，所以，所以0.即的取值范围是.【点睛】本题第一问考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程，第二问考查直线与圆相切，同时考查了抛物线的性质，属于难题.21. （本题满分12分）已知数列为等差数列，且（）求数列的通项公式； （）证明：。参考答案：（I）设等差数列的公差为d.由得即d=1.所以即 （II）证明： ，22. （本题满分14分）已知正项数列的前项和为，且.（1）求的值及数列的