动量定理动力

1、第十一章 动量定理长春工程学院土木学院力学教研室2007年10月知识回顾1、点的速度合成定理点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。2、平面图形内各点速度3、质点的运动微分方程速度瞬心法基点法速度投影定理 本章重点、难点 重点 刚体的平动及其运动特征。 刚体的定轴转动，转动方程、角速度与角加 速度。 转动刚体内各点的速度和加速度。 难点 用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。 本章重点、难点 重点 刚体的平动及其运动特征。 刚体的定轴转动，转动方程、角速度与角加 速度。 转动刚体内各点的速度和加速度。 难点 用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。 本

2、章重点、难点 重点 质点系动量的计算。 质点系的动量定理及其守恒的应用。 质心运动定理及其守恒的应用。 难点 质点系的动量定理及其守恒的应用。 质心运动定理及其守恒的应用。 物体在传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它们的质量有关。例如：枪弹质量虽小，但速度很大，对障碍物可以产生很大的冲击力； 轮船靠岸时，速度虽小，但质量很大，操纵稍有疏忽，足以将船撞坏。s球拍击球；铁锤打击锻件； 动量机械运动量的度量物体之间的机械运动的相互传递：？偏心转子电动机工作时会不会有运动； 为什么会左右运动； 这种运动有什么规律；会不会上下跳动；工程中的实际问题？放在光滑水平面上的人车系统

3、，当人向前移动时，小车怎么运动。工程中的实际问题？ 蹲在磅秤上的人站起来时 磅秤指示数会不会发生的变化工程中的实际问题工程中的实际问题？水水池隔板光滑台面 抽去隔板后将会发生什么现象11-1 动力学普遍定理应用运动微分方程，是解决动力学问题的基本方法但是在许多实际问题中，由微分方程求积分会遇到困难。且质点系的动力学问题需要列出质点系中每一质点的运动微分方程，并根据边界条件确定质点间相互作用力和运动的关系，然后求解联立方程，一般很困难，有时甚至不可能。为了解决这类问题，需要研究动力学普遍定理，它们有动量定理、动量矩定理和动能定理。动力学的普遍定理都可以由牛顿定律推导出。 圆轮作纯滚动，求角加速度

4、a 。11-2 质点动量定理质点的动量 质点的质量与质点速度的乘积质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质点速度的方向一致。 其单位为 kgm/s 或 Ns1 动 量力的冲量 作用力与作用时间的乘积力的冲量是矢量，它的方向与力的方向一致。其单位为 Ns(牛顿秒）1 冲 量 冲量可以在直角坐标轴的投影，即：3 质点的动量定理 设质点的质量为m，作用力为F，由牛顿第二定律得 上式就是质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。 变力的冲量为： 对上式积分得： 上式就是质点动量定理的有限形式，即在某一时间间隔，质点动量的变化等于作用于质点的力在同一时间内的冲量。又称为

5、冲量定理。 应用动量定理时只要知道运动的开始和终了的瞬时，而不必考虑质点在这个过程中运动的状态。 动量定理都可以使用投影形式。 质点的动量守恒：若作用于质点上的力恒等于零，则该质点的动量保持不变。在某轴上也成立。例题111 小车自A处依靠重力从静止沿着与水平面成倾角的轨道滑下（图112）。已知小车的运动阻力为车重的1，小车自A处到O处的时间为t10s。求小车到达O处时的速度。 aAOyxNFG图112解：取小车为研究对象，并视为质点。受力分析如图所示。坐标如图所示，设小车到达O处的速度为u,根据质点动量定理在x轴的投影有 阻力习题 锤的质量m3000 kg，从高度h1.5 m 处自由下落到受锻

6、压的工件上，工件发生变形历时 t 0.01 s ；求锤对工件的平均压力。解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均反力 N*表示。锤自由下落时间 锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量G29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。习题 滑块C的质量为m19.6 kg ，在力P866 N的作用下沿倾角为30o的导杆AB运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑块与导杆的动摩擦系数f0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v2 m/s 所需的时间。 解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。由动量定理得由(2)式得代入(1

7、)式，求得所需时间为从而摩擦力为11-3 质点系的动量定理1 质点系的动量质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和。动量的主矢 质点系的质量与质心速度的乘积。例111 求图示系统的动量。已知：质量为m1 ，半径为R的均质圆盘与质量为m2 ，长度为l的均质杆铰接于点A。图示瞬时圆盘质心速度为uA ，AB杆的角速度为w。 解：设AB杆质心的速度为 ，由运动学可知：ueuruCOyAwBquACx速度一定要用绝对速度求图示各质点系的动量K=0K=0K=2mK=mlK=m C1OO1(a)OCm2l(c)C(e)ABOv(b)mmvCO(d)mAOBtC 习题 椭圆规机构中，OCACCBl；滑块A和B

8、的质量均为 m，曲柄OC和连杆AB的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度 绕O轴旋转。图示位置时，角度 t 为任意值。求：图示位置时，系统的总动量。uBuAD解：第一种方法：先计算各个质点的动量，再求其矢量和。ABAB = uC解：第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。 质点系的质心在C处，其速度矢量垂直于OC，数值为：系统的总质量mC= mA+ mB=2m系统的总动量大小uC= l 方向沿 uC 方向AOBtCuBuADABuC例题114 已知两物块的质量分别为m1、m2，棱柱3的质量为m3。若物块1沿棱柱斜面下滑的相对速度为u1，与此同时，棱柱3在水平地面向右滑动的速

9、度为u1 。若均质滑轮的质量为m4，半径为r。绳子不可伸长，其质量略去不计。试求整个系统具有的动量。 解：各物体的运动速度分列如下：其绝对速度沿图中x、y方向的投影为物块1的相对速度为：其绝对速度沿图中x、y方向的投影为整个系统的动量为：棱柱3的绝对速度为：轴心B的决对速度为：滑轮的相对角速度为：物块2的相对速度为：u3y60O213BrOxu1习题 OA杆绕O轴逆时针转动，均质圆盘沿OA杆纯滚动。已知圆盘的质量m20 kg，半径R100 mm。在图示位置时，OA杆的倾角为30o，其角速度w11 rad/s，圆盘相对OA杆转动的角速度w24 rad/s，, 求圆盘的动量。于是所以方向水平向右。

10、解:取C为动点，动系与OA固连习题 两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位置时，OA杆的角速度为w，AB杆相对OA杆的角速度亦为w。求此瞬时系统的动量。解：由刚体系统的动量公式其中：方向水平向右。mvC1mvC2OABC1C2wwr=wAB作平面运动2. 质点系的动量定理 其中：设有n个质点M1、M2、Mn 所组成的质点系。质点系内各质点所受的力可以分为内力和外力。质点系内各质点间互相作用的力称为质点系的内力，以F i表示；质点系以外的物体作用于质点系内各质点的力称为质点系的外力，以F e表示。对于第i个质点有：对于质点系中每个质点都可以写出一个这样的方程，相加得这就是微分形式的

11、质点系动量定理或：微分形式积分形式将上式两边均乘以dt，并积分得到这就是有限形式（积分形式）的质点系的动量定理，又称冲量定理。两种情况均可以投影在直角坐标轴上，得到3. 质点系动量守恒定律 若作用于质点系的外力的主矢恒等于零，即F e0质点系的动量保持不变。若作用于质点系的外力的主矢在某一轴上的投影恒等于零，即 Fxe0 ，质点系的动量在该轴上的投影保持不变。动量守恒定理实例在光滑的水平面上的人车系统，当人从车一端走向另一端时，车身一定向前移动。质心位置不变。在光滑的水平面上偏心转子电动机工作时，由于水平方向(x轴方向)不受力，所以系统质心水平位置保持不变。结束 习题锻锤 A 的质量 m =

12、3 000 kg，从高度 h = 1.45 m处自由下落到锻件 B 上。假设锻锤由接触锻件到最大变形的时间t = 0.01 s，求锻锤作用在锻件上的平均碰撞力。Bmgv0=0vvmgFBAOyhA解： 取锻锤作为研究对象。它从高度 h 自由下落到锻件产生最大变形的过程，可分成两个阶段。 1. 碰撞前的自由下落阶段。从而求得碰撞前锻锤速度的大小锻锤只受重力作用，自由落体得 该阶段锻锤受重力 mg 和锻件对锻锤的碰撞力（设其平均值为 FB）的作用，写出动量定理在铅直轴 y 上的投影式，并注意锻件变形最大时锻锤速度为零。有0 mv = mgt FB t从而求得代入求出的速度 v 和已知数据，即得FB

13、 = 16.3 102 kNBmgv0=0vvmgFBAOyhA2. 锻锤由开始接触锻件到最大变形阶段。例题112 如图表示流体流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的理想流体，而且流动是定常的。求流体对管壁的作用力。aaa1a1b1b1bbubua从管中取出所研究的两个截面aa与bb之间的流体作为质点系。时间间隔 dt 内质点系动量的变化为 解：设想经过无限小的时间间隔dt，这一部分流体流到两个截面a1a1与b1b1之间。令qu为流体在单位时间内流过截面的体积流量，为密度。则质点系在时间dt内流过截面的质量为aaa1a1b1b1bbubua将动量定理应用于所研究的质点系，质点系受力有：重力

14、W、管壁对质点系的作用力F，以及截面受到流体的压力Fa和Fb，则有 FWFaFb消去时间dt，得 若将管壁对于流体的约束力F分为两部分：F为与外力W，Fa和Fb相平衡的管壁静约束力。F为由于流体的动量发生变化而产生的附加动约束力。即F由下式计算： 附加动约束力由下式确定： 设截面aa与bb的面积分别为Sa和Sb，由不可压缩流体的连续性定律知 因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附加动约束力。 如图为一水平等截面直角弯管，流体对管壁的附加作用力大小等于管壁对流体作用的附加动约束力，即由此可见，当流速很高或管子截面积很大时，附加动压力很大，在管子的弯头处应该安装约束。 u2u1Oxy在应用前面

15、的公式时应取投影形式。习题 一水柱以速度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A，密度为，水柱离开叶片时的倾角为，不计水柱的重量。若叶片固定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量Fx和Fy。 解：选择叶片上的水柱为研究对象。因AB、CD两处截面积A和密度 均相等，所以v1v2v，叶片仅改变水流速度的方向。 解：选择叶片上的水柱为研究对象。因AB、CD两处截面积A和密度均相等，所以v1v2v，叶片仅改变水流速度的方向。 向x轴投影向y轴投影习题 一个网球质量为 0.125 kg, 飞来的初始速度为v0 =2.5j-2 k m/s, 球拍施加变力为F=1.0

16、 t i N，作用时间为 0.5s后，网球飞回，求飞出时的速度。解： 1) 取网球为研究对象3）运动分析网球初始动量：2）力分析外力有重力mg , F网球末动量：4） 质点动量定理s习题 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v03.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。解：研究系统，建立坐标系。代入已知数据，解得v3 m/s设沙箱滑动结束后车速为v，则有再以小车为研究对象，由动量定理有代入已知数据，解得 F0.5 kN习题 如图所示，质量为 mA 的均质三棱柱A在重力作用下沿着质

17、量为mB的大均质三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱倾角为q。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求：(1) B的加速度；(2) 地面的支反力。解：先对系统进行运动分析，建立如图坐标，设B的速度为vB，A相对B的速度为vr，则于是系统受力如图。因SFx(e)0，且初始系统静止，有 两边对t求导再以A为研究对象，受力如图，由有即 联立求解(1)、(2)、(3)式得最后以整体为研究对象，得将（1）式代入上式则得即 习题 图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的反力。解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设A下降的速度为vA，B上升的速度为vB，则由

18、运动学关系得系统的动量在坐标轴上的投影为由质点系的动量定理注意到可得Pv030Q例 题4求：炮身的反冲速度和地面的平均反力。已知：P=40N，Q=8kN，t =0.05s， u0=500m/s, 忽略地面摩擦。解：取系统为研究对象FNvPv030QFNv课程总结1、质点系的动量定理 建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、速度和时间的动力学问题。2、质点系动量守恒定理 可以用于求解系统中的速度，以及与速度有关的量。K = C1Kx = C1x，或 Ky = C1y，或 Kz = C1z谢谢同学们12-4 质心运动定理M1M2MnzOxyrCCriMi1 质量中心设有n个质点M1、M2、Mn所组

19、成的质点系，其中任一质点Mi的质量为mi，其矢径为ri，质点系的质量之和 ，根据质点系质心的位矢公式。上式所确定的点C称为质点系的质量中心（简称质心），其位置坐标为：上式若在右边的分子与分母同时乘以重力加速度g，就是重心的公式，可见在均匀重力场内，质点系的质心与重心重合。质心完全取决于质点系各质点的质量大小及其位置的分布，而与所受的力无关，重心只在质点系受重力作用时才存在。 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和质心运动定理。2 质心运动定理由 求导得：根据质点系的动量定义有：将上式求导：结合质点系的动量定理有：定 向 爆 破 质心运动定理的实例分析 为了某种工程需要，人们

20、想削去一座山头或想拆掉一座楼房而不影响周围的建筑，往往采用定向爆破。 定向爆破时，为了确保周边一定范围以外区域内建筑物以及人身安全，必须预先计算爆破飞石散落的地点。你知道爆破飞石散落的地点是根据什么计算出来的吗？ 就是质心运动定理。 质心运动定理的实例分析 驱动汽车行驶的力直角坐标轴上的投影式自然轴上的投影式 质心运动量守恒定律 质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心的位置始终保持不变。vCx =常数；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。质心运动定理 质心运动守恒的实例分析放在光滑板上的电动机的质心运动 例题113 电动机的外壳和定子的总质量为 m1 ,质心C1与转子转轴 O1

21、 重合 ；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ，偏心距 O1O2 = e 。若转子以等角速度 旋转。 求：底座所受的约束力。解：（1）取电动机为研究对象，确定电动机质心坐标。由质心运动定理得对上式求两阶导数 例题结果讨论1） 机座的约束力由两部分组成一部分由重力（主动力）引起的，称为静约束力（静反力）；另一部分是由于转子质心运动变化引起的，称为附加动约束力。2） 附加动约束力的最大值和最小值时时时时3） 附加动约束力与w2成正比，当转子的转速很高时，其数值可以达到静约束力的几倍，甚至几十倍；而且这种约束力是周期性变化的，必然引起机座和基础的振动，还会引起有关构件内的交变应力。当Fym

22、in0时不固定时跳起。例题114 均质曲柄AB长r，质量为m1，假设受力偶作用以不变的角速度转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2 ，质心在点C。在活塞上作用一恒力F。滑块B质量为m，不计摩擦，求作用在曲柄轴A处的水平反力Fx。 BCbDFFxxyABCbDFFxxyA 选取整个机构为研究的质点系。解：Em1gm2gFyFNmgaEaBaC即由质心运动定理求得作用在曲柄轴A处的水平反力 得BCbDFFxxyA 选取杆AB和滑块B为研究的质点系。解：E即由质心运动定理求得作用在曲柄轴A处的竖直反力 得如何求作用在曲柄轴A处的竖直反力？ F1m1gFymg

23、FxAEaEaBB 例题结果讨论习题 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析，水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止；则设大三角块速度，小三角块相对大三角块速度为 ，则小三角块运动分析， 习题 质量为 m 长为 2l 的均质杆OA绕水平固定轴O在铅垂面内转动，如图。已知在图示位置杆的角速度为w ，角加速度为a 。试求此时杆在O轴的约束反力。解1：用质心运动定理。以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解得 解2：用动量定理。以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标

24、。由得解得s习题求：船的位移m1gm2gm1gm2gab解：取系统为研究对象Oxy解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。习题 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。受力分析如图示，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。船的位移x，杆的位移重物的位移计算结果为负值，表明船的位移水平向左。习题 匀质曲柄OA质量为m1、长为r，以匀角速度绕O转动，带动质量

25、为m3的滑槽作铅垂运动，E为滑槽质心，DEb，滑块A的质量为m2。当t=0时，0。不计摩擦，试求30时：(1)系统的动量；（2）O处铅直方向的约束力。 解：建立坐标系如图。系统质心坐标为：将xC、yC分别对t求导，得 、 ，当=30时，系统的动量为 将 再对t 求导，得 ，由 ，当=30时得 关于质心运动轨迹的再讨论 电动机系统的质心始终在一条竖直线上，电动机会水平运动。 转子的质心轨迹是一个椭圆是椭圆规的力学模型 偏心转子电动机工作时会发生水平运动吗。 关于电动机水平运动的再讨论确定电动机外壳在水平方向运动方程外壳质心的速度，x轴正向转子质心的速度得到电动机运动微分方程：微分方程求解过程：

26、简谐运动 关于电动机跳起条件的再讨论电动机跳起的条件分析y方向的约束反力为当偏心转子质心O2运动到最上方时， t=p/2,电动机跳起的条件 回到一开始的几个问题？水容器隔板光滑台面 抽去隔板后将会发生什么现象 当隔板抽起时，水将向右边移动，水的质心向右移动，由于水池放在光滑台面上，系统在水平方向上无外力，根据质心运动守恒定理，系统质心的位置不变，所以水池将向左移动。 回到一开始的几个问题 由于人质心上移，必有竖直方向的外力，所以指针应增大。？蹲在磅秤上的人站起来时磅秤指示数会不会发生的变化？放在光滑面上的人车系统，当人向前移动时，小车怎么运动 回到一开始的几个问题 由于小车水平方向不受力，所以

27、质心运动守恒，即质心的位置不动，人向右运动，小车向左运动课程总结1、质点系的动量定理 建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、速度和时间的动力学问题。2、质点系动量守恒定理 可以用于求解系统中的速度，以及与速度有关的量。K = C1Kx = C1x，或 Ky = C1y，或 Kz = C1z3、质心运动定理 质心运动定理建立了质点系质心运动与系统所受外力主矢之间的关系。uC = C2uCx = C2x，或 uCx = C2y，或 uCz = C2z4、质心运动守恒定理课程总结谢谢大家 作业 1181191118质心运动定理 质心运动定理建立了质点系质心运动与系统所受外力主矢之间的关系。 质心运

28、动定理可以用于求解作用在系统上的未知外力，特别是约束力。 质心的运动与内力无关，内力不能改变系统整体的运动状态(系统质心的运动)，但是，内力可以改变系统内各个质点的运动状态。结论与讨论质心运动守恒定理 如果作用在质点系上的外力主矢等于0，则系统的质心作惯性运动：若初始为静止状态，则系统的质心位置始终保持不变。uC = 常矢量uCx = C2，或 uCx = C2，或 uCx = C2 如果作用在质点系上的所有外力在某一坐标轴上投影的代数和等于0，则系统的质心的速度在这一轴上的投影等于常量：若初始速度投影等于0，则系统的质心在这一坐标轴上的坐标值保持不变。结论与讨论例10-2 质量为mA的小棱柱体A在重力作用下沿着质量为mB的大棱柱B的斜面滑下，设两柱体间的接触是光滑的，其斜角均为，如图。若开始时，系统处于静止，不计水平地面的摩擦。试求此时棱柱体B的加速度aB。 解：由整体受力图看出， ，所以整个系统在 x 方向的动量守恒。