大学物理竞赛辅导电学课件

1、 从场的角度认识1 电流和电流密度方向：正电荷运动的方向单位：安培一.电流强度(宏观量) current strength大小：单位时间内通过导 体某一横截面的电量 从场的角度认识1 电流和电流密度方向：正电荷运动的方向需要引入描述电流的空间分布的物理量电流密度电流场：导体内每一点都有对应的需要引入描述电流的空间分布的物理量电流密度电流场：导体内二.电流密度(微观量) current density大小:垂直于电流方向的单位面积上的电流强度。 方向为该点正电荷定向移动的方向。1.导体中某点的电流密度 单位：安培/米2二.电流密度(微观量) current density大小:与同向与反向载流子

2、数密度为设每个载流子电量为平均漂移速度的大小矢量式与同向与反向载流子数密度为设每个载流子电量为平均漂移速度的大电流场中的电流线2.电流密度和电流强度的关系 “一个矢量场和它的通量的关系”电流场中的电流线2.电流密度和电流强度的关系 “一个矢量场和“电流线发出于正电荷减少的地方,终止于正电荷增加的地方”.线三.电流连续性方程电流线流出封闭面即电流流出时：电流线流进封闭面即电流流进时：因为电荷守恒定律,则有封闭面内电荷减少封闭面内电荷增加“电流线发出于正电荷减少的地方,终止于正电荷增加的地方”.线2 稳恒电流与稳恒电场二.稳恒条件电流场中每一点的电流密度的大小和方向均不随时间改变.一.稳恒电流封闭

3、面上的电流密度的通量等于零。 或流进封闭面的电流等于流出封闭面电流。或稳恒电流的电路必须闭合。线2 稳恒电流与稳恒电场二.稳恒条件电流场中每一点的电流密度 节点电流定律 (基尔霍夫第一定律) 稳恒电路中流入节点的电流等于流出节点的电流 由稳恒条件可得出几个结论-导体表面电流密度矢量均无法向分量(沿轴向). -对无分支稳恒电路,各横截面电流强度相等. 节点电流定律 (基尔霍夫第一定律) 三.稳恒电场1.稳恒电场-对稳恒电路,导体内存在稳恒电场.-对稳恒电场,由不随时间改变的电荷分布产生.2.稳恒电场和静电场比较 相同之处: -电场不随时间改变. -满足高斯定理. -满足环路定理,是保守场引入电势

4、. 回路电压定律(基尔霍夫第二定律) 稳恒电路中沿任何闭合回路的电动势之和等于电压降之和三.稳恒电场1.稳恒电场-对稳恒电路,导体内存在稳恒电场.不同之处： -产生稳恒电流的电荷是运动的电荷,电荷分布不随时间改变. -稳恒电场的存在伴随着能量的转移.不同之处： 一.电源及电源的作用 非静电力electromotive force 非静电力场强non-electrostatic force二.电动势把单位正电荷经电源内部由负极移向正极过程中非静电力所作的功.场中某点的非静电场强为单位正电荷在该点受的非静电力.3 电动势一.电源及电源的作用 二.电动势场中某点的非静电场强为单位正例：例：一.欧姆定

5、律一段无源电路的欧姆定律 a）积分形式 b）微分形式导体中任一点电流密度的方向(正电荷运动方向)和该点场强方向相同. 4 欧姆定律和电阻一.欧姆定律导体中任一点电流密度的方向(正电荷运动方向)和该欧姆定律的微分形式欧姆定律I对于柱形材料 :电阻率:电导率:电导率欧姆定律的微分形式欧姆定律I对于柱形材料 :电阻率:电导率:欧姆定律的微分形式 的推导在导体内假想一个柱体 导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度成正比，两者方向平行欧姆定律的微分形式 的推导在导体内假想一个柱体 导体中任意一例：如图，两边为电导率很大的导体，中间两层是电导率分别为 和 的均匀导电介质，它们的厚度分别为d1和d2，导

6、体的横截面积为S，流过的电流为I。求：（1）两层导电介质中的电场强度；（2）每层导电介质两端的电势差。 微分欧姆定律举例例：如图，两边为电导率很大的导体，中间两层是电导率分别为 解：（1）由欧姆定律的微分形式，有：于是： （2）根据电势的定义可得：解：（1）由欧姆定律的微分形式，有：于是： 恒定电流电路定律一、电路上两点的电势差欧姆定律微分形式的推广计算、两端的电势差而一段含源电路。 恒定电流电路定律一、电路上两点的电势差欧姆定律微分形式的推广1. 不含源的简单电路：2. 闭合电路：讨论：。 或简单电路的欧姆定律闭合电路的欧姆定律1. 不含源的简单电路：2. 闭合电路：讨论：。 或约定：III

7、R-IR一段含源电路。 约定：IIIR-IR一段含源电路。 3.闭和回路的欧姆定律2.一段有源电路的欧姆定律3.闭和回路的欧姆定律2.一段有源电路的欧姆定律 二.电阻 二.电阻半径为a例：半径为a例：解：例 一半径为 的 半球形电极埋在大地里，大地视为均匀的导电介质，其电导率为 ，求接地电阻。rI跨步电压若通有电流I，求半径为 ， 两个球面的电压。解：例 一半径为 的 半球形电极埋在大地里，大地另一种解法： rI另一种解法： rI直流电源作用在元件上，电流从0I，是过程中的现象 U 、I是变化的，欧姆定律、基尔霍夫定律是否还适用？虽然 U、I随时间变化，但满足似稳条件满足似稳条件的电路中，可以

8、用欧姆定律积分形式和基尔霍夫方程组来处理问题 5 暂态过程直流电源作用在元件上，电流从0I，是过程中的现象 5 LR电路中的暂态过程 充磁： K接通1，电能转变成磁能 微分方程用分离变量法 LR电路中的暂态过程 充磁： K接通1，电能转变成磁能 微分讨论时间常数：是电流从0增加到0.63I0所需时间放磁：电流达到稳定值后， 将K拨到2 讨论时间常数：是电流从0增加到0.63I0所需时间放磁：电RC电路中的暂态过程充电： K接通1放电： K接通2RC电路中的暂态过程充电： K接通1放电： K接通2LCR暂态过程关于q的二阶常系数微分方程电路方程的解的形式与电路阻尼度有密切关系 LCR暂态过程关于

9、q的二阶常系数微分方程电路方程的解的形式与三种阻尼状态 显然阻尼度与R 、L、C取值有关，电感、电容是储能元件，电阻是耗散性元件，其大小反映电路中电磁能耗散的情况三种阻尼状态 显然阻尼度与R 、L、C取值有关，电感、电容是6 电路的典型问题：已知全部电源的电动势、内阻和全部负载电阻，求每一条支路的电流； 已知某些支路的电流，求某些电阻或电动势。基尔霍夫电路定理给出了把这些物理量联系起来的完备方程组，从而普遍地解决了电路的计算问题。 6 电路的典型问题：已知全部电源的电动势、内阻和全部负载电基尔霍夫第一定律（节点电流方程）规定流向节点的电流为负，从节点流出的电流为正汇于节点的各支路电流强度的代数

10、和为零 若一个完整电路共有n个节点，则可以写出n-1个独立的节点方程基尔霍夫第一方程组 基尔霍夫第一定律（节点电流方程）规定流向节点的电流为负，从节基尔霍夫第二定律（回路电压方程）沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变 写方程的约定 规定其绕行方向（可以任意规定）标定一个电流方向解出 I0，实际电流与标定一致解出 I0，右侧导体板带电量Q，其右侧相距d处有一个质量为m，电量为-q（q0）的粒子P。导体板静电平衡后，P从静止释放，假设它可自由穿越导体板，且不会影响板上的电荷分布，试问：经过多长时间T，多长路程S后，P第一次返回其初始位置？dd3QQSQ1Q2-Q2Q1Pm，-qE1E2E328届

11、13.（15分）如图所示，面积同为S的两块相同导体薄平28届15.（20分）如图所示电路中，t0时，电容充电过程已经完成。t=0时，接通电键K。将接通前瞬时时刻记为t=0- , 接通后瞬时时刻记为t=0+。t0+时，按图中虚线所示方向设定各路电流I1、I2、IC和I3的流向。（1）写出t=0-时刻A、B间电压UAB(0-)和I1(0-)、 I2(0-)以及电容器上方极板电量Q(0-)；（2）写出t=0+时刻A、B间电压UAB(0+)和I1(0+)、 I2(0+)、 IC(0+)、 I3(0+)以及电容器上方极板电量Q(0+)；（3）导出任意t0+时刻的I1(t)、 I2(t)、 IC(t)、

12、I3(t)以及电容器上方极板电量Q(t)。R1R2R3I1I2ICI3KBA28届15.（20分）如图所示电路中，t0的粒子，以初速v0开始运动，若v0与B的夹角为锐角，则粒子运动的轨道是等距螺旋线，它的旋转半径（注意：并非螺旋线的曲率半径）R= ，螺距H= 。Bv螺距回转周期回转半径28届6.（6分）在均匀磁场B的空间中，质量m，电量q0的28届7.（6分）半径R，电流I的大圆环，在其中央轴距环心x处的磁感应强度大小为B(x)= 。有一半径为rR的小圆环，环心位于x点，环平面与x轴垂直，如图所示，则小圆环与大圆环之间的互感系数近似为M= 。OIRxxr0。可以过圆周上的P1或P2或P3点设置

13、一个竖直、光滑、绝缘转轴， P1、P2、P3点的方位已经在图中示出。设置转轴后，从静止释放的圆板便会作定轴转动，转动角速度的最大值依次记为1max，2max ，3max ，三个中最大者为 。当角速度达到此值时，转轴提供的支持力大小为 。桌面qmR4590P3P2P1EE27届2.（6分）如图27届6.（6分）真空中一个正点电荷q处于一立方体内中心处，则通过该立方体表面的总电通量为 ；通过该立方体的上表面的电通量为 。acdbq27届6.（6分）真空中一个正点电荷q处于一立方体内中心处，17届7.半径为R的半球面A的球心 O位于O-z轴上距O点R处，半球面横截面与O-xy面平行，坐标原点O处有一

14、电量为q的点电荷，则半球面A的电通量 . 解：以 为半径作一球面，它被半径为R的半球面截下一球冠，球冠的高度为 ，球冠的面积为：球冠对点电荷q张的立体角为：已知点电荷q在 立体角内的电通量为 ，故在球冠上的电通量为：17届7.半径为R的半球面A的球心 O位于O-z轴上距O点27届7.（6分）已知空气的击穿场强为E0，则置于空气中的半径为R的球形高压起电器（可看作图示导体球壳置于绝缘底座上）最高电压为 ；若此高压起电器置于真空中，导体球壳上所带电量有无上限（回答有、无、不确定），并说明原因 。有，表面受扩张力，电量太大，则扩张力太大，导致导体壳撑破R27届7.（6分）已知空气的击穿场强为E0，则

15、置于空气中的半ee2eaaOxr1r2x27届11.（15分）如图所示，水平面上两个带有电量+e的点电荷，距离为2a，有一粒子（所带电量为+2e），很快地从这两个点电荷中间穿过，其路径恰好在两点电荷连线的中垂线上。如果粒子的速度很快，以致于两点电荷在粒子穿过时仍保持静止，试求：（1）当粒子处在位置x处时，两点电荷构成的体系与粒子之间的相互作用能；（2） 粒子在那些位置时受作用力最大。ee2eaaOxr1r2x27届11.（15分）如图所示，水静电场中导体性质： （稳定状态）1.导体内处处无电荷积累；2.导体内电场强度处处为0.静电场中导体性质： （稳定状态）大学物理竞赛辅导电学SABCDqd1

16、d0d2ABCDR0RxrK1K227届15.（20分）四块面积同为S，原不带电的导体薄平板A、B、C、D依次平行放置，相邻间距很小，分别记为d1，d0，d2，如图所示。给B充以电量q0，再用图中虚直线所示的细导线连接B、C，最终达到静电平衡。（1）试求A到D的电势降UAD；现将图中所示系统达到静电平衡后，通过理想导线，电键K1和K2，电动势为的直流电源以及电阻分别为R0，Rx和r的电阻器连接成图中所示电路。开始时K1，K2均断开，而后接通K1，直到电路达到稳定状态。（2）试求该过程中从电源正极朝平板A流去的电量Q，并判断Q的正负号；最后再接通K2，测得流过电阻器r的电流强度始终为零。（3）设

17、Rx为未知量，试求Rx，并给出的取值范围。SABCDqd1d0d2ABCDR0RxrK1K227届126届6.（6分）如图所示，平行板空气电容器已经被直流电源充电到稳定状态，电容器存储的静电能记为W0.（1）不断开直流电源，通过外力让相对介电常数为r 的介质块从图示位置缓慢地全部进入电容器内，恰好填满两极板所夹空间，该过程中外力做功A1= W0。（2）若通过图中电键K先将直流电源断开，再通过外力让相对介电常数为r的介质块从图示位置缓慢地全部进入电容器内，该过程中外力做功量A2= W0。Kr电阻电源26届6.（6分）如图所示，平行板空气电容器已经被直流电源充由此可得 插入介质板后, 电容器中的静

18、电能为外力做的功等于静电能的增加, 即平行板中插入介质板后, 由于两极板间的电压不变, 因此电场强度也不变解 (1) 插入介质前电容器中静电能为因此 插入介质板后, 电容器中的静电能为外力做的功等于静电能的增加, 即(2) 由于断开电键后极板上的电荷不变, 因此 插入介质后电容器的电场为由此可得 插入介质板后, 电容器中的静电能为外力做的功等于静yzxPxu26届7.（6分）如图所示，无穷大均匀带电平面上的电荷面密度为，以平面上某点O为原点设置O-xyz坐标系，其中x轴与带电平面垂直，x轴上P点的坐标x0。令平面上的电荷一致地沿着y轴负方向匀速运动，速度大小为u，将 x，y 和 z 轴的方向矢

19、量记为 ， 和 ，那么P点的电场强度 = ，P点的磁感应强度 = 。yzxPxu26届7.（6分）如图所示，无穷大均匀带电平解 (1) 无限大带电平面的电场强度为(2) 无限大带电平面上沿 主轴负方向的电流密度为由于对称性, 如图所示的电流元dI1和dI2在P点产生的磁场沿x轴抵消. 由此可得P点处的磁感应强度为xyz0dI1dI2P解 (1) 无限大带电平面的电场强度为(2) 无限大带电平PROv026届12.（15分）如图所示，所在平面为某惯性系中无重力的空间平面，O处固定着一个带负电的点电荷，空间有垂直于图平面朝外的匀强磁场B。荷质比为的带正电粒子P，恰好能以速度v0沿着逆时针方向绕着O

20、点做半径为R 的匀速圆周运动。（1）将O处负电荷电量记为-Q，试求Q；（2）将磁场 B 撤去，P将绕O作椭圆运动，设在图示位置的处速度为v0，试求P在椭圆四个顶点处的速度大小。（本小问最后答案不可出现Q量。）PROv026届12.（15分）如图所示，所在平面为某惯性系解 : (1) 点电荷无重力, 在库仑力和洛仑兹力作用下作圆周运动设带电粒子P的电量为 q, 质量为m; 则粒子所受的库仑力为带电粒子P磁场中所受的洛仑兹力为带电粒子P所受的合力方向沿半径方向指向圆心O, 大小为带电粒子作圆周运动的向心力等于所受的合力, 即解 : (1) 点电荷无重力, 在库仑力和洛仑兹力作用下作圆(2) 撤去磁

21、场粒子只受库仑力作用, 由于开始库仑力大于所需向心力, 因此粒子将作椭圆运动. 设椭圆中心与点电荷Q的距离为x, 则根据角动量守恒定律, 1和2两个位置对点电荷Q有起始点也就是椭圆的最远端点, 该处速率最小, 大小为v0,由于该处速度垂直于半径, 因此起始位置的椭圆“半径”应小于该处库仑力对应的圆周半径, 如图所示.RQ由能量守恒定律有RQv2v3v4由(1)式得代入(2)式得将代入得(2) 撤去磁场粒子只受库仑力作用, 由于开始库仑力大于所需RQv2v3v4角动量守恒由对称性可得 v3= v4. 设位置3处椭圆的半径为R3, 则有由能量守恒定律有RQv2v3v4角动量守恒由对称性可得 v3=

22、 v4. 设位RQv2v3v4由(4)式得将R3和x 代入(5)式得将代入上式得RQv2v3v4由(4)式得将R3和x 代入(5)式得将代入RQv2v3v4由此解得, 试卷题解解法：RQv2v3v4由此解得, 试卷题解解法：26届14.（15分）导体内存在电场时就会有传导电流，电流密度 与电场强度 之间的关系为 ，其中 为导体电阻率。取一块电阻率为常量 的长方形导体块，静止放置，开始时处处无净电荷。（1） 开始，沿着导体块长度方向建立匀强电场 ，导体内即产生传导电流，左右两端面便会累积电荷，电荷面密度分别记为-，如图所示。试求随 t 变化的关系和图示方向电流密度 j 随 t 变化的关系；（2）

23、将（1）中的电场 改取为沿导体长度方向的交变电场 ，其中为正的常量。（2.1）试求-t 和 j-t ；（2.2）将t时的 j-t 表述成 ，试求 和 。26届14.（15分）导体内存在电场时就会有传导电流，电流密解 : (1) 设t时刻导体左右两端的电荷密度为-和 , 则由此产生的电场为因此导体内的总电场为由题意得, 积分得因此电流密度为解 : (1) 设t时刻导体左右两端的电荷密度为-和 (2) 根据(1)的分析, t时刻导体左右两端的电荷密度- 和 满足的方程为令 由提示得, (2) 根据(1)的分析, t时刻导体左右两端的电荷密度-将上述两式代入方程的解得, 由t=0时=0 , 得即将C

24、代入电荷密度式得将上述两式代入方程的解得, 由t=0时=0 , 得即将C代由此可得电流密度为由此可得电流密度为则有式中则有式中解: 1、2间的线剪断后, 1和2 向左运动, 3向右运动. 运动过程中只有静电场力做功, 因此能量守恒, 即312v3v1v2当三个小球在竖直方向成一直线时, 3的速度为最大.三个小球组成的系统所受合外力为零, 动量守恒, 即由(1)式得, 代入(2)式得, 25 届解: 1、2间的线剪断后, 1和2 向左运动, 3向右运动.312v3v1v2由此可得球3的最大速度, 312v3v1v2312312v3v1v2系统在运动过程中, 合外力为零, 质心不动.因此3运动的最

25、大距离为CCC25 届312v3v1v2由此可得球3的最大速度, 312v3v1v(2) 求球壳的电势: 由高斯定理可得, 球壳外的电场强度为因此球壳外表面的电势为解 静电平衡时, 球壳内表面带电-(Q+q), 外表面均匀带电Q+qQ+q-(Q+q)25 届(2) 求球壳的电势: 由高斯定理可得, 球壳外的电场强(1) 求导体表面的电势(ii) 球壳内表面的电荷在导体球上产生的电势为(i) 导体球的电荷在其表面产生的电势为(iii) 球壳外表面的电荷在导体球上产生的电势为(iv) 点电荷q 在导体球心位置产生的电势为Q+q-(Q+q)由此可得, 导体球上的电势为V1V4可以用电势叠加的方法加以

26、证明.(1) 求导体表面的电势(ii) 球壳内表面的电荷在导体球上由此可算出各节点的电阻: 123456BA解 (1) AB间等效电路图为12345612345625 届由此可算出各节点的电阻: 123456BA解 (1) 解25 届解25 届(3) 求均匀带电球面上的电场强度假设用一外力F缓慢朝里推移球面电荷, 如图所示, 向里推移dr所做的功为外力所做的功转化为电场能储存在向里推移形成的球壳内(球壳内原来无电场).球壳的体积为球壳内的能量密度为所需力的大小为根据第2问的结论, 球壳内的能量密度为由此得到球壳表面的电场强度为(3) 求均匀带电球面上的电场强度假设用一外力F缓慢朝里推移解: 随

27、时间变化的均匀磁场产生感生电场25 届解: 随时间变化的均匀磁场产生感生电场25 届解得在最高点处相切解得在最高点处相切例：原来不带电的导体球附近有一点电荷,如图所示。求（1）导体球上的电势；（2）若导体球接地，导体上感应电荷的电量解:设：感应电荷面密度为（1）导体是个等势体，若求出O点的电势，即为导体球的电势。例：原来不带电的导体球附近有一点电荷,如图所示。求（1）导体（2）导体球接地导体是个等势体，O点的电势为 0 ， 则：设：感应电荷面密度为（2）导体球接地导体是个等势体，O点的电势为 0 ， 则：例：在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分布，面电荷密度为。A点的坐标为(0, R/2)，B点的坐标为(3R/2,