数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法课件

1、4量纲分析建模法 在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的”数,而是反映事物某一特性的度量.用数加单位来表示具体度量；用量纲的概念来表示被度量的特性. 量纲分析法是一种有效的物理建模方法 一.单位SI 国际单位制（米千克秒）； fps 英制单位制（英尺磅秒） 一个模型中单位必须统一 二.量纲时间（T） 基本物理量质量（M）长度（L） 力学中，任何物理量都可以表示为其组合形式，称这种组合形式为物理量的量纲. 称为基本量纲其中 质量= m =M, 长度= l =L, 时间= t =T,部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如 角度=LL1=L0尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).量 纲 独 立

2、于 单 位三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量纲一致的,即有 左边 = 右边 1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验. 2. 无量纲化方法减少参数个数.例4.1.2 非线性震荡运动方程模型中有参数：m、K、C 令 x0=x(0) , w0 = , v0=x0 w0 ,根据量纲齐次性, 有 w0 =T1 , F =MLT2 , K =MT2, C = MT1. 引进无量纲量： T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0特点？原方程变形为 优点：1. 减少了参数的个数；2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.下(

3、g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力,求摆动周期t的表达式.求解 考虑问题中出现的物理量t、m、l、g，假设它们之间有关式 其中1,2,3是待定常数,是无量纲的比例常数.上式的量纲表达式为 (1)续例4.2.1 单摆运动的抽象设变量关系为f (t，m，l，g) =0， (3)假设各变量间的关系如下：(4)其中y1y4 是待定常数,是无量纲量. 各变量的量纲用基本量纲表示如下： t =L0M0T1, m =L0M1T0, l =L1M0T0, g =L1M0T2,(4) 式的量纲表达式为 根据量纲齐次性，有线性方程组成立解得方程组的一个解为代入(4)式有 或者(5)将此例一般化有以下定理Bu

4、ckingham Pi定理： 设有m 个物理量 q1，q2， qm , 而 f (q1，q2， qm )=0 (6)是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2, , Xn 是基本量纲,其中nm，q1，q2， qm 的量纲可表为 矩阵A=ai,jnm称为量纲矩阵. 若A的秩Rank(A)=r 若齐次线性方程组 AY=0 ( y是m维向量)的 mr个基本解为： ys=(ys1, ys2, , ysm)T , s=1,2, ,mr 为 mr 个相互独立的无量纲量,且 F(1, 2, ，mr)=0 (7) (f, l, h, v, g)=0 (8) 2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T,各物理

5、量的量纲表示为 3.写出量纲矩阵 (f) (l) (h) (v) () () (g) 方程有mr=73=4个基本解, 可取为4.求解齐次线性方程组 AY=0,因Rank (A)=r=3 f=l2v2(1,2,3)其中表示一个未定函数 用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析法难以得到 虽然函数的形式无从知道,但这个表达式在物理模拟问题中仍有用途.例4.2.3 物理模拟中的比例模型 利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力 量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变模型中的各物理量：原型中的各物理量： 有 当无量纲量 2. 合理

6、选择基本量纲3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解. 一般，在力学中选取L、M、T即可, 热学问题加上温度量纲，电学问题加上电量量纲Q).量纲分析建模方法有如下优缺点: 1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法，可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.2. 可将无关的物理量去掉. 3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量. 4. 方法有局限性，PI定理中的等价方程F()=0, 仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量. 5. 物理定律中常见的函数，如三角函数sin(),指数函数exp()等是无量纲的, 不可能用量纲分析法得到.任何建模方法都有局限性4.2.4 无量纲化例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速v, 星球半径r, 表面重力加速度g研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律3个独立参数 xc, tc的不同构造1）令的不同简化结果为无量纲量3）令为无量纲量2）令为无量纲量1）2）3）的共同点只含1个参数无量纲量解重要差别考察无量纲量在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？1)忽略项无解不能忽略项2)3)忽略项不能忽略项忽略项火箭发射过程中引力m1g不变 即 x+r r原问题可以忽略项是原问题的近似解为什么3)能忽略项，得到原