中考复习专题：隐圆

1、中考复习专题：隐型圆一、根据圆的定义作辅助圆例 1 如图，四边形 ABCD 中，ABCD, AB=AC=AD = p, BC=q，求 BD 的长.例2、如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如 果点Q从点A出发，沿图中所示方向按二一三一C 一二一滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿 图中所示方向按二一-二三滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路 线长为 变式1：在矩形ABCD中，已知48=2皿，BC=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两 个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中

2、点P在运动过程中所围成的图形 的面积为变式2：如图，在矩形ABCD中，AB=2, AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2, G为EF的中 点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为变式3：在平面直角坐标系中，点A的为坐标为（3，0），B为丫轴正半轴上的点，C是第一象限内的点， 且AC=2,设tan/BOC二m,则m的取值范围为变式4：如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=6, E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将4EBF沿EF所在直线折叠得到EB,F连接B,D,则BD的小值是式5：在RtAABC中，NC=90, AC=6, BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,

3、点E为边BC上的动点， 将4CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是变式6：如图，在AABC中，NACB=90, AB=5, BC=3,是 AB边上的动点（不与点B重合），将BCP 沿CP所在的直线翻折，得到AB，CP,连接B A,则B A长度的最小值是.变式7：如图，在平行四边形ABCD中，NBCD=30, BC=4, CD=:二,M是AD边的中点，N是AB边 上的一动点，将 AMN沿MN所在直线翻折得到 A MN,连接A C,贝U A C长度的最小值是练习：如图，矩形ABCD中，AB=4, AD=3, M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM.(1)当

4、AN平分NMAB时，求DM的长；(2)连接BN,当DM=1时，求 ABN的面积；(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.共端点两条线段为定长在ABC中，AC=4,AB=5,则4ABC面积的最大值为变式1：已知在四边形ABCD中，AD+DB+BC=16,则四边形ABCD面积的最大值为变式2：在4ABC中，AB=3, AC力 当NB最大，BC的长是.共端点三条线段为定长引歹U 如图，已知48二AC=AD, NCBD=2NBDC,NBAC=44,则NCAD的度数为引列图变式1图引列图变式1图变式 1：如图，在四边形 ABCD 中，DCAB, BC=1, AB=AC=AD=2,则 BD二变

5、式2图变式2图变式2：如图，在等腰4ABC中，AC=BC,NC=70,点P在4ABC的外部，且与点C均在AB的同 侧.如果PC=BC,那么NAPC=.变式 3：如图，在AOAB 中，OA=OB,NAOB=15 .在4OCD 中，OC=OD, NCOD=45,且点 C 在OA边上.连接CB,将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段OE,使得DE=OE,则NBOC的 度数为.知识架构如图，点A(2,0),B(6,0),CB，x轴于点AC,在y轴正半轴 求作点P,使NAPB=NACB.(尺规作图，保 留作图痕迹)归纳：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的定点的轨迹是圆弧方法：见直角一找斜边（定

6、长）一想直径一 定外心一 现“圆”形。引例 已知人通两点在直线L的异侧，在L上求作点P,使4PAB为直角三角形，（尺规作图，保留 痕迹）变式1：如图，在等腰RtABC中，NACB=90, AC=BC=4, D为线段AC上一动点，连接BD,过点C作CH ，BD于点H,连接AH,则AH的最小值为.变式2：如图，在正方形ABCD中，AB=2,动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运 动，点E,F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF,BE相交于点P,则线 段DP的最小值为.变式3：直线y=x+4分别与x轴，y轴相交于M, N,边长为2的正方形OABC 一个顶

7、点O在坐标系的原点， 直线AN与MC相交于P.若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点(0,2)长度的最小值是.0), B (-1.0), C是y 轴上一动点.当NBCA=450), B (-1.0), C是y 轴上一动点.当NBCA=45 时，54 321B -10-1-2-3-4-5A54323456 x1B-14-1问题提出：如图，已知线段AB,试在平面内找到符合所有条件的点C,NACB=30 (利用直尺和圆规作 图，保留作图痕迹，不写作法)A B自主探索1：在平面直角坐标系中，已知点A(3 点C的坐标为-2-3-4-5自主探索1图自主探索2图自主探索2：在平面直角坐标系中，已知点A(3,0

8、), B (-1,0), C是y轴上一动点.当NBCA=60时， 点C的坐标为.54一354一3一21 B54321一B -1-1-2-3-4-5-1-1-2-3-4-5自主探索3图自主探索自主探索3图自主探索3：在平面直角坐标系中，已知点A(3,0), B (-1,0), C是y轴上一动点.当NBCA=120时， 点C的坐标为.自主探索4：在平面直角坐标系中，已知点A(3,0), B (-1,0), C是y轴上一动点.当NBCA=135时， 点C的坐标为.变式1：如图，B是线段AC的终点，过点C的直线l于AC成60角，在直线l上取一点P,使NAPB=30, 则满足条件的点P的个数是.变式2：

9、,E变式2：,E分别在BC, AC边上，且保持AE=CD,连接BE, AD,相交于点P,则CP的最小值为变式3：如图，点A与点B的坐标分别是A (1,0), B (5,0),P是该平面直角坐标系内的一个动点.(1)使NAPB=30的点P有 个(2)若点P在y轴上，且NAPB=30,求满足条件的点P的坐标(3)当点P在y轴上移动时，NAPB是否存在最大值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明 理由.变式4:(1)请利用以上操作所获得的经验，在图的矩形ABCD内部用直尺于圆规作出一点P,使点P满足: ZBPC=ZBEC, PB=PC。(要求:用直尺与圆规作出点P,保留作图痕迹)BO1BO1图图(

10、2)如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B,坐标为(2, m),过点B作ABy轴，BCx 轴，垂足分别为A, C若点P在线段AB上滑动(点P可以与A,B重合)，发现使得NOPC=45的位置有 两个，则m的取值范围为.变式5：如图，已知抛物线y=ax?+bx+c (aW0)与x轴交于A (1, 0), B (4, 0)两点，与y轴 交于点C(0，2)，连接AC，BC。(1)求抛物线的解析式；(2)若BC的垂直平分线交抛物线于D，E两点，求直线DE的解析式；(3)若点P在抛物线的对称轴上，且NCPB=NCAB,求出所有满足条件的点P的坐标。二、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例 如图，在4A

11、BC中，AB=AC=百，D是边BC上的一点，且AD=1，求BD-DC的值.三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例1如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，NB = 90，设AB = a，DC=b，AD=c，当a、b、c之间满 足什么关系时，在直线BC上存在点P，使APPD?10例2如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0, 8)、B(0,2),试在x轴正半 轴上求一点C,使NACB取得最大值。例3已知RtABC中，AC = 5, BC=12,ZACB = 90, P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且 NCPQ=90,求线段CQ的取值范围.四、四点共圆判断四点共圆的常

12、用方法有(1)对角互补的四边形的四个顶点共圆；(2)同底同侧顶角相等的两个 三角形的四个顶点共圆.判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题.例1如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交NABC的外角平分线于点F,求证：FE=DE.11例2如图等边PQR内接于正方形ABCD,其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点， 求证：不论等边APOR怎样运动，点M为不动点.例3如图，正方形ABCD的中心为0,面积为1989, P为正方形内的一点，且NOPB = 45, PA ： PB = 5 ：14,求PB的长.练习.在直角坐标系中，过A(-1,0)和B(3,

13、0)的。M上有点P.(1)若cos/APB=1 (NAPB是锐角)，求。M的半径；3(2)在y轴上，是否存在一点D,使得NADB=45?若存在，求出点D的坐标.在平面直角坐标系中，抛物线y = %2 + bx + c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与J轴交于点。，点B的坐标为(3，0)，将直线y = kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B, C两点.(1)求直线BC及抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且/APD = ZACB，求点P的坐标.12.已知平面直角坐标系中两定点A （-1, 0） B （4,0）、，抛物线y = ax2 + bx 2过点A

14、、B顶点为C,点P（m, n）n0为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标;（2）当/APB为钝角时，求m的取值范围.如图，已知点A（1，0），B（0，3），C（-3，0），动点P（x，y）在线段AB上，CP交y轴于点D，设 BD的长为t.（1）求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；（2）若SD： Saob=2：1，求点P的坐标，并判断线段CD与线段AB的数量及卜位置关系，说明理由；B、（3）在（2）的条件下，若M为x轴上的点，且NBMD最大，请求出点M的坐标.1-4114C -2-1 O A 2 X-1卜5.如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该平面直角坐标系内的一个动点.（1）若点C平面直角坐标系内的一个点，且4ABC是等边三角形，则点C的坐标是 ；（2）若点P在y轴上，且NAPB=3