2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲 长度定值问题含解析

1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲 长度定值问题一、解答题 1已知椭圆：，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A，B两点（1）求证：O到直线AB的距离为定值（2）求0AB面积的最大值2已知直线l的方程为x2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程；（2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程；（3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长3已知椭圆.（1）直线过点与椭圆交于两点，若，求直线的方程；

2、（2）在圆上取一点，过点作圆的切线与椭圆交于两点，求的值.4已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由5设椭圆C：1（ab0）的一个顶点与抛物线C：x24y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得2若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求证：为定值6已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，

3、线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且证明：，成等差数列，并求该数列的公差7已知椭圆，离心率，点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P是椭圆C上一点，左顶点为A，上顶点为B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：为定值8已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线于E、两点，当点P在椭圆C上运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.9如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线

4、段AB的中点E在直线上.（1）求直线AB的方程；（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OMON为定值.10已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，求证：为定值.11已知椭圆：（）经过与两点.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足.求证：为定值.12已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在

5、，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.13已知椭圆：在右、上顶点分别为、，是椭圆的左焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相切于点（在第二象限），过作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.14已知点F1为椭圆1（ab0）的左焦点，在椭圆上，PF1x轴.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l：ykx+m与椭圆交于（1，2），B两点，O为坐标原点，且OAOB，O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.15已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A

6、、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切.切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.16已知椭圆的离心率为，且过点（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由第15讲 长度定值问题一、解答题 1已知椭圆：，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A，B两点（1）求证：O到直线AB的距离为定值（2）求0AB面积的最大值【答案】（1）见解析；（2）【分析】（

7、1）设A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，则设直线AB：ykx+m，联立椭圆方程，由OAOB，得x1x2+y1y20，化简整理，再由点到直线的距离，即可得到定值；若AB的斜率不存在时，显然成立；（2）运用弦长公式，化简整理，再由基本不等式，即可得到最大值，当斜率不存在时，经检验|AB|2也成立即可【详解】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），若AB的斜率k存在，则设直线AB：ykx+m由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m230，则x1+x2，由OAOB，得x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m20，将代入，得4m

8、23k2+3，即有m2（k2+1），则有原点到直线AB的距离d，当AB的斜率不存在时，|x1|y1|，可得|x1|d，依然成立所以点O到直线AB的距离为定值（2）|AB|2（1+k2）（x1x2）2（1+k2）（）243+ 当且仅当9k2，即k时等号成立当AB的斜率不存在时，经检验|AB|2所以SOAB，即有OAB面积的最大值为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题2已知直线l的方程为x2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到

9、直线l1的距离为，求直线l1的方程；（2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程；（3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）可设直线l1的方程为yk（x+2），由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得；（2）设椭圆的方程为1（ab0），易得a1或b1，分别可得b和a值，可得方程；（3）可设直线l2的方程为y（x+2）和椭圆联立可得5x2+8x+20，由弦长公式可得【详解】（1）点到直线的距离为.设的方程为，.的方程为. （2）设椭圆方程为，半焦距为，则.，.所求

10、椭圆方程为. （3）设切点为，则由题意得，椭圆方程为，在中，则，的方程为，代入椭圆中，整理得. 设，则，.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用3已知椭圆.（1）直线过点与椭圆交于两点，若，求直线的方程；（2）在圆上取一点，过点作圆的切线与椭圆交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）利用点差法解决中

11、点弦问题中求直线方程；（2）分类讨论切线斜率不存在与存在，利用两向量垂直其向量的数量积为零，可证明，进而在中，由与相似，得求得答案.【详解】解：（1）设，即，解得.两点在椭圆上，两式相减，得，则，故直线的方程为，即.（2）当切线斜率不存在时，不妨设的方程为，由椭圆的方程可知，则，即.当切线斜率存在时，可设的方程为，即，联立和椭圆的方程，得，则，.综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.在中，由与相似，得.【点睛】本题考查椭圆中利用点差法解决中点弦问题，还考查了直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于较难题.4已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当

12、直线垂直于轴时，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在；.【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，求解出的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件可得，当直线的斜率不存在时，直接计算即可；当直线的斜率存在时，设，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理形式表示出，由此确定出是否存在满足条件.【详解】解：（1）由题意可得，解得.故椭圆C的标准方程为.（2）由（1）可知.当直线l的斜率不存在时，则.当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为.联立，整理得，则，从而故由题意可得.则.因为，所以.综上，存在实数，使得恒成

13、立.【点睛】易错点睛：利用直线与圆锥曲线联立求解相关问题的易错点：（1）假设直线方程的时候，要注意分析直线的斜率是否存在；（2）利用公式或不仅可以求解弦长，同时还可以求解两点之间的距离.5设椭圆C：1（ab0）的一个顶点与抛物线C：x24y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得2若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求证：为定值【答案】（1）（2）或（3）定值【分析】（1）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的

14、标准方程（2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交分两种情况讨论：当直线斜率不存在时，经检验不合题意；设存在直线l为yk（x1）（k0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），求出|MN|与|AB|的长，从而可证结论【详解】（1）抛物线的焦点为椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合椭圆的一个顶点为，即，a2，椭圆的标准方程为（2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，），不合题意设存在直线l为yk（x1）（k0），且M（

15、x1，y1），N（x2，y2）由得（3+4k2）x28k2x+4k2120， 所以，故直线l的方程为或 （3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）由（2）可得：|MN|由消去y，并整理得：，|AB|，为定值【点睛】本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化6已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且证明：，成等差数列，并求该数列的公差【答案】（1）（2）或【详解】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明（2）解出m,进而求出点P

16、的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.将代入得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大7已知椭圆，离心率，点在椭圆上（1

17、）求椭圆C的标准方程；（2）设点P是椭圆C上一点，左顶点为A，上顶点为B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：为定值【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率，点在椭圆上，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆C的标准方程；（2）设 ，根据三点共线斜率相等，可分别求出 的坐标，利用两点间的距离公式可将用 表示，结合点在椭圆上消去 即可得结果.试题解析：（1）依题意得，设，则，由点在椭圆上，有，解得，则，椭圆C的方程为： 设，则，由APM三点共线，则有，即，解得，则， 由BPN三点共线，有，即，解得，则= 又点P在椭圆上，满足

18、，有，代入上式得=， 可知为定值【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、椭圆的离心率、直线的斜率公式以及圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.8已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线于E、两点，当点P在椭圆C上运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1

19、）；（2）为定值1【分析】(1) 由题意可知,结合，可求出椭圆方程.(2) 设,则直线AP的方程为，求出，同理得出，将点在椭圆上这个条件代入，可得到答案.【详解】（1）由题意可知又因为且，解得，所以椭圆C的方程为；（2）为定值1.由题意可得：，设，由题意可得：，所以直线AP的方程为，令，则，即；同理：直线BP的方程为，令，则，即；所以而，即，代入上式得，所以为定值1.【点睛】本题考查利用离心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题，考查运算能力，属于难题.9如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.（1）求直线AB的方程；（2）若点P为椭

20、圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OMON为定值.【答案】（1）（2）详见解析【解析】试题分析：（1）两点确定一条直线，所以只需再确定A点坐标即可，这可利用A在椭圆上及AB中点在直线上联立方程组解得：A（，），从而根据两点式求出直线AB的方程为（2）本题涉及的条件为坐标，所以用分别表示M点、N点坐标就是解题方法：由A，P，M三点共线，又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标，由B，P，N三点共线，点N在直线y=x上，解得N点的横坐标所以OMON=2=，又，所以OMON=试题解析：解：（1）设点E（m，m），由B（0，2）得A（2m，2m+2）代入椭圆方程得，即，

21、解得或（舍） 3分所以A（，），故直线AB的方程为 6分（2）设，则，即设,由A，P，M三点共线，即，又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标， 9分设，由B，P，N三点共线，即，点N在直线y=x上，解得N点的横坐标 12分所以OMON=2= 16分考点：直线与椭圆位置关系10已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可知， ，即可求得的值，求得椭圆方程； （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得，及 ，由此即

22、可求证为定值【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴且，.故椭圆E的标准方程为：.（2）设、，线段AC的中点为M，联立，消去y，得.由，解得，.又直线l与x轴的交点，故为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题11已知椭圆：（）经过与两点.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足.求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）椭圆过与两点，利用待定系数法求、即可得椭圆方程；（2）根据直线的斜率情况分类讨论，当斜率不存在或时易证定值，当斜率存在且时联立直线方程与椭圆方程

23、，结合有定值，整合结论为定值即得证【详解】（1）椭圆过与两点，则解得椭圆的方程为（2）过原点的直线与椭圆交于、两点 ：当直线的斜率不存在或时，有当直线的斜率存在且时，令直线：， 代入椭圆方程有若，即又椭圆上一点满足，知：垂直平分，可令直线：同理可得：或即故综上，知：为定值得证【点睛】本题考查了椭圆，利用椭圆过两定点，应用待定系数法求椭圆方程，根据直线与椭圆的位置关系，及动点与它们的交点关系证明定值问题12已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在

24、，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【分析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.【详解】（1）证明：椭圆经过点，当且仅当，即时，等号成立，此时椭圆的离心率.（2）解：椭圆的焦距为2，又，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.，在椭圆上，到直线的距离.当直线的斜率存在时，设的方程为.由，得，.设，则，.，

25、即，到直线的距离.综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.13已知椭圆：在右、上顶点分别为、，是椭圆的左焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相切于点（在第二象限），过作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）为定值；.【分析】（1）由已知建立方程，解之求得，可得椭圆的方程；（2）设切点，

26、求得切线方程，以及直线的方程，直线的方程，联立与的方程可解得交点，再表示，可得定值.【详解】解：（1）由题可知，所以椭圆：；（2）由题，设切点，则，切线：，而，且过原点，所以：，而直线：，联立与的方程可解得，则，所以，为定值.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系之定值问题，关键在于将所求的量转化到曲线上的点的坐标的关系，化简可得结论14已知点F1为椭圆1（ab0）的左焦点，在椭圆上，PF1x轴.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l：ykx+m与椭圆交于（1，2），B两点，O为坐标原点，且OAOB，O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）

27、是定值，定值为【分析】（1）由PF1x轴可得c1，即可得椭圆的左右焦点的坐标，由椭圆的定义求出a的值，由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）将直线l与椭圆的方程联立求出两根之积，由OAOB，可得0，可得k，m的关系，求出原点到直线的距离的表达式，可得为定值.【详解】（1）令焦距为2，依题意可得F1（1，0），右焦点F2（1，0），所以，所以椭圆方程为； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m220，.所以y1y2（kx1+m）（kx2+m）k2x1x2+km（x1+x2）+m2k2kmm2，由，得3m22（k2+1），所以

28、原点O到直线l的距离为，为定值.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题.15已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切.切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值为3【分析】（1）由斜率之积可求得，的关系，将代入可再得，的关系，解出，的值，即可求出椭圆的方程；（2）由（1）得，的坐标，设，满足椭圆的

29、方程，得直线，求出，的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值【详解】（1）设，由题意得，而得：，又过，所以由得：，；所以椭圆的方程：；（2）由（1）得：，设，则直线的方程，令，则，所以的坐标，直线的方程：，令，所以坐标，（圆的切割线定理），再联立，【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论作为记忆：两对称点为椭圆上一点为，则有；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，利用几何关系转化至关重要，属于难题16已知椭圆的离心率为，且过点（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点，若不

30、存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，答案见解析.【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.【详解】（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，因为，所以，即，根据,代入整理可得：， 所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，所以，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点，当直线的斜率不

31、存在时，可得，由得：，得，结合可得：， 解得：，或，当时与横坐标重合舍去，此时直线过点，令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用得 ，转化为坐标运算，需要设直线的方程，点，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线的方程为：，与椭圆方程联立消去可，代入即可，当直线的斜率不存在时，可得，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.第16讲 面积定值问题一、解答题 1已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，2)，过点C作一条与y轴不重合的直线

32、l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为(1)求椭圆E的方程；(2)证明：为定值2已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|4（1）求椭圆C的标准方程（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，APOM，BPON，则OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由3已知椭圆C：（）的离心率为，直线与椭圆C有且只有一个公共点（1）求椭圆C的标准方程（2）设点，P为椭圆C上一点，且直线与的斜率乘积为，点M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且满足，求证：的面积为定

33、值4如图，椭圆C：的离心率，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点设直线，的斜率分别为，（1）求椭圆C的方程，并求的值；（2）若，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由5如图，、 为椭圆的左、右焦点， 、是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率 ，若 在椭圆上，则点 称为点的一个“好点”直线 与椭圆交于、 两点，、 两点的“好点”分别为、，已知以为直径的圆经过坐标原点（）求椭圆的标准方程；（）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由6已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若，为椭圆

34、上的两个动点，直线，的斜率分别为，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.7已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为（1）求双曲线的方程；（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值8如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若

35、是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.9已知椭圆的离心率为，过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值10已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且.求证：的面积为定值.11已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，.（1）求双曲线的方程.（2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说

36、明理由.12已知椭圆：（）的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为；（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率存在的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值.13已知椭圆过点两点（）求椭圆的方程及离心率；（）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值14已知椭圆：()的左右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.15已知椭圆：的左右焦点分别为，椭圆与轴的一个交点为，且，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上不同的两

37、点，点关于轴的对称点为点.若直线的斜率为1，求证：的面积为定值.16已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左右顶点分别为，斜率为正的直线过点，交双曲线于点，(点在第一象限)，直线交轴于点，直线交轴于点，记面积为，面积为，求证：为定值.17已知双曲线的一条渐近线方程为，右准线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线分别交双曲线的左、右两支于点，交双曲线的两条渐近线于点（在轴左侧）是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由；记和的面积分别为，求的取值范围18已知F是抛物线的焦点，点M是抛物线上的定点，且. (1)求

38、抛物线C的方程；(2)直线AB与抛物线C交于不同两点，直线与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问ABN的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由19已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值.第16讲 面积定值问题一、解答题 1已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为(1)求椭圆E的方程；(2)证

39、明：为定值【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由得，从而可得，又有，可得，从而可求出椭圆E的方程；（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为联立直线与椭圆的方程得韦达定理，且=，得，写出直线BP的方程，求得，同理可得，化简求得=为定值【详解】解：（1）由解得或（舍去），又，又，椭圆E的方程为；（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，由得，=，=，直线BP的方程为，令解得，则，同理可得，=，为定值【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于中档题2已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|4

40、（1）求椭圆C的标准方程（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，APOM，BPON，则OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由【答案】（1）1；（2）是，定值2【分析】由题知,由及的关系即可求解;由题意可得A（2，0），B（2，0），设P（x0，y0）则x02+2y028，可得,分直线l的斜率存在和不存在两种情况分别求OMN的面积即可.【详解】由2a4，e，解得a2，c2，b2a2c24，则椭圆的方程为1；（2）由题意可得A（2，0），B（2，0），设P（x0，y0），可得1，即x02+2y028，则，因为APOM,BPON，则，当直线l的斜率不存在

41、时，设l：xm，联立椭圆方程可得y，所以,由,可得，解得m2，所以,所以SMNO222；当直线l的斜率存在时，设直线l：ykx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线ykx+n和x2+2y28，可得（1+2k2）x2+4knx+2n280，可得x1+x2，x1x2，y1y2（kx1+n）（kx2+n）k2x1x2+kn（x1+x2）+n2，由k2，可得n22+4k2，由弦长公式可得,|MN|，点（0，0）到直线l的距离为，所以SOMNd|MN|2，综上可知,OMN的面积为定值2【点睛】本题考查椭圆标准方程和直线与椭圆的位置关系及弦长公式;考查分类讨论思想和运算求解能力;分直线l的斜率

42、存在和不存在两种情况分别求OMN的面积是求解本题的关键,亦是易错点;属于中档题、常考题型.3已知椭圆C：（）的离心率为，直线与椭圆C有且只有一个公共点（1）求椭圆C的标准方程（2）设点，P为椭圆C上一点，且直线与的斜率乘积为，点M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且满足，求证：的面积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）将直线代入椭圆方程因为相切故判断式为零，再结合离心率即可求得方程；（2）设直线的方程为代入椭圆方程，结合韦达定理和与的斜率乘积为，计算整理即可证明问题.【详解】解：（1）直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆C：（）相切，又，椭圆C的方程为（2）证明：由题意M、

43、N是椭圆C上不同于A，B的两点，由题意知，直线，斜率存在且不为0，又由已知由，所以设直线的方程为，代入椭圆方程得设，则，又得所以即的面积为定值【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值4如图，椭圆C：的离心率，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点设直线，的斜率分别为，（1）求椭圆C的方程，并求的值；（2）若，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由【答案】（1）椭圆C：，；（2）的面积为定值【分析】（1）求出椭圆的方程，再设代入斜率

44、公式，即可得答案；（2）设直线的方程为（），设，根据，可得，再利用韦达定理化简得到的关系，求出三角形的底和高，代入面积公式，即可得答案；【详解】解（1）由题意得，又，所以，即椭圆C：设，则，又，则（2）设直线的方程为（），设，由（1）知：，即，又又O到直线的距离，所以综上的面积为定值【点睛】第一问的本质是椭圆的第三次定义；第二问探究是否为定值的思路：设直线的方程、设，的坐标，利用韦达定理得到变量间的关系，再把三角形的面积表达式求出，变量间的关系代入，求得定值.5如图，、 为椭圆的左、右焦点， 、是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率 ，若 在椭圆上，则点 称为点的一个“好点”直线 与椭圆交于、 两点，

45、、 两点的“好点”分别为、，已知以为直径的圆经过坐标原点（）求椭圆的标准方程；（）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由【答案】（1）；（2）1【详解】（1）由题可知解得故椭圆的标准方程为（2）设，则，由，即（*）当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设其直线为（），联立得，则，同理，代入（*），整理得此时，综上，的面积为定值1【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，

46、运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.6已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）；（2）是，定值.【分析】（1）由题设条件，列出方程组，结合，求得的值，即可求解.（2）设，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为，可得，

47、即，解得，故椭圆的方程为.（2）设，当直线的斜率存在时，设方程为，由，消可得，则，即，且，所以又由点到直线的距离，所以.又因为，所以，化简整理可得，满足，代入，当直线的斜率不存在时，由于，考虑到，关于轴对称，不妨设，则点，的坐标分别为，此时，综上可得，的面积为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.7已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右

48、支上一动点到两条渐近线，的距离之积为（1）求双曲线的方程；（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值【答案】（1）；（2）证明见解析；定值2【分析】（1）动点到两条渐近线，的距离之积表示出来得的关系式，结合焦距可求得得双曲线方程；（2）设直线的方程为，由相切得，然后求得坐标，以及直线与轴交点坐标，利用点坐标求得面积，代入关系式，可得定值【详解】解：（1）双曲线（，）的渐近线方程为和，由动点到两条渐近线，的距离之积为，则，又，即，解得，则双曲线的方程为（2）证明：设直线的方程为，与双曲线的方程联立，可得，直线与双曲线的右支相切，可得，

49、可得，设直线与轴交于，则，又双曲线的渐近线方程为，联立，可得，同理可得，则即有面积为定值2【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线与双曲线位置关系，面积定值问题解题关键是设出切线方程，由直线与双曲线相切得参数关系，然后求得三角形面积，利用此关系式可得定值8如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定

50、值）；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，且定值为.【分析】（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.【详解】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，又因为，因为，所以，轴，点的横坐标为，所以，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为，且，因此，四边形的面积为；（2）四边形的面积为定值，理由如下：设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，即，点到直线的距离为，且，因此，

51、（定值）.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值9已知椭圆的离心率为，过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，结合这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，设直线的方程为，将这两条直线分别与椭圆的方程联立，求出点、的坐标，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）由已知条件

52、可得，解得，即椭圆的标准方程为；（2）设、，由题意直线、的斜率存在，设直线的方程为，设直线的方程为，由（1）椭圆，联立得，解得，即，联立，得，所以，即，易知，直线的方程为，点到直线的距离为，所以，故面积为定值【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值10已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且.求证：的面积为定值.【答案】（1）；（2）的面积为定值.【分析】（1）由椭圆的离心率等

53、于，原点到直线的距离等于及隐含条件联立方程组求解，的值，则椭圆的标准方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去后利用根与系数关系得到，两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形的面积公式证得答案【详解】（1）解：由题意得，椭圆的方程为；（2）证明：设，则，的坐标满足，消去化简得，由，得，即，即又点到直线的距离，为定值【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.11已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，.（1）求双曲线的方程.（2）设为双曲线上一点，点，在

54、双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，2.【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；（2）设出点，的坐标，可得点的坐标，代入双曲线的方程，可得，设，利用渐近线方程的斜率得角的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得，由，的坐标得，结合及三角形面积公式即可求出.【详解】（1）由题意，易得，则由，可得，即.又，解得（负值舍去），解得，双曲线的方程为.（2）由（1）可知双曲线的渐近线方程为，设，其中，.为线段的中点，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得.设，则.又，.又，

55、的面积为定值2.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点，的坐标，设，得出和.12已知椭圆：（）的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为；（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率存在的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）由题可得，解出即可求出；（2）设出直线方程，与椭圆联立，表示出面积，利用点P在椭圆上得出的关系即可求出定值.【详解】（1）由题可得，解得，.故椭圆方程为：.（2）设直线方程是，设，联立，得，.，把点坐标代入椭圆方程可得，整理可得：，点到直线的距离为，的面积.所以，的面

56、积为定值.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.13已知椭圆过点两点（）求椭圆的方程及离心率；（）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值【答案】（）；（）见解析.【详解】试题分析：（）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可试题解析：（）由题意得，所以椭圆的

57、方程又，所以离心率（）设，则又，所以，直线的方程为令，得，从而直线的方程为令，得，从而所以四边形的面积从而四边形的面积为定值考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想第一小题根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可14已知椭圆：()的左右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边

58、形为平行四边形，求证：的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由抛物线的定义和离心率得出椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点坐标，代入椭圆方程，再由弦长公式，点线距公式结合三角形的面积公式化简计算可得定值【详解】（1）因为的周长为，所以，即.又离心率，解得，.椭圆的方程为.（2）设，将代入消去并整理得，则，四边形为平行四边形，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，平行四边形的面积为.故平行四边形的面积为定值为.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点线距公式和弦长公式，解决本题的关键点是借助于平面向量的

59、坐标表示，利用点在曲线上得出方程，代入平行四边形的面积公式，消去参数得出定值，考查学生计算能力，属于中档题15已知椭圆：的左右焦点分别为，椭圆与轴的一个交点为，且，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上不同的两点，点关于轴的对称点为点.若直线的斜率为1，求证：的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由所给条件可得：焦距，可得，即可得解；（2）首先设直线的方程为，联立椭圆方程可得，结合韦达定理，根据，代入化简即可得到定值.【详解】（1）因为焦距为，所以，即，由，得，即，所以椭圆的标准方程为；（2）证明：由题意知直线斜率一定存在，设直线方程为，点，则面积为，联立方程，得，即，因为直线的斜率为1，所以，即，即，解得，所以，综上，面积为定值.【点睛】本题考查了求椭圆方程，