计算机图形学：(4-1)几何对象与变换-几何

1、1Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009几何对象与变换-几何2Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009基本内容介绍几何要素标量向量点给出这些要素间的与坐标无关的数学运算定义基本的几何图元线段多边形坐标系3Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009二维坐标系三维坐标系(右手系)三维坐标系(左手系)基本几何要素几何研究n维空间中对象之间的关系在计算机图形学中，我们对三

2、维空间中的对象感兴趣希望得到一个几何形状的最小集合，根据这个集合可以建立起更复杂的对象需要三个几何要素标量向量点4Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009与坐标无关的几何在初等解析几何的学习中，主要应用的是直角坐标系点在空间中的位置是p = (x,y,z)通过对这些坐标进行代数操作导出结果这种方法不是基于物理的从物理的角度来讲，点的存在性是与坐标系的具体位置无关的绝大多数几何结果是不依赖于坐标系的欧氏几何：两个三角形全等是指它们有两个对应边和夹角相等5Angel: Interactive Computer Graph

3、ics 5E Addison-Wesley 2009标量在几何中需要三个基本元素标量、向量、点标量可以定义为集合中的成员，集合中具有两种运算(加法和乘法)，运算遵从一些基本的公理(结合律、交换律、逆)例：实数或复数全体，通常的加法与乘法标量自身没有几何属性6Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009为什么需要向量？场景：树与照相机照相机需要在视平面上形成一幅图像表示这棵树。视平面上哪些点需要被激活？透视投影需要利用向量来构造7Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison

4、-Wesley 2009北斗七星的当前位置及移动方向箭头末尾的位置表示五万年后各星的位置8Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量物理定义：向量是具有如下两条性质的量方向大小或长度: |v|例：力速度有向线段这也是图形学中最重要的例子可以对应到其它类型上用小写字母表示9Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量运算每个向量都有逆同样长度但是指向相反的方向每个向量都可以与标量相乘有一个零向量零长度，方向不定两个向量的和为向量三角形法则1

5、0Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009(线性)向量空间处理向量的数学系统运算一：向量-向量加法w = u + v封闭性：u, v V , u + v V交换律：u+v=v+u结合律：u+(v+w)=(u+v)+w零向量0：u V , u + 0=u加法逆元-u：u +（-u) =011Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009(线性)向量空间运算二：标量-向量乘法u = v分配律：(u+v) = u+ v(+)u=u+u在向量空间中，表达

6、式v = u + 2w 3r有意义向量空间例子：有向线段、实数的n元组12Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量没有位置下述向量是相等的因为它们具有相同的方向与长度对几何而言只有向量空间是不够的还需要点13Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009点空间中的位置数学上，点没有大小和形状。用大写字母表示点与向量之间可进行的运算点与点相减得到一个向量等价地，点与向量相加得到新点14Angel: Interactive Computer Gr

7、aphics 5E Addison-Wesley 2009仿射空间点加上向量构造的空间运算：向量与向量的加法向量标量与向量的乘法向量点与向量的加法点标量与标量的运算标量上述运算均是与坐标无关的对于任意点，定义1 P = P0 P = 0 (零向量)15Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量与点的线性组合给定n个向量 , 以及n个标量 , 则由归纳法可以证明 也是向量，称为这组向量的线性组合给定n个点, 以及n个标量 则是什么？16Angel: Interactive Computer Graphics 5E A

8、ddison-Wesley 2009点的线性组合固定坐标系，取定其中的两点，那么P1+ P2是什么？当P1为原点时，P1+ P2等于P2当P1与P2关于原点对称时，P1+ P2为原点所以P1+ P2的位置与坐标系有关组合系数不能是任意数17Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009点的特殊线性组合由归纳法，从“点点向量”和“标量向量向量”可知当组合系数和 时，点的线性组合为向量 P1+ P2= P1+ (P2P1) = 点向量点实际上， P1+ P2表示两点的中点，这是与坐标无关的定义当时，点的线性组合为点，称为给定点

9、的仿射组合除此之外，其它形式的线性组合没有与坐标无关的意义18Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009直线考虑具有下述形式的所有点P() = P0+ d即所有过P0点，与P0连线平行于向量d的点19Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009参数形式上述定义直线的形式称为参数形式比其它形式更一般和稳定可以推广到曲线和曲面二维形式显式：y= mx+ h隐式：ax + by + c = 0参数形式：x() = x0+ (1 ) x1y() = y0

10、+ (1 ) y120Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009射线与线段如果限定 0, 那么P()就是从P0出发，方向为d 的射线如果采用两点定义向量d, 那么P() = P0+ (P1P0) = (1 ) P0 + P1当0 1，那么就会得到连接P0与P1两点的线段21Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009两点线性插值给定两点A, B，那么它们的仿射组合P(t) = (1 t) A + tB就定义了过这两点的一条直线线性插值在艺术和计算

11、机动画有许多有趣的应用关键帧22Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009多边形的变形给定两个有同样数目顶点的折线，那么利用线性插值可以给出从第一个折线到第二个折线的平滑过渡23Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009男人女人24Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009名人脸25Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addi

12、son-Wesley 2009凸体一个对象为凸的当且仅当在对象中任何两点的连接线段也在该对象内26Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009仿射凸组合考虑“和”式P = 1P1+ 2P2 + nPn当1+ 2+ n=1时上述和式有意义，此时结果就称为点P1, P2 , Pn的仿射和另外，如果i0，那么得到P1, P2 , Pn的凸包(convex hull)27Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009凸包最小的包含P1, P2 , Pn的凸体

13、可以用“收缩包装”的方式得到28Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009曲线与曲面曲线是形式为P()的单参数定义的几何体，其中的函数为非线性曲面是由形式为P(, )的两个参数定义的几何体线性函数对应于平面和多边形29Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009平面平面是由一个点与两个不平行的向量或者三个不共线的点确定的30Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009三角形31Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量的内积内积或点积：uv= |u| |v| cos, 为两个向量的夹角uv= 0 uv| u| cos=uv/ |v|是u在v上的正交投影32Angel: Interactive Computer Graphics 5E Addison-Wesley 2009向量的外积外积或叉积：u v为向量，其长度等于|u| |v| sin,方向垂直于u, v所在的平面，并且保证u,v, u v成为右手系，其中为两个向量的